---
jupytext:
  formats: md:myst
  text_representation:
    extension: .md
    format_name: myst
    format_version: '0.8'
    jupytext_version: 1.4.1+dev
kernelspec:
  display_name: Python 3
  language: python
  name: python3
---

(section:uge3L)=

Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem som er færdig med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

# Ekstra Opgaver -- Lille Dag

## Ekstra Opgave 1: Hældning og inverser

I denne opgave må man bruge at hvis man spejler en linje i planen med hældningskoefficient $r \in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ i linjen $y=x$, så fås en linje med hældningskoefficient $1/r$. Vi betragter en invertibel funktion $f: \mathbb R \to \mathbb R$.

### Spørgsmål a

+++

Brug resultatet beskrivet i svaret til Opgave 4 fra Uge 2 Lille Dag, til at indse grafisk at hvis grafen til $f$ har en tangentlinje gennem $(x,f(x))$ med hældningskoefficient $r \in \mathbb{R}\setminus \{0\}$, så har grafen til $f^{-1}$ en tangentlinje gennem $(f(x),x)$ med hældningskoefficient $1/r$.

### Spørgsmål b

+++

Konkluder at hvis $f$ har en afledte $f'(x)$ i $x$, så gælder at den afledte af $f^{-1}$ i $f(x)$ er lige med $1/f'(x)$. Med andre ord: 

$$(f^{-1})'(f(x))=1/f'(x).$$

### Spørgsmål c

+++

Ved at skifte variablen $x$ ud med $f^{-1}(x)$, omskriv formlen fra spørgsmål b til $(f^{-1})'(x)=1/f'(f^{-1}(x)).$

### Spørgsmål d

+++

Brug nu formlen fra spørgsmål c, til at indse at $\mathrm{arctan}'(x)=1/\tan'(\mathrm{arctan}(x))$. 

### Spørgsmål e

+++

Det gælder at $\cos'(x)=-\sin(x)$ og $\sin'(x)=\cos(x)$ og disse formler må bruges frit i opgaven. Vis nu at $\tan'(x)=\tan^2(x)+1$ og brug dette til at nå frem til formlen 

$$\mathrm{arctan}'(x)=1/(x^2+1).$$


Bemærkning: en lignende fremgangsmåde giver anledning til formlerne:

$$\mathrm{arccos}'(x)=-1/\sqrt{1-x^2}$$

og

$$\mathrm{arcsin}'(x)=1/\sqrt{1-x^2}.$$