Opgaver – Lille Dag#
Opgave 1: Eksempel på en basisskiftematrix#
I denne opgave betegnes med \(V\) det reelle vektorrum \(\mathbb{R}^2\). Ydermere gives følgende to ordnede baser \(\beta\) og \(\gamma\) for \(\mathbb{R}^2\):
og
Spørgsmål a#
Beregn \(\left[\begin{array}{c} 4\\ 1 \end{array}\right]_\gamma\) og \(\left[\begin{array}{c} 7\\ 2 \end{array}\right]_\gamma\).
Hint
Ifølge Definition 10.2.5 gælder \(\left[\begin{array}{c} 4\\ 1 \end{array}\right]_\gamma=\left[\begin{array}{c} c_1\\ c_2 \end{array}\right],\) hvor \(\left[\begin{array}{c} 4\\ 1 \end{array}\right]=c_1\left[\begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c} 2\\ 3 \end{array}\right].\) Bestem nu \(c_1,c_2\) ved at løse det tilhørende lineære ligningssystem.
Svar
\(\left[\begin{array}{c} 4\\ 1 \end{array}\right]_\gamma=\left[\begin{array}{c} -10\\ 7 \end{array}\right]\) og \(\left[\begin{array}{c} 7\\ 2 \end{array}\right]_\gamma=\left[\begin{array}{c} -17\\ 12 \end{array}\right]\).
Spørgsmål b#
Brug svarene fra spørgsmål a til at bestemme basisskiftematricen \({ }_{\gamma}M_{\beta}\).
Hint
I formuleringen af Sætning 10.2.5 står hvordan matricen \({ }_{\gamma}M_{\beta}\) er defineret.
Svar
Opgave 2: Mere om basisskiftematricer#
Ligesom i Opgave 1, betegnes \(V\) det reelle vektorrum \(\mathbb{R}^2\). Rummets ordnede standardbasis betegnes med \(\varepsilon\), mens \(\beta\) og \(\gamma\) er de ordnede baser givet i Opgave 1. Målet med opgaven er at beregne basisskiftematricen \({ }_{\gamma}M_{\beta}\) fra Opgave 1 på en anden måde, som nogle gange kan være lettere.
Spørgsmål a#
Beregn basisskiftematricerne \({ }_{\varepsilon}M_{\beta}\) og \({ }_{\varepsilon}M_{\gamma}.\)
Svar
og
Bemærkning: generelt er det nemt at bestemme en basisskiftematrix på formen \({ }_{\varepsilon}M_{\beta}\), når \(\varepsilon\) er den ordnede standardbasis for \(\mathbb{F}^n\).
Spørgsmål b#
Brug del (iii) af Lemma 10.3.2 fra lærebogen, samt svarene fra spørgsmål a, til at bestemme basisskiftematricen \({ }_{\gamma}M_{\varepsilon}\).
Svar
Spørgsmål c#
Brug del (i) af Lemma 10.3.2 fra lærebogen, samt svarene fra spørgsmål a og b, til at bestemme basisskiftematricen \({ }_{\gamma}M_{\beta}\).
Svar
Opgave 3: Koordinatvektoren af en vektor med hensyn til to ordnede baser#
Notation i denne opgave er den samme som i Opgave 2 fra Uge 9, Store Dag. Især er \(W= \{a+bZ+cZ^2 \, \mid \, a,b,c\in \mathbb{C}\} \subset \mathbb{C}[Z]\) det komplekse vektorrum bestående af alle polynomier af grad højst to. Der betragtes to ordnede baser for \(W\), nemlig \(\beta=(1,Z,Z^2)\) og \(\gamma=(1,1+Z,1+Z+Z^2)\).
Spørgsmål a#
Bestem basisskiftematricen \({ }_{\beta}M_\gamma\).
Spørgsmål b#
Det oplyses at \(\left[2+5Z+Z^2\right]_\gamma= \left[\begin{array}{c} -3\\ 4\\ 1\\ \end{array}\right]\). Brug Sætning 10.3.1 fra lærebogen til at bestemme \(\left[2+5Z+Z^2\right]_\beta\).
Svar
Spørgsmål c#
Bestem basisskiftematricen \({ }_{\gamma}M_\beta\) ved hjælp af del (iii) af Lemma 10.3.2.
Svar
Spørgsmål d#
Det oplyses at \(\left[5Z+10Z^2\right]_\beta= \left[\begin{array}{c} 0\\ 5\\ 10\\ \end{array}\right]\). Brug Sætning 10.3.1 fra lærebogen til at bestemme \(\left[5Z+10Z^2\right]_\gamma\).
Svar
Opgave 4: Udspænding af vektorer#
Det gives følgende fire polynomier i \(\mathbb{R}[Z]\): \(p_1(Z)=1+3Z^2\), \(p_2(Z)=-2+Z^2\), \(p_3=5+6Z^2\) og \(p_4(Z)=1+Z^2+Z^5\). Der defineres \(W=\mathrm{Span}(p_1(Z),p_2(Z),p_3(Z),p_4(Z)).\)
Spørgsmål a#
Bestem den ordnede basis \(\beta\) for \(W\) som Sætning 10.4.4 fra lærebogen giver anledning til.
Svar
\(\beta=(p_1(Z),p_2(Z),p_(4))\).
Spørgsmål b#
Vis at polynomiet \(p(Z)=Z^5\) er i \(W\) og bestem \([p(Z)]_\beta\), hvor \(\beta\) er den ordnede basis fundet i spørgsmål a.
Spørgsmål c#
Nogen påstår at listen \(\gamma=(1,Z^2,Z^5)\) også er en ordnet basis for \(W\). Er påstanden sand?
Svar
Ja.
Spørgsmål d#
Bestem koordinatskiftematricer \({ }_\beta M_\gamma\) og \({ }_\gamma M_\beta\). Inden du går i gang, overvej først hvilke af disse to er nemmest at bestemme.
Svar
og
Opgave 5: Lineært uafhængighed#
Lad \(V\) være et endeligt dimensionelt vektorrum og \(\beta\) en ordnet basis for \(V\). Det oplyses at for givne vektorer \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_n\) sættet \(([\mathbf{v}_1]_\beta, [\mathbf{v}_2]_\beta, \dots, [\mathbf{v}_n]_\beta)\) er lineært uafhængigt. Vis at for enhver anden ordnet basis \(\gamma\) for \(V\) sættet \(([\mathbf{v}_1]_\gamma, [\mathbf{v}_2]_\gamma, \dots, [\mathbf{v}_n]_\gamma)\) også er lineært uafhængigt.