Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem som er færdig med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.
Ekstra Opgaver – Lille Dag#
Ekstra Opgave 1: Hældning og inverser#
I denne opgave må man bruge at hvis man spejler en linje i planen med hældningskoefficient \(r \in \mathbb{R}\setminus \{0\}\) i linjen \(y=x\), så fås en linje med hældningskoefficient \(1/r\). Vi betragter en invertibel funktion \(f: \mathbb R \to \mathbb R\).
Spørgsmål a#
Brug resultatet beskrivet i svaret til Opgave 4 fra Uge 2 Lille Dag, til at indse grafisk at hvis grafen til \(f\) har en tangentlinje gennem \((x,f(x))\) med hældningskoefficient \(r \in \mathbb{R}\setminus \{0\}\), så har grafen til \(f^{-1}\) en tangentlinje gennem \((f(x),x)\) med hældningskoefficient \(1/r\).
Spørgsmål b#
Konkluder at hvis \(f\) har en afledte \(f'(x)\) i \(x\), så gælder at den afledte af \(f^{-1}\) i \(f(x)\) er lige med \(1/f'(x)\). Med andre ord:
Spørgsmål c#
Ved at skifte variablen \(x\) ud med \(f^{-1}(x)\), omskriv formlen fra spørgsmål b til \((f^{-1})'(x)=1/f'(f^{-1}(x)).\)
Spørgsmål d#
Brug nu formlen fra spørgsmål c, til at indse at \(\mathrm{arctan}'(x)=1/\tan'(\mathrm{arctan}(x))\).
Spørgsmål e#
Det gælder at \(\cos'(x)=-\sin(x)\) og \(\sin'(x)=\cos(x)\) og disse formler må bruges frit i opgaven. Vis nu at \(\tan'(x)=\tan^2(x)+1\) og brug dette til at nå frem til formlen
Bemærkning: en lignende fremgangsmåde giver anledning til formlerne:
og