---
jupytext:
  formats: md:myst
  text_representation:
    extension: .md
    format_name: myst
    format_version: '0.8'
    jupytext_version: 1.4.1+dev
kernelspec:
  display_name: Python 3
  language: python
  name: python3
---

(section:uge10L)=

Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem, som er færdige med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

# Ekstra Opgaver -- Lille Dag


## Ekstra Opgave 1: Mere om sum af to underrum

Ligsom i Ekstra Opgave 2 fra ugens Store Dag program betragtes summen af to vektorrum. Mere præcist, lad $V$ være et $n$-dimensionelt vektorrum over et legeme $\mathbb{F}$ og lad $W_1$ og $W_2$ være to underrum i $V$. Summen $W_1+W_2$ af to underrum i $V$ defineres som følger 

$$W_1+W_2=\{\mathbf w_1+\mathbf w_2 \, | \, \mathbf w_1 \in W_1, \mathbf w_2 \in W_2\}.$$

Nu defineres også den såkaldte direkte sum $W_1 \oplus W_2$ af vektorrummene $W_1$ og $W_2$:

$$W_1 \oplus W_2=\{(\mathbf w_1,\mathbf w_2) \, | \, \mathbf w_1 \in W_1, \mathbf w_2 \in W_2\}.$$

I ord: vektorer i $W_1 \oplus W_2$ er 2-tupler af vektorer $(\mathbf w_1,\mathbf w_2)$, hvor den første vektor er fra $W_1$ og den anden vektor er fra $W_2$.

+++

### Spørgsmål a

For to par af vektorer $(\mathbf w_1,\mathbf w_2)$ og $(\tilde{\mathbf w}_1,\tilde{\mathbf w}_2)$ defineres

$$(\mathbf w_1,\mathbf w_2) + (\tilde{\mathbf w}_1,\tilde{\mathbf w}_2)= (\mathbf w_1+\tilde{\mathbf w}_1,\mathbf w_2+\tilde{\mathbf w}_2).$$

Ydermere defineres for $c \in \mathbb F$:

$$c \cdot (\mathbf w_1,\mathbf w_2) = (c \cdot \mathbf w_1, c\cdot \mathbf w_2).$$

Vis at $W_1 \oplus W_2$ er et vektorrum over $\mathbb F$.


+++

### Spørgsmål b

Vis at $\dim_{\mathbb F}(W_1 \oplus W_2)=\dim_{\mathbb F}(W_1)+\dim_{\mathbb F}(W_2)$.

```{hint}
:class: dropdown
Givet ordnede baser $\beta_1$ og $\beta_2$ for $W_1$ og $W_2$, kan du konstruere en ordned basis for $W_1 \oplus W_2$? 
```

```{hint}
:class: dropdown
Hvis $\beta_1=(\mathbf w_1,\dots,\mathbf w_d)$ og $\beta_2=(\tilde{\mathbf w}_1,\dots,\tilde{\mathbf w}_e)$, tjek at 
$((\mathbf w_1,\mathbf 0),\dots,(\mathbf w_d,\mathbf 0),(\mathbf 0,\tilde{\mathbf w}_1),\dots,(\mathbf 0,\tilde{\mathbf w}_e))$ er en ordnet basis for $W_1 \oplus W_2$.
```

+++

### Spørgsmål c

Der defineres en afbildning $L: W_1 \oplus W_2 \to W_1 + W_2$ ved forskriften $L(\mathbf w_1,\mathbf w_2)=\mathbf w_1+\mathbf w_2$. Vis at $L$ er en linær afbildning af vektorrum over $\mathbb F$.


+++

### Spørgsmål d

Brug dimensionssætningen for lineære afbildninger (Korollar 11.4.4 fra lærebogen) til af indse at $\dim_{\mathbb F}(W_1+W_2)=\dim_{\mathbb F}(W_1)+\dim_{\mathbb F}(W_2)-\dim_{\mathbb F}(W_1 \cap W_2)$.


```{hint}
:class: dropdown
Beregn først $L$s kerne og vis at kernen er isomorf med $W_1 \cap W_2$. Begrebet isomorf blev forklaret i Ekstra Opgave 1 fra denne ugens Store Dag program.
```