---
jupytext:
  formats: md:myst
  text_representation:
    extension: .md
    format_name: myst
    format_version: '0.8'
    jupytext_version: 1.4.1+dev
kernelspec:
  display_name: Python 3
  language: python
  name: python3
---

(section:uge9S)=

Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem, som er færdige med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

# Ekstra Opgaver -- Store Dag

## Ekstra Opgave 1: Komplekse vektorum opfattet som reelle vektorrum 

Lad $V$ være et endeligt dimensionelt komplekst vektorrum. Vi skriver $n=\dim_{\mathbb C}(V)$.

+++

### Spørgsmål a

Tjek at $V$ kan opfattes som et reelt vektorrum, fordi addition af vektorer og skalar-vektor produktet $c \cdot \mathbf v$ for $c \in \mathbb{R}$ og $\mathbf v \in V$ er definerede ved at bruge at $V$ er et komplekst vektorrum.  

+++

### Spørgsmål b

Vis at $\dim_{\mathbb R}(V)=2\dim_{\mathbb C}(V)=2n$. 

```{hint}
:class: dropdown
Lad $(\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n)$ være en ordnet basis for $V$ opfattet som komplekst vektorrum. Kan du finde en ordnet basis for $V$ opfattet som reelt vektorrum? 
```

```{hint}
:class: dropdown
Tjek at $(\mathbf v_1,i\cdot \mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n,i\cdot \mathbf v_n)$ er en ordnet basis for $V$ opfattet som reelt vektorrum. 
``` 

## Ekstra Opgave 2: Mere om underrum

Lad $n$ og $m$ være et naturligt tal, $V$ et $n$-dimensionelt vektorrum over et legeme $\mathbb{F}$ og $W$ et $m$-dimensionelt underrum af $V$.


+++

### Spørgsmål a

Antag at $m <n-1$. Vis at der findes et underrum $\tilde{W}$ af $V$ således at $W$ er et underrum af $\tilde{W}$. 

```{hint}
:class: dropdown
Antag at $(\mathbf w_1,\dots,\mathbf w_m)$ er en ordnet basis for $W$. Prøv at bruge Ekstra Opgave 1 fra Uge 8 Store Dag.
```

+++

### Spørgsmål b

En sekvens af underrum $W_0,W_1,\dots,W_n$ af $V$ som opfylder at $\dim(W_i)=i$ for alle $i$, samt $W_0 \subset W_1 \subset \cdots \subset W_n$, kaldes et fuldstændigt flag i $V$. Vis at der findes et fuldstændigt flag i $V$ således at $W_m=W$.

+++

### Spørgsmål c

Lad nu $V$ være det reelle vektorrum $\mathbb{R}^4$. Konstruer to fuldstændige flag $V_0,V_1,V_2,V_3,V_4$ og $W_0,W_1,W_2,W_3,W_4$ i $\mathbb{R}^4$ således at $\dim(V_2 \cap W_2)=0$ og $\dim(V_3 \cap W_3)=2$. Er det muligt at konstruere to fuldstændige flag i $\mathbb{R}^4$ som opfylder at $\dim(V_2 \cap W_2)=0$ og $\dim(V_3 \cap W_3)=3$?


---