Opgaver – Lille Dag

Opgaver – Lille Dag#

Opgave 1: Transponerede matricer#

Beregn

\[\begin{split}\left[ \begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6\\ \end{array} \right]^T\end{split}\]

både i hånden og ved hjælp af SymPy.

Svar

Den transponerede matrix er

\[\begin{split}\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6\\ \end{array} \right].\end{split}\]

I SymPy kan den transponerede af en matrix A beregnes med kommandoen A.transpose().

Opgave 2: Determinanter#

Givet er følgende matrix:

\[\begin{split} {\mathbf A}=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6\\ 3 & 0 & 0\\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Beregn matricerne \({\mathbf A}(1;1)\), \({\mathbf A}(2;1)\) og \({\mathbf A}(3;1)\) og deres determinanter.

Hint

I Definition 8.1.1 fra noterne bliver notationen \({\mathbf A}(i;j)\) forklaret.

Svar

\[\begin{split} {\mathbf A}(1;1)=\left[ \begin{array}{ccc} 4 & 6\\ 0 & 0\\ \end{array} \right] \quad {\mathbf A}(2;1)=\left[ \begin{array}{ccc} 3 & 5\\ 0 & 0\\ \end{array} \right] \quad {\mathbf A}(3;1)=\left[ \begin{array}{ccc} 3 & 5\\ 4 & 6\\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Determinanterne fås direkte ved at bruge Example 8.1.1 fra noterne:

\[\mathrm{det}({\mathbf A(1;1)})=0 \quad \mathrm{det}({\mathbf A(2;1)})=0 \quad \mathrm{det}({\mathbf A(3;1)})=-2.\]

Spørgsmål b#

Beregn \(\mathrm{det}({\mathbf A})\) i hånden ved at bruge Definition 8.1.2 fra noterne. Med andre ord: beregn \(\mathrm{det}({\mathbf A})\) ved at udvikle determinanten efter den 1. søjle.

Svar

Ved at udvikle efter den 1. søjle, fås fra Definition 8.1.2 at

\[\mathrm{det}({\mathbf A})=1\cdot \mathrm{det}({\mathbf A}(1;1))-2\cdot \mathrm{det}({\mathbf A}(2;1))+3\cdot \mathrm{det}({\mathbf A}(3;1))=-6\]

Spørgsmål c#

Beregn matricerne \({\mathbf A}(2;1)\), \({\mathbf A}(2;2)\) og \({\mathbf A}(2;3)\) og deres determinanter.

Svar

\[\begin{split} {\mathbf A}(2;1)=\left[ \begin{array}{ccc} 3 & 5\\ 0 & 0\\ \end{array} \right] \quad {\mathbf A}(2;2)=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 5\\ 3 & 0\\ \end{array} \right] \quad {\mathbf A}(2;3)=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 3\\ 3 & 0\\ \end{array} \right]. \end{split}\]

og

\[\mathrm{det}({\mathbf A(2;1)})=0 \quad \mathrm{det}({\mathbf A(2;2)})=-15 \quad \mathrm{det}({\mathbf A(2;3)})=-9.\]

Spørgsmål d#

Beregn \(\mathrm{det}({\mathbf A})\) i hånden ved at udvikle determinanten efter den 2. række.

Svar

Ved at udvikle efter den 2. række, fås at

\[\mathrm{det}({\mathbf A})=-2\cdot \mathrm{det}({\mathbf A}(2;1))+4\cdot \mathrm{det}({\mathbf A}(2;2))-6\cdot \mathrm{det}({\mathbf A}(2;3))=-6\]

Spørgsmål e#

I dette tilfælde er det bekvemt at udvikle determinanten efter matricens tredje række. Hvorfor?

Svar

På grund af de mange nuller i matricens tredje række gælder:

\[ \mathrm{det}({\mathbf A})=3\cdot \mathrm{det}({\mathbf A}(3;1))=3 \cdot (3 \cdot 6-4 \cdot 5)=-6 \]

Spørgsmål f#

Til sidst, beregn \(\mathrm{det}({\mathbf A})\) i SymPy.

Hint

Determinanten af en kvadratisk matrix A kan beregnes med kommandoen A.det().

Opgave 3: Determinanter og lineært uafhængighed#

Givet er følgende fire vektorer i \(\mathbb{C}^4\):

\[\begin{split} {\mathbf v}_1=\left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0\\ i\\ \end{array} \right] \quad {\mathbf v}_2=\left[ \begin{array}{c} 4+i\\ 1\\ -i\\ 0\\ \end{array} \right] \quad {\mathbf v}_3=\left[ \begin{array}{c} 1+i\\ 1-i\\ 5i\\ -7\\ \end{array} \right] \quad {\mathbf v}_4=\left[ \begin{array}{c} -6\\ 0\\ 7i\\ -8+i\\ \end{array} \right] . \end{split}\]

Brug Corollary 8.3.5 fra noterne til at afgøre om vektorerne \({\mathbf v}_1, {\mathbf v}_2, {\mathbf v}_3\) og \({\mathbf v}_4\) er lineært uafhængige eller ej. SymPy kan bruges til at beregne determinanter.

Hint

Et komplekst tal som for eksempel \(7i\) og \(-8+i\) skrives i SymPy som 7*I og -8+I.

Svar

De givne fire vektorer er lineært afhængige.

Opgave 4: Lineært afhængighed#

Givet er vektorerne

\[\begin{split} {\mathbf u}_1=\left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ -6\\ \end{array} \right] \quad {\mathbf u}_2=\left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ a\\ \end{array} \right] \quad {\mathbf u}_3=\left[ \begin{array}{c} a\\ -2\\ 0\\ \end{array} \right], \end{split}\]

hvor \(a \in \mathbb{R}\) er en konstant. Bestem i hånden alle værdier af konstanten \(a\) således at vektorerne \({\mathbf u}_1\), \({\mathbf u}_2\) og \({\mathbf u}_3\) er lineært afhængige.

Hint

Corrolary 8.3.5 fra noterne kan igen bruges.

Svar

Determinanten til matricen

\[\begin{split} {\mathbf A}=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & a\\ 1 & 1 & -2\\ -6 & a & 0\\ \end{array} \right] \end{split}\]

viser sig efter nogle mellemregninger til at være lig med \(a^2+8a+12\). Fordi \(a^2+8a+12=0\) hvis og kun hvis \(a=-2 \, \vee a=-6\), fås derfor vha. Corollary 8.3.5 at de tre givne vektorer er lineært afhængige hvis og kun hvis \(a \in \{-2,-6\}.\)

Opgave 5: Kvadratiske transponerede matricer#

Det vides fra Theorem 7.2.2 i noterne at \(({\mathbf A} \cdot {\mathbf B})^T={\mathbf B}^T \cdot {\mathbf A}^T\) for alle \({\mathbf A} \in \mathbb{F}^{m \times n}\) og \({\mathbf B} \in \mathbb{F}^{n \times \ell}\). Betegnelsen \(\mathbb{F}\) står for \(\mathbb{R}\) eller \(\mathbb{C}.\)

Spørgsmål a#

Konkluder at \(({\mathbf A} \cdot {\mathbf B})^T={\mathbf B}^T \cdot {\mathbf A}^T\) for alle \({\mathbf A},{\mathbf B} \in \mathbb{F}^{n \times n}\).

Hint

Man kan sætte \(m\) og \(\ell\) lig med \(n\).

Spørgsmål b#

Antag at matricen \(\mathbf A \in \mathbb{F}^{n \times n}\) og at \(\rho({\mathbf A})=n\). Brug resultatet fra spørgsmål a til at indse at \(({\mathbf A}^{T})^{-1}=({\mathbf A}^{-1})^T.\)

Hint

Start med at finde ude af hvilke egenskaber den inverse matrix til \({\mathbf A}^{T}\) skulle have ifølge Definition 7.3.1.

Hint

\({\mathbf A}^{-1}\) findes, fordi \(\rho({\mathbf A})=n\). Derfor kan vi definere matricen \(\mathbf B=({\mathbf A}^{-1})^T\). Brug nu resultatet fra spørgsmål a for at indse at matricen \(\mathbf B\) har præcist de ønskede egenskaber som den inverse til \({\mathbf A}^T\) skal have ifølge Definition 7.3.1. Hvis egenskaberne er opnået, så kan man konkludere at \({\mathbf B}=({\mathbf A}^T)^{-1}\).