Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem som er færdig med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

Ekstra Opgaver – Store Dag

Ekstra Opgave 1: Ordning af komplekse tal

I de reelle tal har vi den velkendte mindre end ordningsrelation \(\,<\,\) som for alle \(\,a,b\,\) og \(\,c\,\) i \(\mathbb R\) opfylder:

1. Kun én af påstandene \(\,a<b,\) \(\,b<a\) eller \(\,a=b\,\) er sand.

2. Hvis \(\,a<b\,\) og \(\,b<c\,\) så er \(\,a<c\,.\)

3. Hvis \(\,a<b\,\) så er \(\,a+c<b+c\,.\)

4. Hvis \(\,a<b\,\) og \(\,0<c\,\) så er \(\,ac<bc\,.\)

Spørgsmål a

Afprøv de fire påstande med nogle eksempler.

Spørgsmål b

Vis at ordningsrelationen \(\,<\,\) fra de reelle tal IKKE kan udvides til at gælde for alle komplekse tal. Mere præcist, vis at der ikke findes en ordningsrelationen \(\,<\,\) på \(\mathbb C\) som udvider ordningsrelationen \(\,<\,\) fra de reelle tal og som opfylder de fire punkter ovenfor for alle \(\,a,b\,\) og \(\,c\,\) i \(\mathbb C\).

Hint

Forsøg at finde et modstridsbevis. Det vil sige: antag at udvidelsen findes og forsøg at nå frem til en modstrid.

Hint

Hvis udvidelsen findes, så gælder enten \(0<i\) eller \(i<0\) pga. egenskab 1. Forsøg at nå frem til en modstrid i hvert tilfælde.

---

Ekstra Opgave 2: Igen en ligning med modulus

I Opgave 9 blev vist at alle komplekse tal \(z\) som er løsning til ligningen \(|z-1|=|2z-3|\) danner en cirkel i den komplekse talplan. Givet er nu komplekse tal \(z_0,z_1\) og \(z_2\). Vis at løsningsmængden til ligningen \(|z-z_0|=|z_2\cdot z-z_1|\) i den komplekse talplan danner enten et enkelt punkt, en ret linje, en cirkel eller hele den kompelse talplan.