Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem, som er færdige med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.
Ekstra Opgaver – Store Dag#
Ekstra Opgave 1: Komplekse vektorum opfattet som reelle vektorrum#
Lad \(V\) være et endeligt dimensionelt komplekst vektorrum. Vi skriver \(n=\dim_{\mathbb C}(V)\).
Spørgsmål a#
Tjek at \(V\) kan opfattes som et reelt vektorrum, fordi addition af vektorer og skalar-vektor produktet \(c \cdot \mathbf v\) for \(c \in \mathbb{R}\) og \(\mathbf v \in V\) er definerede ved at bruge at \(V\) er et komplekst vektorrum.
Spørgsmål b#
Vis at \(\dim_{\mathbb R}(V)=2\dim_{\mathbb C}(V)=2n\).
Hint
Lad \((\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n)\) være en ordnet basis for \(V\) opfattet som komplekst vektorrum. Kan du finde en ordnet basis for \(V\) opfattet som reelt vektorrum?
Hint
Tjek at \((\mathbf v_1,i\cdot \mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n,i\cdot \mathbf v_n)\) er en ordnet basis for \(V\) opfattet som reelt vektorrum.
Ekstra Opgave 2: Mere om underrum#
Lad \(n\) og \(m\) være et naturligt tal, \(V\) et \(n\)-dimensionelt vektorrum over et legeme \(\mathbb{F}\) og \(W\) et \(m\)-dimensionelt underrum af \(V\).
Spørgsmål a#
Antag at \(m <n-1\). Vis at der findes et underrum \(\tilde{W}\) af \(V\) således at \(W\) er et underrum af \(\tilde{W}\).
Hint
Antag at \((\mathbf w_1,\dots,\mathbf w_m)\) er en ordnet basis for \(W\). Prøv at bruge Ekstra Opgave 1 fra Uge 8 Store Dag.
Spørgsmål b#
En sekvens af underrum \(W_0,W_1,\dots,W_n\) af \(V\) som opfylder at \(\dim(W_i)=i\) for alle \(i\), samt \(W_0 \subset W_1 \subset \cdots \subset W_n\), kaldes et fuldstændigt flag i \(V\). Vis at der findes et fuldstændigt flag i \(V\) således at \(W_m=W\).
Spørgsmål c#
Lad nu \(V\) være det reelle vektorrum \(\mathbb{R}^4\). Konstruer to fuldstændige flag \(V_0,V_1,V_2,V_3,V_4\) og \(W_0,W_1,W_2,W_3,W_4\) i \(\mathbb{R}^4\) således at \(\dim(V_2 \cap W_2)=0\) og \(\dim(V_3 \cap W_3)=2\). Er det muligt at konstruere to fuldstændige flag i \(\mathbb{R}^4\) som opfylder at \(\dim(V_2 \cap W_2)=0\) og \(\dim(V_3 \cap W_3)=3\)?