---
jupytext:
  formats: md:myst
  text_representation:
    extension: .md
    format_name: myst
    format_version: '0.8'
    jupytext_version: 1.4.1+dev
kernelspec:
  display_name: Python 3
  language: python
  name: python3
---

(section:uge3S)=

Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem som er færdig med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

# Ekstra Opgaver -- Store Dag

## Ekstra Opgave 1:  Ordning af komplekse tal

+++

I de reelle tal har vi den velkendte *mindre end* ordningsrelation $\,<\,$ som for alle $\,a,b\,$ og $\,c\,$ i $\mathbb R$ opfylder:

1. Kun én af påstandene $\,a<b,$ $\,b<a$ eller $\,a=b\,$ er sand.

2. Hvis $\,a<b\,$ og $\,b<c\,$ så er $\,a<c\,.$

3. Hvis $\,a<b\,$ så er $\,a+c<b+c\,.$ 

4. Hvis $\,a<b\,$ og $\,0<c\,$ så er $\,ac<bc\,.$


### Spørgsmål a

+++

Afprøv de fire påstande med nogle eksempler.


### Spørgsmål b

+++

Vis at ordningsrelationen $\,<\,$ fra de reelle tal IKKE kan udvides til at gælde for alle komplekse tal. Mere præcist, vis at der ikke findes en ordningsrelationen $\,<\,$ på $\mathbb C$ som udvider ordningsrelationen $\,<\,$ fra de reelle tal og som opfylder de fire punkter ovenfor for alle $\,a,b\,$ og $\,c\,$ i $\mathbb C$.  

```{hint}
:class: dropdown
Forsøg at finde et modstridsbevis. Det vil sige: antag at udvidelsen findes og forsøg at nå frem til en modstrid.
```

```{hint}
:class: dropdown
Hvis udvidelsen findes, så gælder enten $0<i$ eller $i<0$ pga. egenskab 1. Forsøg at nå frem til en modstrid i hvert tilfælde.
```

---

## Ekstra Opgave 2: Igen en ligning med modulus

I Opgave 9 blev vist at alle komplekse tal $z$ som er løsning til ligningen $|z-1|=|2z-3|$ danner en cirkel i den komplekse talplan. Givet er nu komplekse tal $z_0,z_1$ og $z_2$. Vis at løsningsmængden til ligningen $|z-z_0|=|z_2\cdot z-z_1|$ i den komplekse talplan danner enten et enkelt punkt, en ret linje, en cirkel eller hele den kompelse talplan.