Opgaver – Store Dag

Opgaver – Store Dag#

Opgave 1: Udspænding af vektorer i \(\mathbb{R}^3\)#

Der undersøges udspændingen af følgende tre vektorer fra \(\mathbb{R}^3\).

\[\begin{split}{\mathbf w}_1=\left[\begin{array}{r}1\\-1\\2\end{array}\right], {\mathbf w}_2=\left[\begin{array}{r}1\\3\\2\end{array}\right] \ \mathrm{og} \ {\mathbf w}_3=\left[\begin{array}{r}7\\9\\14\end{array}\right]. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Undersøg om \(\mathrm{Span}({\mathbf w}_1,{\mathbf w}_2,{\mathbf w}_3)\) kan udspændes af færre end tre vektorer. Hvis svaret er ja, ønskes en af vektorerne skrevet som en linearkombination af de øvrige to.

Hint

I Eksempel 9.1.5 fra lærebogen gennemgås en lignende opgave.

Svar

Svaret er ja. De tre givne vektorer er nemlig lineært afhængige. Der gælder for eksempel \({\mathbf w}_3=3{\mathbf w}_1+4{\mathbf w}_2.\) Derfor gælder ifølge Sætning 9.1.1 at \(\mathrm{Span}({\mathbf w}_1,{\mathbf w}_2)=\mathrm{Span}({\mathbf w}_1,{\mathbf w}_2,{\mathbf w}_3)\).

Spørgsmål b#

Tjek at vektorerne \({\mathbf w}_1\) og \({\mathbf w}_2\) er lineært uafhængige og konkluder at listen \(({\mathbf w}_1,{\mathbf w}_2)\) er en ordnet basis for \(\mathrm{Span}({\mathbf w}_1,{\mathbf w}_2,{\mathbf w}_3)\).

Hint

Vi har allerede set at \(\mathrm{Span}({\mathbf w}_1,{\mathbf w}_2)=\mathrm{Span}({\mathbf w}_1,{\mathbf w}_2,{\mathbf w}_3)\). Ifølge Korollar 9.2.2 følger den sidste påstand derfor af den første.

Spørgsmål c#

Beregn dimensionen af \(\mathrm{Span}({\mathbf w}_1,{\mathbf w}_2,{\mathbf w}_3)\).

Hint

I Definition 9.4.1 fra lærebogen kan du læse hvordan dimension af en udspænding af vektorer er defineret.

Opgave 2: En anden udspænding af vektorer i \(\mathbb{R}^3\)#

Givet følgende tre vektorer i \(\mathbb{R}^3\):

\[\begin{split}{\mathbf v}_1=\left[\begin{array}{r}1\\-1\\2\end{array}\right], {\mathbf v}_2=\left[\begin{array}{r}1\\3\\2\end{array}\right] \ \mathrm{og} \ {\mathbf v}_3=\left[\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right]. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Vis at de givne tre vektorer er lineært uafhængige.

Hint

Der er flere muligheder. En mulighed er at bruge Sætning 7.1.3 fra lærebogen, en anden er at bruge Korollar 8.2.5.

Spørgsmål b#

Bestem en ordnet basis for \(\mathrm{Span}({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2,{\mathbf v}_3)\). Hvad er udspændingens dimension?

Hint

Kan Korollar 9.2.2 fra lærebogen bruges?

Svar

En ordnet basis er listen \(({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2,{\mathbf v}_3)\). Dimensionen af \(\mathrm{Span}({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2,{\mathbf v}_3)\) er derfor lig med \(3\).

Opgave 3: Nulrum og søjlerum af en matrix#

Givet matricen \(\mathbf A\) som følger

\[\begin{split} {\mathbf A}= \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 4 & -1\\ 2 & 0& -2 & 3\\ 2 & 4 & 6 & 1\\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Bestem en orndet basis for matricens nulrum. Hvad er nulrummets dimension?

Hint

I Eksempel 9.3.1 forklares i et andet konkret tilfælde hvordan man besvarer sådanne spørgsmål.

Svar

Den reducerede trappeform af matricen \(\mathbf A\) viser sig til at være

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0& -1 & 3/2\\ 0 & 1 & 2 & -1/2\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Ud fra den kan ses at en ordnet basis for \(\mathbf A\)s nulrum er

\[\begin{split}\left( \left[\begin{array}{r}1\\-2\\ 1 \\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}-3/2\\1/2\\0 \\1\end{array}\right] \right).\end{split}\]

Fordi den fundne ordnede basis er en liste bestående af to vektorerer, konkluderes at nulrummets dimension er to.

Spørgsmål b#

Bestem en ordnet basis for matricens søjlerum og tjek at dimensionssætningen holder (Sætning 9.4.2 fra lærebogen).

Hint

I Eksempel 9.3.2 forklares i et andet konkret tilfælde hvordan man besvarer sådanne spørgsmål.

Svar

En ordnet basis for \(\mathbf A\)s søjlerum er

\[\begin{split}\left( \left[\begin{array}{r}1\\0 \\ 2 \\ 2\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}1\\2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right] \right).\end{split}\]

Søjlerummets dimension er derfor to. Dimensionssætningen er opfuldt som den burde, fordi \(2+2=4\).

Opgave 4: Dimension af nulrum og søjlerum#

Om en kompleks matrix \(\mathbf A \in \mathbb{C}^{5 \times 10}\) er det givet at dens reducerede trappeform er givet ved

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{rrrrrrrrrr} 0 & 1&-1+i& 0 &\sqrt{2}-i&-\pi& 0 & 1 &\pi^2& e^3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 8 &3/2 & 0 & 1 &100 & -1/2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & i & -2 & 4/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Bestem, uden at udføre nogle beregninger, dimension af matricens nulrum \(\mathrm{null}(\mathbf A)\) og dimension af matricens søjlerum \(\rho(\mathbf A)\).

Svar

\(\mathrm{null}(\mathbf A)=7\) og \(\rho(\mathbf A)=3\).

Opgave 5: Udspændinger og homogene lineære ligningssystemer#

Gør rede for at løsningsmængden for det homogene lineære ligningssystem over \(\mathbb R\)

\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{rcl} x_2 +3x_3 - x_4+2x_5 & = & 0\\ 2x_1+3x_2+x_3+3x_4 & = & 0\\ x_1 + x_2 -x_3 + 2x_4-x_5 & = & 0 \end{array} \right. \end{split}\]

er udspændingen af visse vektorer i \(\mathbb{R}^5\) og find en ordnet basis for løsningsmængden. Hvad er udspændingens dimension?

Hint

Find først den fuldstændige løsning til systemet ligesom i Eksempel 6.4.3 fra lærebogen. Kan du se hvad en mulig ordnet basis af løsningsmængden er? Sammenlign eventuelt med Korollar 9.2.3.

Svar

Dimensionen er \(3\). En ordnet basis skal indholde tre lineært uafhængige vektorer i løsningsmængden. Der er derfor mange muligheder for korrekt svar. Følger man proceduren som i Sætning 6.4.4 til at finde den fuldstændige løsning, så finder man følgende ordnede basis (se eventuelt også Korollar 9.2.3):

\[\begin{split}\left( \left[\begin{array}{c} 4\\ -3\\ 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right], \, \left[\begin{array}{c} -3\\ 1\\ 0\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right], \, \left[\begin{array}{c} 3\\ -2\\ 0\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right] \right).\end{split}\]

Opgave 6: Udspænding af vektorer#

I \(\mathbb{R}^6\) er der givet fire vektorer:

\[\begin{split}{\mathbf u}_1=\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\\1\\0\end{array}\right]\, , \quad {\mathbf u}_2=\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\\1\\1\\-1\end{array}\right] \,, \quad {\mathbf v}_1=\left[\begin{array}{c}4\\-5\\-1\\-5\\-1\\5\end{array}\right]\, , \quad {\mathbf v}_2=\left[\begin{array}{c}-3\\2\\-1\\2\\-1\\-2\end{array}\right]\,.\end{split}\]

Spørgsmål a#

Vis at \({\mathbf u}_1\) og \({\mathbf u}_2\) udspænder det samme som \({\mathbf v}_1\) og \({\mathbf v}_2\). Med andre ord: vis at \(\mathrm{Span}({\mathbf u}_1,{\mathbf u}_2)=\mathrm{Span}({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2)\).

Hint

Vis først at \(({\mathbf u}_1,{\mathbf u}_2)\) er en ordnet basis for \(\mathrm{Span}({\mathbf u}_1,{\mathbf u}_2,{\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2)\) ved at bruge Sætning 9.2.1. Overvej bagefter hvorfor det medfører at \(\mathrm{Span}({\mathbf u}_1,{\mathbf u}_2) = \mathrm{Span}({\mathbf u}_1,{\mathbf u}_2,{\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2).\)

Hint

For at vise at \(\mathrm{Span}({\mathbf u}_1,{\mathbf u}_2) = \mathrm{Span}({\mathbf u}_1,{\mathbf u}_2,{\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2)\), beregn den reducerede trappeform af den \(6 \times 4\) matrix med søjler \({\mathbf u}_1,{\mathbf u}_2,{\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2\).

Spørgsmål b#

Angiv en vektor i \(\mathbb{R}^6\) som ikke er indeholdt i \(\mathrm{Span}({\mathbf u}_1,{\mathbf u}_2)\).

Hint

Hvis \({\mathbf u}_3\) er en vektor i \(\mathbb{R}^6\) således at vektorerne \({\mathbf u}_1,{\mathbf u}_2\) og \({\mathbf u}_3\) er lineært uafhængige, kan \({\mathbf u}_3\) være i \(\mathrm{Span}({\mathbf u}_1,{\mathbf u}_2)\)?

Opgave 7: Ordnede baser#

Ligesom i Opgave 2 betragtes udspændingen af følgende tre vektorer fra \(\mathbb{R}^3\):

\[\begin{split}{\mathbf v}_1=\left[\begin{array}{r}1\\-1\\2\end{array}\right], {\mathbf v}_2=\left[\begin{array}{r}1\\3\\2\end{array}\right] \ \mathrm{og} \ {\mathbf v}_3=\left[\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right]. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Vi har set i Opgave 2 at \(({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2,{\mathbf v}_3)\) er en ordnet basis for \(\mathrm{Span}({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2,{\mathbf v}_3)\) og at udspændingen derfor har dimension \(3\). Vis at hver vektor \({\mathbf v}\) i \(\mathbb{R}^3\) kan skrives som linearkombination af \({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2\) og \({\mathbf v}_3\) og konkluder at \(\mathrm{Span}({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2,{\mathbf v}_3)=\mathbb{R}^3\).

Bemærkning: Intentionen bag opgaven er at illustrere at hver tre-dimensionalt udspænding indeholdt i \(\mathbb{R}^3\) er lig med \(\mathbb{R}^3\).

Hint

Undersøg om der findes skalarer \(c_1,c_2,c_3 \in \mathbb{R}\) således at \(c_1{\mathbf v}_1+c_2{\mathbf v}_2+c_3{\mathbf v}_3={\mathbf v}\). Med andre ord: undersøg om ligningen

\[\begin{split}{\mathbf A} \left[ \begin{array}{r}c_1\\c_2\\c_3\end{array} \right]={\mathbf v}\end{split}\]

har en løsning, hvor \({\mathbf A}\) er \(3 \times 3\) matricen med søjler \({\mathbf v}_1, {\mathbf v}_2\) og \({\mathbf v}_3\).

Svar

Det vides fra Opgave 2a at vektorerne \({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2\) og \({\mathbf v}_3\) er lineært uafhængige. Sætning 7.1.3 fra lærebogen medfører at matricen \({\mathbf A}\) har rang \(3\). Derfor er \({\mathbf A}\) invertibel ifølge Ligning (7.10) fra lærebogen. Dette viser at ligningen

\[\begin{split}{\mathbf A} \left[ \begin{array}{r}c_1\\c_2\\c_3\end{array} \right]={\mathbf v}\end{split}\]

har en løsning, nemlig

\[\begin{split}\left[ \begin{array}{r}c_1\\c_2\\c_3\end{array} \right]={\mathbf A}^{-1}{\mathbf v}.\end{split}\]

Spørgsmål b#

Vis at \(({\mathbf e}_1,{\mathbf e}_2,{\mathbf e}_3)\) også er en ordnet basis for \(\mathrm{Span}({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2,{\mathbf v}_3)\). Her

\[\begin{split}{\mathbf e}_1=\left[ \begin{array}{r}1\\0\\0\end{array} \right], {\mathbf e}_2=\left[ \begin{array}{r}0\\1\\0\end{array} \right] \ \text{og} \ {\mathbf e}_3=\left[ \begin{array}{r}0\\0\\1\end{array} \right]\,.\end{split}\]

Bemærkning: Spørgsmålet illustrerer at den ordnede basis som Sætning 9.2.1 beskriver, ikke altid er den pænest mulige ordnede basis.

Svar

Dette følger fra resultatet i Spørgsmål a og fordi \(({\mathbf e}_1,{\mathbf e}_2,{\mathbf e}_3)\) er den ordnede standardbasis for \(\mathbb{R}^3\). Se eventuelt Eksempel 9.2.1 fra lærebogen hvis du er i tvivl om hvad den ordnede standardbasis af \(\mathbb{F}^m\) er.

Opgave 8: Dimension og udspænding#

Ligesom i Opgave 1 betragtes udspændingen af følgende tre vektorer fra \(\mathbb{R}^3\)

\[\begin{split}{\mathbf w}_1=\left[\begin{array}{r}1\\-1\\2\end{array}\right], {\mathbf w}_2=\left[\begin{array}{r}1\\3\\2\end{array}\right] \ \mathrm{og} \ {\mathbf w}_3=\left[\begin{array}{r}7\\9\\14\end{array}\right]. \end{split}\]

Kan \(\mathrm{Span}({\mathbf w}_1,{\mathbf w}_2,{\mathbf w}_3)\) udspændes af kun én vektor?

Bemærkning: vi har set i Opgave 1 at udspændingen har dimension \(2\). Intuitivt forventes derfor at svaret er nej.

Hint

Hvis \(\mathrm{Span}({\mathbf w}_1,{\mathbf w}_2,{\mathbf w}_3)\) kan udspændes af kun én vektor, lad os sige \({\mathbf u}\), så er \({\mathbf w}_1,{\mathbf w}_2,{\mathbf w}_3\) alle i \(\mathrm{Span({\mathbf u})}\). Kan det lade sig gøre?

Hint

Hvis både \({\mathbf w}_1\) og \({\mathbf w}_2\) er et skalærmultiplum af en hvis vektor \({\mathbf u}\), kan vektorerne \({\mathbf w}_1\) og \({\mathbf w}_2\) være lineært uafhængige?

Svar

\(\mathrm{Span}({\mathbf w}_1,{\mathbf w}_2,{\mathbf w}_3)\) kan ikke udspændes af kun én vektor.

Opgave 9: Tematisk Python opgave#

Opgaven frigives kl 15:30 på DTU Learn.

Contents