Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem, som er færdige med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

Ekstra Opgaver – Lille Dag

Ekstra Opgave 1: Mere om sum af to underrum

Ligsom i Ekstra Opgave 2 fra ugens Store Dag program betragtes summen af to vektorrum. Mere præcist, lad \(V\) være et \(n\)-dimensionelt vektorrum over et legeme \(\mathbb{F}\) og lad \(W_1\) og \(W_2\) være to underrum i \(V\). Summen \(W_1+W_2\) af to underrum i \(V\) defineres som følger

\[W_1+W_2=\{\mathbf w_1+\mathbf w_2 \, | \, \mathbf w_1 \in W_1, \mathbf w_2 \in W_2\}.\]

Nu defineres også den såkaldte direkte sum \(W_1 \oplus W_2\) af vektorrummene \(W_1\) og \(W_2\):

\[W_1 \oplus W_2=\{(\mathbf w_1,\mathbf w_2) \, | \, \mathbf w_1 \in W_1, \mathbf w_2 \in W_2\}.\]

I ord: vektorer i \(W_1 \oplus W_2\) er 2-tupler af vektorer \((\mathbf w_1,\mathbf w_2)\), hvor den første vektor er fra \(W_1\) og den anden vektor er fra \(W_2\).

Spørgsmål a

For to par af vektorer \((\mathbf w_1,\mathbf w_2)\) og \((\tilde{\mathbf w}_1,\tilde{\mathbf w}_2)\) defineres

\[(\mathbf w_1,\mathbf w_2) + (\tilde{\mathbf w}_1,\tilde{\mathbf w}_2)= (\mathbf w_1+\tilde{\mathbf w}_1,\mathbf w_2+\tilde{\mathbf w}_2).\]

Ydermere defineres for \(c \in \mathbb F\):

\[c \cdot (\mathbf w_1,\mathbf w_2) = (c \cdot \mathbf w_1, c\cdot \mathbf w_2).\]

Vis at \(W_1 \oplus W_2\) er et vektorrum over \(\mathbb F\).

Spørgsmål b

Vis at \(\dim_{\mathbb F}(W_1 \oplus W_2)=\dim_{\mathbb F}(W_1)+\dim_{\mathbb F}(W_2)\).

Hint

Givet ordnede baser \(\beta_1\) og \(\beta_2\) for \(W_1\) og \(W_2\), kan du konstruere en ordned basis for \(W_1 \oplus W_2\)?

Hint

Hvis \(\beta_1=(\mathbf w_1,\dots,\mathbf w_d)\) og \(\beta_2=(\tilde{\mathbf w}_1,\dots,\tilde{\mathbf w}_e)\), tjek at \(((\mathbf w_1,\mathbf 0),\dots,(\mathbf w_d,\mathbf 0),(\mathbf 0,\tilde{\mathbf w}_1),\dots,(\mathbf 0,\tilde{\mathbf w}_e))\) er en ordnet basis for \(W_1 \oplus W_2\).

Spørgsmål c

Der defineres en afbildning \(L: W_1 \oplus W_2 \to W_1 + W_2\) ved forskriften \(L(\mathbf w_1,\mathbf w_2)=\mathbf w_1+\mathbf w_2\). Vis at \(L\) er en linær afbildning af vektorrum over \(\mathbb F\).

Spørgsmål d

Brug dimensionssætningen for lineære afbildninger (Korollar 11.4.4 fra lærebogen) til af indse at \(\dim_{\mathbb F}(W_1+W_2)=\dim_{\mathbb F}(W_1)+\dim_{\mathbb F}(W_2)-\dim_{\mathbb F}(W_1 \cap W_2)\).

Hint

Beregn først \(L\)s kerne og vis at kernen er isomorf med \(W_1 \cap W_2\). Begrebet isomorf blev forklaret i Ekstra Opgave 1 fra denne ugens Store Dag program.