Opgaver – Store Dag#
Opgave 1: Intro til lineære ligningssystemer med SymPy#
I Opgave 6 fra Uge 7, Lille Dag blev følgende tre lineære ligningssystemer over \(\mathbb R\) undersøgt:
Vi vil nu undersøge disse tre systemer igen, men nu ved hjælp af CAS-værktøjet SymPy. Åbn derfor et Jupyter notebook og start med at køre kommandoen from sympy import *. Kommandoen sørger for at man nu kan bruge Sympy-kommandoer.
Spørgsmål a#
Totalmatricen \(T1\) til det første lineære ligningssystem kan defineres i Sympy på følgende måde: T1=Matrix([[1,1,1,1],[1,2,4,1],[1,3,9,1]]). Afprøv kommmandoen. For at se matricen \(T1\) på dit skærm, behøver du blot at skrive T1. For at beregne \(T1\)’s reducerede trappeform kan man skrive T1.rref(). Bemærk at “rref” blot er en forkortelse af “reduced row echelon form”. Hvordan skal outputtet fortolkes?
Svar
Outputtet er (Matrix([[1,0,0,1],[0,1,0,0],[0,0,1,0]]),(0,1,2)). Den første del af outputtet, Matrix([[1,0,0,1],[0,1,0,0],[0,0,1,0]]), er den reducerede trappeform af matricen \(T1\). Den anden del, (0,1,2), angiver søjlene af den reducerede trappeform som indeholder et pivot-element. Husk at Python bruger nul-indeksering, så det faktisk er den 1., 2. og 3. søjle af den reducerede trappeform som indeholder et pivot-element i dette tilfælde.
Hvis man bruger kommandoen T1.rref(pivots=False), så får man kun \(T1\)’s reducerede trappeform at se. Afprøv også denne kommando.
Spørgsmål b#
Ud fra \(T1\)’s reducerede trappeform kan løsningen til lineær ligningssystem nr. 1., direkte aflæses. Man kan også løse systemet direkte i Sympy. Først skal man definere systemets koefficientmatrix A=Matrix([[1,1,1],[1,2,4],[1,3,9]]) og systemets højreside b=Matrix([[1],[1],[1]]). Afprøv nu kommandoen linsolve((A,b)) og fortolk outputtet.
Svar
Outputtet er løsningsmængde til lineær ligningssystem nr. 1.
Spørgsmål c#
Prøv nu selv at gå igennem de samme trin som i spørgsmål a og b, men nu for ligningssystem nr 2. Hvilke søjler af totalmatricens reducerede trappeform indeholder et pivot-element? Hvad er systemets løsningsmængde?
Hint
Kommandoen T2=Matrix([[1,1,1,1],[1,2,4,1],[1,3,7,1]]) definerer totalmatricen af system nr. 2.
Svar
Den reducerede trappeform af \(T2\) har kun to pivot-elementer, som befinder sig i dens 1. og 2. søjle. Sympy’s bud på løsningsmængden er \(\{(2\tau_0+1,-3\tau_0,\tau_0)\}\). Læg mærke til at Sympy bruger \(\tau_0\) til at angive en fri parameter (og \(\tau_0\), \(\tau_1\), osv., hvis der er behov for flere frie parametre). Læg også mærke til at systemets løsningsmængde egentligt er \(\{(2\tau_0+1,-3\tau_0,\tau_0) \, \mid \, \tau_0 \in \mathbb{R}\}.\)
Spørgsmål d#
Gør nu det samme en gang til, men nu for ligningsssytem nr 3. Hvilke søjler af totalmatricens reducerede trappeform indeholder et pivot-element? Hvad er systemets løsningsmængde?
Svar
Den reducerede trappeform af systemets totalmatrix har tre pivot-elementer, som befinder sig i dens 1., 2. og 4. søjle. Sympy angiver helt korrekt \(\emptyset\), den tomme mængde, som løsningsmængde.
Opgave 2: Linearkombinationer#
Givet er følgende vektorer i \(\mathbb{R}^3\):
Spørgsmål a#
Beregn i hånden følgende linearkombinationer af de tre vektorer \({\mathbf u}, {\mathbf v}\) og \({\mathbf w}.\)
\(4{\mathbf v}.\)
\(2{\mathbf u}-3{\mathbf w}\).
\(3{\mathbf u}-2{\mathbf v}+2{\mathbf w}\).
Svar
- \[\begin{split}4{\mathbf v}=\left[ \begin{array}{c} 28\\ 16\\ 12\\ \end{array} \right]. \end{split}\]
Spørgsmål b#
Afgør om vektorerne \({\mathbf u}, {\mathbf v}\) og \({\mathbf w}\) er lineært uafhængige baseret på svarene fra spørgsmål a.
Hint
Du kan finde i Definition 7.1.1 hvad det betyder for vektorer at være lineært uafhængige/afhængige. Ligning (7-3) og (7-4) kan også være nyttige at se på.
Svar
Vektorerne \({\mathbf u}\), \({\mathbf v}\) og \({\mathbf w}\) er ikke linært uafhængige, på grund af del 3. af spørgsmål a og ligning (7-4) fra noterne.
Spørgsmål c#
Vis at vektorerne \({\mathbf u}\) og \({\mathbf v}\) er lineært uafhængige.
Hint
Betragt først ligning (7-3) fra lærebogen. Hvis \(c_1,c_2 \in \mathbb{R}\) opfylder at
kan man da vise at \(c_1=c_2=0\)?
Svar
Vektorerne \({\mathbf u}\) og \({\mathbf v}\) er lineært uafhængige.
Opgave 3: Lineær uafhængige vektorer i \(\mathbb{R}^4\)#
Der opgives følgende tre vektorer i \(\mathbb{R}^4\):
Spørgsmål a#
Vis at vektorerne \({\mathbf u}, {\mathbf v}\) og \({\mathbf w}\) er lineært uafhængige.
Hint
Antag at
Hvad kan der siges om \(c_1, c_2\) og \(c_3\)?
Spørgsmål b#
Find en vektor \({\mathbf b} \in \mathbb{R}^4\) således at vektorerne \({\mathbf u}, {\mathbf v}, {\mathbf w}\) og \({\mathbf b}\) er lineært uafhængige.
Spørgsmål c#
Antag at \({\mathbf c} \in \mathbb{R}^4\) opfylder at vektorerne \({\mathbf u}, {\mathbf v}, {\mathbf w}\) og \({\mathbf c}\) er lineært uafhængige. Vis, at i så fald kan vektor \(\mathbf c\) ikke skrives som en linearkombination af \({\mathbf u}, {\mathbf v}\) og \({\mathbf w}\).
Hint
Det man skal vise er logisk ækvivalent med udsagnet: hvis \({\mathbf c}\) kan skrives som en linearkombination af \({\mathbf u}, {\mathbf v}\) og \({\mathbf w}\), så er vektorerne \({\mathbf u}, {\mathbf v}, {\mathbf w}\) og \({\mathbf c}\) lineært afhængige.
Hint
Hvis \({\mathbf c}=c_1\cdot {\mathbf u}+c_2\cdot {\mathbf v}+c_3\cdot {\mathbf w}\) for visse \(c_1,c_2,c_3 \in \mathbb{R}\), så gælder
Opgave 4: Lineært uafhængighed og reduceret trappeform.#
Givet er følgende fire vektorer i \(\mathbb{C}^4\):
Spørgsmål a#
Definer i SymPy den \(4 \times 4\) matrix \(\mathbf A\) som har søjler \({\mathbf v}_1, {\mathbf v}_2, {\mathbf v}_3\) og \({\mathbf v}_4\). Brug SymPy til at beregne matricens reducerede trappeform. Brug trappeformen til at find \({\mathbf A}\)’s rang.
Svar
\(\mathbf A\)’s reducerede trappeform er
Det vil sige at \(\mathbf A\)’s reducerede trappeform er \({\mathbf I}_4\). Trappeformen har fire pivot-elementer, som betyder at \(\rho(\mathbf A)=4.\)
Spørgsmål b#
Er de givne vektorer \({\mathbf v}_1, {\mathbf v}_2, {\mathbf v}_3\) og \({\mathbf v}_4\) lineært uafhængige?
Hint
Theorem 7.1.3 fra noterne kan være nyttigt her.
Svar
Ja, de er lineært uafhængige.
Opgave 5: Matrixprodukt#
Givet er følgende tre matricer:
Spørgsmål a#
Hvilke af de ni mulige matrixprodukter \({\mathbf A}\cdot{\mathbf A}\), \(\, {\mathbf A}\cdot{\mathbf B}\), \(\, {\mathbf A}\cdot{\mathbf C}\), \(\, {\mathbf B}\cdot{\mathbf A}\), \(\, {\mathbf B}\cdot{\mathbf B}\), \(\, {\mathbf B}\cdot{\mathbf C}\), \(\, {\mathbf C}\cdot{\mathbf A}\), \(\, {\mathbf C}\cdot{\mathbf B}\), \(\, {\mathbf C}\cdot{\mathbf C}\) er definerede?
Hint
Ifølge Definition 7.2.2 fra noterne, kan man kun gange to matricer sammen hvis antallet af søjler i den første matrix er lig med antallet af rækker i den anden matrix.
Svar
Kun følgende matrixprodukter kan dannes: \({\mathbf A}\cdot{\mathbf B}, \, {\mathbf A}\cdot{\mathbf C}, \, {\mathbf B}\cdot{\mathbf A}, \, {\mathbf C}\cdot{\mathbf B}, \, {\mathbf C}\cdot{\mathbf C}\).
Spørgsmål b#
Beregn i hånden matrixprodukterne \({\mathbf A}\cdot{\mathbf B}\) og \({\mathbf B}\cdot{\mathbf A}\). Gælder det at \({\mathbf A}\cdot{\mathbf B}={\mathbf B}\cdot{\mathbf A}\)?
Svar
Det er klart fra svaret at \({\mathbf A}\cdot{\mathbf B} \neq {\mathbf B}\cdot{\mathbf A}\). Matricerne \({\mathbf A}\cdot{\mathbf B}\) og \({\mathbf B}\cdot{\mathbf A}\) har ikke engang den samme størrelse!
Spørgmål c#
Beregn produktet af skalaren \(-1/2\) og matricen \(\mathbf C\). Med andre ord: beregn \((-1/2) \cdot {\mathbf C}\).
Svar
Spørgmål d#
Afgør om følgende summer af matricer er definerede og beregn dem der er: \((-1/2) \cdot {\mathbf C}+{\mathbf A} \cdot {\mathbf B}\) og \((-1/2) \cdot {\mathbf C}+{\mathbf B} \cdot {\mathbf A}.\)
Svar
Summen \((-1/2) \cdot {\mathbf C}+{\mathbf A} \cdot {\mathbf B}\) er ikke defineret, fordi \((-1/2) \cdot {\mathbf C}\) er en \(3 \times 3\) matrix og \({\mathbf A} \cdot {\mathbf B}\) en \(2 \times 2\) matrix.
Summen \((-1/2) \cdot {\mathbf C}+{\mathbf B} \cdot {\mathbf A}\) er defineret, fordi matricerne \((-1/2) \cdot {\mathbf C}\) og \({\mathbf A} \cdot {\mathbf B}\) har den samme størrelse. Udkomsten er:
Opgave 6: Matrix-vektorprodukt og lineære ligningssystemer#
Givet er det lineære ligningssystem
Spørgsmål a#
Skriv systemet på formen som i ligning (7-5) fra lærebogen.
Svar
Spørgsmål b#
Der defineres
Tjek at det givne lineære ligningssystem har totalmatrix \([{\mathbf A}|{\mathbf b}]\). I Opgave 3b fra Uge 7 Lille Dag, blev det tjekket i hånden at det lineære ligninssystem med totalmatrix \([{\mathbf A}|{\mathbf b}]\) har følgende partikulære løsning:
Tjek det igen, men denne gang ved at udregne produktet \({\mathbf A}\cdot{\mathbf v}\) i SymPy.
Hint
Definer først matricen \(\mathbf A \in \mathbb{R}^{4 \times 4}\) og vektoren \(\mathbf v \in \mathbb{R}^4\) i SymPy. Et produkt af en matrix A og en vektor v beregnes i SymPy ved kommandoen A*v.
Spørgsmål c#
Lad \({\mathbf A},{\mathbf v}\) være som før. Produktet \({\mathbf v}\cdot{\mathbf A}\) er ikke defineret. Hvad sker der når man prøver at beregne produktet i SymPy alligevel?
Svar
Man burde få en fejlmeddelelse som slutter med Matrix size mismatch: (4, 1) * (4, 4)., som giver mening fordi en vector \(\mathbf v \in \mathbb{R}^4\) kan opfattes som en \(4 \times 1\) matrix og \(\mathbf A\) er en \(4 \times 4\) matrix.
Opgave 7: Beregning af inverse matricer#
Givet er følgende kvadratiske matrix:
Spørgsmål a#
Afgør i hånden om matricen \({\mathbf A}^{-1}\) findes og beregn den, stadigvæk ved håndregning, hvis den gør.
Hint
Man kan følge proceduren som forklaret lige inden Example 7.3.1 i noterne. Example 7.3.1 og Example 7.3.2 kan være nyttige også hvis man vil se nogle eksempler.
Svar
Den reducerede trappeform af matricen \([{\mathbf A}|{\mathbf I}_3]\) er
Derfor findes \({\mathbf A}^{-1}\) og der gælder
Spørgsmål b#
Tjek dine beregninger i SymPy.
Hint
Hvis A er en matrix defineret i SymPy, så kan kommandoen A**(-1) bruges til at beregne den inverse matrix hvis den findes. Hvis den inverse matrix ikke findes, fås en fejlmeddelelse.
Opgave 8: Inverse matricer og lineære ligningssystemer#
Lad \({\mathbf A} \in \mathbb{C}^{n \times n}\) være en kvadratisk matrix og antag at \({\mathbf A}\) er en invertibel matrix. Ydermere, lad \({\mathbf b} \in \mathbb{C}^n\) være en vektor.
Spørgsmål a#
Vis at vektoren \({\mathbf A}^{-1}\cdot {\mathbf b} \in \mathbb{C}^n\) er løsning til det lineære ligningssystem med totalmatrix \([{\mathbf A}|{\mathbf b}].\)
Hint
Skriv først ligningssystemet på matrixform ligesom i ligning (7-5) i noterne.
Hint
På matrixform ser systemet ud som følger:
Er dette opfyldt hvis
Spørgsmål b#
Vis at vektoren \({\mathbf A}^{-1} \cdot {\mathbf b}\) er den eneste løsning til det lineære ligningssystem med totalmatrix \([{\mathbf A}|{\mathbf b}].\)
Hint
Gang ligningen
med \({\mathbf A}^{-1}\) på begge sider af lighedstegnet fra venstre side.
Opgave 9: Ligningssystemer med variabel koefficient#
For enhver reel værdi af \(a\) er givet det lineære ligningssystem:
Spørgsmål a#
Angiv ligningssystemets totalmatrix.
Spørgsmål b#
Angiv løsningen i tilfældet når \(a=-2\).
Spørgsmål c#
Bestem løsningen til det lineære ligningssystem.
Hint
Undervejs i dine beregninger risikerer du at dividere med nul, noter disse specialtilfælde ned og behandl dem separat.
Answer
For \(a\in\mathbb R\setminus\{-2,1\}\) er løsningen \((x_1,x_2,x_3)=(\frac1{a+2},\frac1{a+2},\frac1{a+2})\), og for \(a=1\) er løsningen \((x_1,x_2,x_3)=(1,0,0)+t_1(-1,1,0)+t_2(-1,0,1)\quad,t_1,t_2\in\mathbb R\). Der er ingen løsning for \(a=-2\).
Spørgsmål d#
Kan SymPy løse opgaven?