Opgaver – Lille Dag

Opgaver – Lille Dag#

Opgave 1: Ordnede baser i \(\mathbb{C^2}\)#

Er

\[\begin{split}\left(\left[\begin{array}{r}1\\i\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1+i\\-1+i\end{array}\right]\right) \end{split}\]

en ordnet basis for \(\mathbb{C}^2\)?

Hint

Er de to vektorer i den givne liste \(\beta\) lineært uafhængige?

Svar

De to vektorer i den givne list \(\beta\) er lineært afhængige over \(\mathbb{C}\), fordi

\[\begin{split}(1+i)\left[\begin{array}{r}1\\i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}1+i\\-1+i\end{array}\right].\end{split}\]

Derfor kan \(\beta\) ikke være en ordnet basis.

Opgave 2: Koordinater mht. den ordnede standardbasis#

Den ordnede standardbasis for \(\mathbb{R}^3\) er givet som \(\epsilon=({\mathbf e}_1,{\mathbf e}_2,{\mathbf e}_3)\), hvor

\[\begin{split} {\mathbf e}_1=\left[\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right],\, {\mathbf e}_2=\left[\begin{array}{r}0\\1\\0\end{array}\right],\, {\mathbf e}_3=\left[\begin{array}{r}0\\0\\1\end{array}\right]\, .\end{split}\]

Hvorfor gælder at

\[\begin{split} \left[\begin{array}{r}a\\b\\c\end{array}\right]_\epsilon = \left[\begin{array}{r}a\\b\\c\end{array}\right] \end{split}\]

for alle \(a,b,c \in \mathbb{R}\)?

Overvej hvorfor mere generelt \([{\mathbf v}]_\epsilon={\mathbf v}\) for alle \(\mathbf v \in \mathbb{F}^m\), hvis \(\epsilon\) er den ordnede standardbasis for \(\mathbb{F}^m\) beskrevet i Eksempel 9.2.1.

Hint

Ifølge Definition 9.5.1 er de tre indgange i \(\epsilon\)-koordinatvektoren af en vektor \(\mathbf v \in \mathbb{R}^3\) løsningen til det inhomogene lineære ligningssystem

\[c_1\cdot{\mathbf e}_1+c_2\cdot{\mathbf e}_2+c_3\cdot{\mathbf e}_3={\mathbf v} \, .\]

Skriv nu

\[\begin{split} {\mathbf v}=\left[\begin{array}{r}a\\b\\c\end{array}\right] \end{split}\]

og prøv at løse for \(c_1,c_2,c_3\).

Svar

Se Eksempel 9.5.1 fra lærebogen for det generelle tilfælde nævnt i bemærkningen.

Opgave 3: Udspænding, ordnet basis og koordinater#

Vi betragter \(W=\mathrm{Span}({\mathbf w}_1,{\mathbf w}_2,{\mathbf w}_3,{\mathbf w}_4)\) i \(\mathbb{C}^4\) hvor

\[\begin{split} {\mathbf w}_1=\left[\begin{array}{r}0\\0\\0\\0\end{array}\right],\, {\mathbf w}_2=\left[\begin{array}{r}0\\i\\0\\-2\end{array}\right],\, {\mathbf w}_3=\left[\begin{array}{r}0\\-i\\0\\2\end{array}\right],\, {\mathbf w}_4=\left[\begin{array}{r}1\\1\\-1\\2i\end{array}\right], \, \, .\end{split}\]

Spørgsmål a#

Bestem en ordnet basis for \(W\).

Svar

Bruges Sætning 9.2.1 fra lærebogen, så fås at \(\beta=({\mathbf w}_2,{\mathbf w}_4)\) er en ordnet basis for \(W\).

Spørgsmål b#

Der skrives

\[\begin{split}{\mathbf w}=\left[\begin{array}{r}1\\i\\-1\\-2\end{array}\right] \, .\end{split}\]

Beregn \([{\mathbf w}]_\beta\), hvor \(\beta=({\mathbf w}_2,{\mathbf w}_4)\).

Hint

Hvilket lineær ligningssystem i de ubekendte \(c_1,c_2\) giver Definition 9.5.1 fra lærebogen anledning til?

Svar

\[\begin{split} [{\mathbf w}]_\beta=\left[\begin{array}{r}1+i\\1\end{array}\right] \, . \end{split}\]

Spørgsmål c#

Det oplyses for en hvis vektor \(\mathbf u \in \mathbb{C}^4\) at ligningen \(c_1 {\mathbf w}_2 + c_2 {\mathbf w}_4 = {\mathbf u}\) i de ubekendte \(c_1,c_2\) ingen løsninger har. Må man konkludere at \({\mathbf u}\) ikke er i \(W\)?

Svar

Ja.

Opgave 4: Ordnede baser og koordinater i \(\mathbb{R}^4\)#

I \(\mathbb{R}^4\) er der givet fem vektorer:

\[\begin{split} {\mathbf v}_1=\left[\begin{array}{r}1\\-1\\2\\1\end{array}\right],\, {\mathbf v}_2=\left[\begin{array}{r}0\\1\\1\\3\end{array}\right],\, {\mathbf v}_3=\left[\begin{array}{r}1\\-2\\2\\-1\end{array}\right],\, {\mathbf v}_4=\left[\begin{array}{r}0\\1\\-1\\3\end{array}\right], \, {\mathbf v}=\left[\begin{array}{r}1\\-2\\2\\-3\end{array}\right] \, .\end{split}\]

Det oplyses at

\[\begin{split}\mathrm{det}\left( \left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 1 & 0\\-1 & 1 & -2 & 1\\2 & 1 & 2 & -1\\1 & 3 & -1 & 3\end{array}\right] \right) = 2.\end{split}\]

Spørgsmål a#

Gør rede for at \(\beta=({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2,{\mathbf v}_3,{\mathbf v}_4)\) er en ordnet basis for \(\mathbb{R}^4\,\).

Hint

Kan den givne determinant bruges til noget?

Spørgsmål b#

Bestem \(\beta\)-koordinatvektoren \([{\mathbf v}]_\beta\), hvor \(\beta=({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2,{\mathbf v}_3,{\mathbf v}_4)\) er den ordnede basis fra Spørgsmål a.

Hint

Ifølge Definition 9.5.1 er de fire indgange i \(\beta\)-koordinatvektoren for \(\mathbf v\) løsningen til det inhomogene lineære ligningssystem

\[c_1\cdot{\mathbf v}_1+c_2\cdot{\mathbf v}_2+c_3\cdot{\mathbf v}_3+c_4\cdot{\mathbf v}_4={\mathbf v} \, .\]

Prøv derfor at løse dette ligningssystem.

Svar

\[\begin{split} [{\mathbf v}]_\beta=\left[\begin{array}{r}2\\-1\\-1\\-1\end{array}\right]\, . \end{split}\]

Opgave 5: Koordinater mht. en ordnet basis#

Givet vektoren

\[\begin{split}{\mathbf u}=\left[\begin{array}{r}1\\2\\3\end{array}\right]\end{split}\]

i \(\mathbb{C^3}\), find en ordnet basis \(\gamma\) for \(\mathbb{C}^3\) således at

\[\begin{split}[{\mathbf u}]_\gamma=\left[\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right].\end{split}\]

Opgave 6: Eksempler på udspændinger#

Givet er et naturligt tal \(n\) og et helt tal \(d\) som opfylder at \(0 \le d \le n\). Find \(d\) vektorer i \(\mathbb{R}^n\) således at deres udspænding har dimension \(d\).

Contents