Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem som er færdig med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.
Ekstra Opgaver – Lille Dag#
Ekstra Opgave 1: Beviser som giver en modstrid#
Spørgsmål a#
Der gives følgende “bevis” for at \(1=0\):
\[\begin{split}
\begin{array}{ll}
a=b & \text{Antagelsen. $a$ og $b$ antages at være reelle tal.}\\
& \text{Gang med $a$}\\
a^2=ab & \\
& \text{Træk $b^2$ fra}\\
a^2-b^2=ab-b^2 & \\
& \text{Omskriv}\\
(a+b)(a-b)=(a-b)b & \\
& \text{Divider med $a-b$}\\
a+b=b & \\
& \text{Brug antagelsen at $a=b$}\\
2a=a & \\
& \text{Divider med $a$}\\
2=1 & \\
& \text{Træk $1$ fra}\\
1=0 & \\
\end{array}
\end{split}\]
Det er klart noget må være galt. Hvad er fejlen?
Spørgsmål b#
Der gives igen et “bevis” for at \(1=0\):
\[\begin{split}
\begin{array}{ll}
-20=-20 & \\
& \text{Omskriv}\\
25-45=16-36 & \\
& \text{Omskriv}\\
5^2-9\cdot 5=4^2-9\cdot 4 & \\
& \text{Omskriv}\\
5^2-9\cdot 5=4^2-9\cdot 4 & \\
& \text{Omskriv}\\
\left( 5-\frac{9}{2}\right)^2=\left(4-\frac{9}{2}\right)^2 & \\
& \text{Tag kvadratroden}\\
5-\frac{9}{2}=4-\frac{9}{2} & \\
& \text{Træk $4-\frac{9}{2}$ fra}\\
1=0 & \\
\end{array}
\end{split}\]
Hvor er fejlen denne gang?