Opgaver – Store Dag

Opgaver – Store Dag#

Opgave 1: Eksempler på vektorrum#

I denne opgave betragtes følgende eksempler på vektorrum.

  1. Det reelle vektorrum \(V_1=\mathbb{R}^{4}\).

  2. Det komplekse vektorrum \(V_2=\mathbb{C}^{4}\).

  3. Det reelle vektorrum \(V_3=\mathbb{R}^{4 \times 2}\).

  4. Det komplekse vektorrum \(V_4=\mathbb{C}[Z]\).

  5. Det reelle vektorrum \(V_5=\mathbb{C}\).

Spørgsmål a#

Ifølge Definition 9.1.1 fra lærebogen, har hvert vektorrum en nulvektor \({\mathbf 0}\). Angiv nulvektoren i hvert af de fem ovenstående vektorrum.

Svar

\[\begin{split}{\mathbf 0}= \left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right].\end{split}\]
\[\begin{split}{\mathbf 0}= \left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right].\end{split}\]
\[\begin{split}{\mathbf 0}= \left[\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 0\\ \end{array}\right].\end{split}\]

Nulvektoreren er nulpolynomiet, dvs. polynomiet hvorom det gælder at alle dets koefficienter er nul.

Nulvektoreren er det komplekse tal \(0\).

Spørgsmål b#

Angiv en basis af de givne vektorrum og bestem rummenes dimensioner.

Hint

I hvert tilfælde kan du finde en mulig basis i lærebogen. Se Proposition 9.2.4, Examples 9.2.5, 9.2.6 og 9.2.7.

Svar

Dimensionerne er givet ved hhv. \(4, 4, 8, \infty, 2\).

Opgave 2: Koordinater af en vektor med hensyn til en ordnet basis#

Lad \(W= \{a+bZ+cZ^2 \, \mid \, a,b,c\in \mathbb{C}\} \subset \mathbb{C}[Z]\) være mængden bestående af alle polynomier af grad højst to.

Spørgsmål a#

Tjek at \(W\) er et underrum af det komplekse vektorrum \(\mathbb{C}[Z]\).

Hint

Lemma 9.3.2 fra lærebogen kan være nyttigt her.

Spørgsmål b#

Tjek at følgen \((1,Z,Z^2)\) er en ordnet basis for \(W\). Tjek at følgen \((1,1+Z,1+Z+Z^2)\) også er en ordnet basis for \(W\).

Hint

Ifølge Definition 9.2.3 skal man tjekke to ting til hver givet følge: 1. at de tre givne polynomier i følgen er lineært uafhængige og 2. at hvert polynomium fra \(W\) kan skrives som en linearkombination af de tre polynomier i følgen.

Spørgsmål c#

Der gives nu to ordnede baser for \(W\), nemlig \(\beta=(1,Z,Z^2)\) og \(\gamma=(1,1+Z,1+Z+Z^2)\). Bestem følgende koordinatsæt:

\[ \left[2+5Z+Z^2\right]_\beta \, , \quad \left[5Z+10Z^2\right]_\beta \, , \quad \left[2+5Z+Z^2\right]_\gamma \, , \quad \left[5Z+10Z^2\right]_\gamma \, .\]

Hint

Definition 9.2.4 fra lærebogen fortæller, hvad koordinater til en vektor med hensyn til en ordnet basis er.

Svar

\[\begin{split} \left[2+5Z+Z^2\right]_\beta= \left[\begin{array}{c} 2\\ 5\\ 1\\ \end{array}\right], \quad \left[5Z+10Z^2\right]_\beta= \left[\begin{array}{c} 0\\ 5\\ 10\\ \end{array}\right], \quad \left[2+5Z+Z^2\right]_\gamma= \left[\begin{array}{c} -3\\ 4\\ 1\\ \end{array}\right], \quad \left[5Z+10Z^2\right]_\gamma= \left[\begin{array}{c} -5\\ -5\\ 10\\ \end{array}\right].\end{split}\]

Opgave 3: Lineær afhængighed eller uafhængighed#

Undersøg om vektorerne er lineært afhængige eller lineært uafhængige i følgende tilfælde. Ved lineær afhængighed ønskes en af vektorerne skrevet som en linearkombination af de øvrige.

  1. Vektorerne \((1,i), (1+i,-1+i)\) i det komplekse vektorrum \(\mathbb{C}^{2}\).

  2. Matricerne \(\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \newline 1 & 1 & 1 \end{array}\right], \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2 \newline 0 & 0 & 1 \end{array}\right], \left[ \begin{array}{rrr} 2 & 5 & -2 \newline 3 & 3 & 2 \end{array}\right]\) i det reelle vektorrum \(\mathbb{R}^{2\times 3}\).

  3. Vektorerne \((1,i), (1+i,-1+i)\) i det reelle vektorrum \(\mathbb{C}^{2}\).

  4. Polynomierne \(1 + 2Z + Z^{2}, \, 2 + 7Z +3Z^{2} + Z^{3}, \, 3 + 12Z + 5Z^{2} +2Z^{3}\) i det reelle vektorrum \(\mathbb{R}[Z]\).

Hint

I alle tilfælde skal det undersøges om der findes en linearkombination af de givne vektorer som giver nul, selvom ikke alle koefficienter er nul.

Tilfælde 1. kan derfor direkte løses vha. teorien om systemer af lineære ligninger.

Tilfælde 2. kan løses direkte ved at undersøge om en linearkombination kan give nulvektoren. Men kan også løse opgaven vha. Theorem 9.2.3 fra lærebogen efter man vælger en ordnet basis for \(\mathbb{R}^{2\times 3}\).

Tilfælde 3. kan løses på lignende måde som Tilfælde 2. Bemærk at \(\mathbb{C}^{2}\) betragtes som et reelt vektorrum i opgaven. Derfor skal koefficienterne i en linearkombination være reelle tal.

Tilfælde 4. foregår i det reelle, uendelig-dimensionelle vektorrum \(\mathbb{R}[Z]\), så Theorem 9.2.3 kan ikke anvendes direkte, men bemærk at

\[c_1\cdot(1 + 2Z + Z^{2})+c_2\cdot(2 + 7Z +3Z^{2} + Z^{3})+c_3\cdot(3 + 12Z + 5Z^{2} +2Z^{3})=0\]

hvis og kun hvis

\[\begin{split}c_1\cdot\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\\0\end{array}\right]+c_2\cdot\left[\begin{array}{c}2\\7\\3\\1\end{array}\right]+c_3\cdot\left[\begin{array}{c}3\\12\\5\\2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\end{array}\right].\end{split}\]

Svar

  1. De to vektorer er lineært afhængige. Man har for eksempel \((1+i,-1+i)=(1+i)\cdot(1,i).\)

  2. De tre matricer er lineært afhængige. Det gælder for eksempel at

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{rrr} 2 & 5 & -2 \\ 3 & 3 & 2 \end{array}\right] = 3\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right] - \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\,. \end{split}\]

  1. Vektorerne \((1+i,-1+i)\) og \((1,i)\) er lineært uafhængige hvis \(\mathbb{C}^2\) opfattes som reel vektorrum.

  2. De tre polynomier er lineært afhængige. Der gælder for eksempel

\[ 3 + 12Z + 5Z^{2} +2Z^{3}=-(1 + 2Z + Z^{2})+2\cdot(2 + 7Z +3Z^{2} + Z^{3}). \]

Opgave 4: Ordnede baser og koordinater i \(\mathbb{R}^4\)#

I \(\mathbb{R}^4\) er der givet fem vektorer:

\[\begin{split} {\mathbf v}_1=\left[\begin{array}{r}1\\-1\\2\\1\end{array}\right],\, {\mathbf v}_2=\left[\begin{array}{r}0\\1\\1\\3\end{array}\right],\, {\mathbf v}_3=\left[\begin{array}{r}1\\-2\\2\\-1\end{array}\right],\, {\mathbf v}_4=\left[\begin{array}{r}0\\1\\-1\\3\end{array}\right], \, {\mathbf v}=\left[\begin{array}{r}1\\-2\\2\\-3\end{array}\right].\end{split}\]

Gør rede for at \(\beta=({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2,{\mathbf v}_3,{\mathbf v}_4)\) er en ordnet basis for \(\mathbb{R}^4\,\), og bestem \(\beta\)-koordinatvektoren \([{\mathbf v}]_\beta\). SymPy må bruges til at beregne reducerede trappeformer af matricer.

Hint

Afgør først om vektorerne \({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2,{\mathbf v}_3,{\mathbf v}_4\) er lineært uafhængige ved hjælp af Theorem 7.1.3. SymPy kan bruges til at bestemme den reducerede trappeform af den \(4 \times 4\) matrix som har vektorerne \({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2,{\mathbf v}_3,{\mathbf v}_4\) som dens søjler.

Hint

Efter man har vist at vektorerne \({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2,{\mathbf v}_3,{\mathbf v}_4\) er lineært uafhængige, kan Theorem 9.2.7 fra lærebogen bruges til at konkludere at \(\beta\) er en ordnet basis.

Svar

Vektorerne \({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2,{\mathbf v}_3,{\mathbf v}_4\) er lineært uafhængige og danner derfor ifølge Theorem 9.2.7 en basis \(\{{\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2,{\mathbf v}_3,{\mathbf v}_4\}\). Følgen \(({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2,{\mathbf v}_3,{\mathbf v}_4)\) er derfor en ordnet basis.

Løsningen til det inhomogene lineære ligningssystem

\[c_1\cdot{\mathbf v}_1+c_2\cdot{\mathbf v}_2+c_3\cdot{\mathbf v}_3+c_4\cdot{\mathbf v}_4={\mathbf v}\]

giver den ønskede \(\beta\)-koordinatvektor. Mere præcist gælder

\[\begin{split} [{\mathbf v}]_\beta=\left[\begin{array}{r}2\\-1\\-1\\-1\end{array}\right]\, . \end{split}\]

Løsningen kan findes vha. SymPy ved at beregne den reducerede trappeform af den \(4 \times 5\) matrix som har vektorerne \({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2,{\mathbf v}_3,{\mathbf v}_4,{\mathbf v}\) som dens søjler.

Opgave 5: Underrum af \(\mathbb{R}^{3 \times 3}\)#

Lad \(V=\mathbb{R}^{3 \times 3}\) være det reelle vektorrum bestående af alle \(3 \times 3\) matricer med reelle koefficienter. Der gives følgende tre delmængder af \(V\).

  1. \(W_1\) er mængden af alle øvre trekantsmatricer i \(V\).

  2. \(W_2\) er mængden af alle diagonalmatricer i \(V\)

  3. \(W_3=\left\{ {\mathbf A} \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \, \mid \, {\mathbf A} = -{\mathbf A}^T\right\}.\)

Spørgsmål a#

Tjek at \(W_1\), \(W_2\) og \(W_3\) alle er underrum af \(V\).

Hint

Lemma 9.3.2 fra lærebogen kan bruges til at vise at en delmængde af et vektorrum er et underrum.

Spørgsmål b#

Find en basis af de tre underrum \(W_1\), \(W_2\) og \(W_3\). Hvad er underrummenes dimensioner?

Svar

  1. En mulig basis til \(W_1\) er

\[\begin{split}\left\{ \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right], \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right], \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right], \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right], \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right], \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] \right\}.\end{split}\]

Derfor gælder \(\dim_{\mathbb R} W_1=6.\)

  1. En mulig basis til \(W_2\) er

\[\begin{split}\left\{ \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right], \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right], \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] \right\}.\end{split}\]

Derfor gælder \(\dim_{\mathbb R} W_2=3.\)

  1. En mulig basis til \(W_3\) er

\[\begin{split}\left\{ \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right], \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0\\ \end{array}\right], \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0\\ \end{array}\right] \right\}.\end{split}\]

Derfor gælder \(\dim_{\mathbb R} W_3=3.\)

Opgave 6: Underrum af \(\mathbb{C}[Z]\).#

Hvilke af følgende tre mængder er underrum af det komplekse vektorrum \(\mathbb{C}[Z]\)?

  1. \(W_1=\{p(Z) \in \mathbb{C}[Z] \, \mid \, p(0)=0\}.\)

  2. \(W_2=\{p(Z) \in \mathbb{C}[Z] \, \mid \, 0 \text{ er rod i } p(Z) \text{ af multiplicitet } 1\}.\)

  3. \(W_3=\{p(Z) \in \mathbb{C}[Z] \, \mid \, Z\cdot p'(Z)=p(Z)\},\) hvor \(p'(Z)\) betegner den afledte til \(p(Z)\).

Svar

  1. Lemma 9.3.2 fra lærebogen kan bruges til at vise at \(W_1\) er et underrum af \(\mathbb{C}[Z]\).

  2. \(W_2\) er ikke et underrum af \(\mathbb{C}[Z]\). Problemet er at en linearkombination af polynomier som hvert har \(0\) som rod af multiplicitet \(1\), kan have \(0\) som rod af multiplicitet strengt større end \(1\). For eksempel: \(Z\cdot(Z-1)=Z^2-Z\) og \(Z\) er i \(W_2\), men \(Z\cdot(Z-1)+Z=Z^2\) er ikke i \(W_2\), fordi \(Z^2\) har \(0\) som rod med multiplicitet \(2\).

  3. Hvis \(p(Z)=a_0+a_1Z+a_2Z^2+\cdots+a_nZ^n\), så gælder \(p'(Z)=a_1+2a_2Z+\cdots+na_nZ^{n-1}\). Dette kan bruges til at vise at \(W_3=\{a_1Z \, \mid \, a_1 \in \mathbb{C}\}.\) Lemma 9.3.2 fra lærebogen kan nu bruges til at vise at \(W_3\) er et underrum af \(\mathbb{C}[Z]\).

Opgave 7: Underrum og lineære ligningssystemer#

Gør rede for at løsningsmængden for det lineære ligningssystem over \(\mathbb R\)

\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{rcl} x_2 +3x_3 - x_4+2x_5 & = & 0\\ 2x_1+3x_2+x_3+3x_4 & = & 0\\ x_1 + x_2 -x_3 + 2x_4-x_5 & = & 0 \end{array} \right. \end{split}\]

er et underrum i \(\mathbb{R}^5\,\), angiv underrummets dimension, og bestem en basis for dette underrum.

Hint

Find først den fuldstændige løsning til systemet ligesom i Example 6.4.3 fra lærebogen, eventuelt vha. SymPy. Kan du se hvad en mulig basis af løsningsrummet er? Sammenlign eventuelt med Corollary 9.3.4.

Svar

Dimensionen af underummet er \(3\). Basen skal indholde tre lineært uafhængige vektorer i løsningsrummet. Der er derfor mange muligheder for korrekt svar. Følger man proceduren som i Theorem 6.4.4 til at finde den fuldstændige løsning, så finder man følgende basis:

\[\begin{split}\left\{ \left[\begin{array}{c} 4\\ -3\\ 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right], \, \left[\begin{array}{c} -3\\ 1\\ 0\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right], \, \left[\begin{array}{c} 3\\ -2\\ 0\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right] \right\}.\end{split}\]

Opgave 8: Udspænding af vektorer#

I \(\mathbb{R}^6\) er der givet fire vektorer:

\[{\mathbf u}_1=(1,0,1,0,1,0)\, , \quad {\mathbf u}_2=(0,1,1,1,1,-1)\,, \quad {\mathbf v}_1=(4,-5,-1,-5,-1,5)\, , \quad {\mathbf v}_2=(-3,2,-1,2,-1,-2)\,.\]

Spørgsmål a#

Vis at \({\mathbf u}_1\) og \({\mathbf u}_2\) udspænder det samme underrum i \(\mathbb{R}^6\) som \({\mathbf v}_1\) og \({\mathbf v}_2\). Med andre ord: vis at \(\mathrm{Span}({\mathbf u}_1,{\mathbf u}_2)=\mathrm{Span}({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2)\).

Hint

Vis først at \(\mathrm{Span}({\mathbf u}_1,{\mathbf u}_2) \subseteq \mathrm{Span}({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2)\) og bagefter at \(\mathrm{Span}({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2) \subseteq \mathrm{Span}({\mathbf u}_1,{\mathbf u}_2)\).

Hint

For at vise at \(\mathrm{Span}({\mathbf u}_1,{\mathbf u}_2) \subseteq \mathrm{Span}({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2)\) er det tilstrækkeligt at vise at \({\mathbf u}_1 \in \mathrm{Span}({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2)\) og \({\mathbf u}_2 \in \mathrm{Span}({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2)\).

Spørgsmål b#

Angiv en vektor i \(\mathbb{R}^6\) som ikke er indeholdt i \(\mathrm{Span}({\mathbf u}_1,{\mathbf u}_2)\).

Opgave 9: Underrum#

Lad \(V\) være et vektorrum over et legeme \(\mathbb F\) (på engelsk: a field \(\mathbb{F}\)). Givet to underrum \(W_1\), \(W_2\) af \(V\), vis at \(W_1 \cap W_2\) også er et underrum af \(V\).