Opgaver – Store Dag

Opgaver – Store Dag#

Opgave 1: Linearkombinationer#

Givet er følgende vektorer i \(\mathbb{R}^3\):

\[\begin{split} {\mathbf u}=\left[ \begin{array}{c} 4\\ -2\\ 0\\ \end{array} \right], \quad {\mathbf v}=\left[ \begin{array}{c} 7\\ 4\\ 3\\ \end{array} \right], \quad {\mathbf w}=\left[ \begin{array}{c} 1\\ 7\\ 3\\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Beregn følgende linearkombinationer af de tre vektorer \({\mathbf u}, {\mathbf v}\) og \({\mathbf w}.\)

  1. \(4{\mathbf v}.\)

  2. \(2{\mathbf u}-3{\mathbf w}\).

  3. \(3{\mathbf u}-2{\mathbf v}+2{\mathbf w}\).

Svar

  1. \[\begin{split}4{\mathbf v}=\left[ \begin{array}{c} 28\\ 16\\ 12\\ \end{array} \right]. \end{split}\]
\[\begin{split} 2{\mathbf u}-3{\mathbf w}=\left[ \begin{array}{c} 5\\ -25\\ -9\\ \end{array} \right]. \end{split}\]
\[\begin{split}3{\mathbf u}-2{\mathbf v}+2{\mathbf w}=\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right].\end{split}\]

Spørgsmål b#

Afgør om vektorerne \({\mathbf u}, {\mathbf v}\) og \({\mathbf w}\) er lineært uafhængige baseret på svarene fra spørgsmål a.

Hint

Du kan finde i Definition 7.1.1 hvad det betyder for vektorer at være lineært uafhængige/afhængige. Ligning (7-3) og (7-4) kan også være nyttige at se på.

Svar

Vektorerne \({\mathbf u}\), \({\mathbf v}\) og \({\mathbf w}\) er ikke linært uafhængige, på grund af del 3. af spørgsmål a og Ligning (7-4) fra lærebogen.

Spørgsmål c#

Vis at vektorerne \({\mathbf u}\) og \({\mathbf v}\) er lineært uafhængige.

Hint

Betragt først Ligning (7-3) fra lærebogen. Hvis \(c_1,c_2 \in \mathbb{R}\) opfylder at

\[\begin{split}c_1 \cdot {\mathbf u}+c_2 \cdot {\mathbf v}=\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right],\end{split}\]

kan man da vise at \(c_1=c_2=0\)?

Svar

Vektorerne \({\mathbf u}\) og \({\mathbf v}\) er lineært uafhængige.

Opgave 2: Lineær uafhængige vektorer i \(\mathbb{R}^4\)#

Der opgives følgende tre vektorer i \(\mathbb{R}^4\):

\[\begin{split} {\mathbf u}=\left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right], \quad {\mathbf v}=\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1\\ 0\\ \end{array} \right], \quad {\mathbf w}=\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Vis at vektorerne \({\mathbf u}, {\mathbf v}\) og \({\mathbf w}\) er lineært uafhængige.

Hint

Antag at

\[\begin{split} c_1\cdot\left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right]+c_2\cdot\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1\\ 0\\ \end{array} \right]+c_3\cdot\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\ \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Hvad kan der siges om \(c_1, c_2\) og \(c_3\)?

Spørgsmål b#

Antag at \({\mathbf c} \in \mathbb{R}^4\) opfylder at vektorerne \({\mathbf u}, {\mathbf v}, {\mathbf w}\) og \({\mathbf c}\) er lineært uafhængige. Vis, at i så fald kan vektor \(\mathbf c\) ikke skrives som en linearkombination af \({\mathbf u}, {\mathbf v}\) og \({\mathbf w}\).

Hint

Bruges kontraposition (Ligning (1.22) fra lærebogen), så ses at det man skal vise er logisk ækvivalent med udsagnet: hvis \({\mathbf c}\) kan skrives som en linearkombination af \({\mathbf u}, {\mathbf v}\) og \({\mathbf w}\), så er vektorerne \({\mathbf u}, {\mathbf v}, {\mathbf w}\) og \({\mathbf c}\) lineært afhængige. Prøv at visse dette udsagn.

Hint

Hvis \({\mathbf c}=c_1\cdot {\mathbf u}+c_2\cdot {\mathbf v}+c_3\cdot {\mathbf w}\) for visse \(c_1,c_2,c_3 \in \mathbb{R}\), så gælder

\[\begin{split}{\mathbf c}-c_1\cdot {\mathbf u}-c_2\cdot {\mathbf v}-c_3\cdot {\mathbf w}=\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right].\end{split}\]

Spørgsmål c#

Find en vektor \({\mathbf b} \in \mathbb{R}^4\) således at vektorerne \({\mathbf u}, {\mathbf v}, {\mathbf w}\) og \({\mathbf b}\) er lineært uafhængige.

Hint

Spørgsmål b kan bruges her. Prøv derfor at finde en vektor \({\mathbf b} \in \mathbb{R}^4\) som ikke kan skrives som en linearkombination af \({\mathbf u}, {\mathbf v}\) og \({\mathbf w}\).

Hint

Kan vektoren

\[\begin{split}\left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right]\end{split}\]

skrives som en linearkombination af \({\mathbf u}, {\mathbf v}\) og \({\mathbf w}\)?

Opgave 4: Lineært uafhængighed og reduceret trappeform.#

Givet er følgende fire vektorer i \(\mathbb{C}^4\):

\[\begin{split} {\mathbf v_1}=\left[ \begin{array}{c} 1+i\\ 1\\ 0\\ 4\\ \end{array} \right], \quad {\mathbf v_2}=\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ 7\\ \end{array} \right], \quad {\mathbf v_3}=\left[ \begin{array}{c} 2+2i\\ 0\\ 1\\ 1\\ \end{array} \right] \quad {\mathbf v_4}=\left[ \begin{array}{c} 2+2i\\ 5\\ 1+i\\ 1\\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Definer i SymPy den \(4 \times 4\) matrix \(\mathbf A\) som har søjler \({\mathbf v}_1, {\mathbf v}_2, {\mathbf v}_3\) og \({\mathbf v}_4\). Brug SymPy til at beregne matricens reducerede trappeform. Brug trappeformen til at find \({\mathbf A}\)’s rang.

Svar

\(\mathbf A\)’s reducerede trappeform er

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Det vil sige at \(\mathbf A\)’s reducerede trappeform er \({\mathbf I}_4\). Trappeformen har fire pivot-elementer, som betyder at \(\rho(\mathbf A)=4.\)

Spørgsmål b#

Er de givne vektorer \({\mathbf v}_1, {\mathbf v}_2, {\mathbf v}_3\) og \({\mathbf v}_4\) lineært uafhængige?

Hint

Theorem 7.1.3 fra noterne kan være nyttigt her.

Svar

Ja, de er lineært uafhængige.

Opgave 5: Matrixprodukt#

Givet er følgende tre matricer:

\[\begin{split} {\mathbf A}=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right] \quad {\mathbf B}=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 4\\ 2 & 1\\ 3 & 0\\ \end{array} \right] \quad {\mathbf C}=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Hvilke af de ni mulige matrixprodukter \({\mathbf A}\cdot{\mathbf A}\), \(\, {\mathbf A}\cdot{\mathbf B}\), \(\, {\mathbf A}\cdot{\mathbf C}\), \(\, {\mathbf B}\cdot{\mathbf A}\), \(\, {\mathbf B}\cdot{\mathbf B}\), \(\, {\mathbf B}\cdot{\mathbf C}\), \(\, {\mathbf C}\cdot{\mathbf A}\), \(\, {\mathbf C}\cdot{\mathbf B}\), \(\, {\mathbf C}\cdot{\mathbf C}\) er definerede?

Hint

Ifølge Definition 7.2.2 fra noterne, kan man kun gange to matricer sammen hvis antallet af søjler i den første matrix er lig med antallet af rækker i den anden matrix.

Svar

Kun følgende matrixprodukter kan dannes: \({\mathbf A}\cdot{\mathbf B}, \, {\mathbf A}\cdot{\mathbf C}, \, {\mathbf B}\cdot{\mathbf A}, \, {\mathbf C}\cdot{\mathbf B}, \, {\mathbf C}\cdot{\mathbf C}\).

Spørgsmål b#

Beregn i hånden matrixprodukterne \({\mathbf A}\cdot{\mathbf B}\) og \({\mathbf B}\cdot{\mathbf A}\). Gælder det at \({\mathbf A}\cdot{\mathbf B}={\mathbf B}\cdot{\mathbf A}\)?

Svar

\[\begin{split}{\mathbf A}\cdot{\mathbf B}=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right]\end{split}\]
\[\begin{split}{\mathbf B}\cdot{\mathbf A}=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ \end{array} \right].\end{split}\]

Det er klart fra svaret at \({\mathbf A}\cdot{\mathbf B} \neq {\mathbf B}\cdot{\mathbf A}\). Matricerne \({\mathbf A}\cdot{\mathbf B}\) og \({\mathbf B}\cdot{\mathbf A}\) har ikke engang den samme størrelse!

Spørgmål c#

Beregn produktet af skalaren \(-1/2\) og matricen \(\mathbf C\). Med andre ord: beregn \((-1/2) \cdot {\mathbf C}\).

Svar

\[\begin{split}(-1/2) \cdot {\mathbf C}=\left[ \begin{array}{ccc} -1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]\end{split}\]

Spørgmål d#

Afgør om følgende summer af matricer er definerede og beregn dem der er: \((-1/2) \cdot {\mathbf C}+{\mathbf A} \cdot {\mathbf B}\) og \((-1/2) \cdot {\mathbf C}+{\mathbf B} \cdot {\mathbf A}.\)

Svar

Summen \((-1/2) \cdot {\mathbf C}+{\mathbf A} \cdot {\mathbf B}\) er ikke defineret, fordi \((-1/2) \cdot {\mathbf C}\) er en \(3 \times 3\) matrix og \({\mathbf A} \cdot {\mathbf B}\) en \(2 \times 2\) matrix.

Summen \((-1/2) \cdot {\mathbf C}+{\mathbf B} \cdot {\mathbf A}\) er defineret, fordi matricerne \((-1/2) \cdot {\mathbf C}\) og \({\mathbf A} \cdot {\mathbf B}\) har den samme størrelse. Udkomsten er:

\[\begin{split} (-1/2) \cdot {\mathbf C}+{\mathbf B} \cdot {\mathbf A}=\left[ \begin{array}{ccc} 1/2 & 4 & 0 \\ 2 & 3/2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Opgave 6: Matrix-vektorprodukt og lineære ligningssystemer#

Givet er det lineære ligningssystem

\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{ccc} x_1 + x_4 & = & 0\\ -2x_1+x_2 +3x_4 & = & 1\\ 5x_1 +x_3 -4x_4 & = & 1\\ 4x_1 +x_2 +x_3 & = & 2\\ \end{array} \right. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Skriv systemet på formen som i ligning (7-5) fra lærebogen.

Svar

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & 1 & -4 \\ 4 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Spørgsmål b#

Der defineres

\[\begin{split}{\mathbf A}=\left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & 1 & -4 \\ 4 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right], \quad {\mathbf b}=\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array} \right].\end{split}\]

Tjek at det givne lineære ligningssystem har totalmatrix \([{\mathbf A}|{\mathbf b}]\). I Opgave 3b fra Uge 7 Lille Dag, blev det tjekket i hånden at det lineære ligninssystem med totalmatrix \([{\mathbf A}|{\mathbf b}]\) har følgende partikulære løsning:

\[\begin{split} {\mathbf v}=\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Tjek det igen, men denne gang ved at udregne produktet \({\mathbf A}\cdot{\mathbf v}\) i SymPy.

Hint

Definer først matricen \(\mathbf A \in \mathbb{R}^{4 \times 4}\) og vektoren \(\mathbf v \in \mathbb{R}^4\) i SymPy. Et produkt af en matrix A og en vektor v beregnes i SymPy ved kommandoen A*v.

Spørgsmål c#

Lad \({\mathbf A},{\mathbf v}\) være som før. Produktet \({\mathbf v}\cdot{\mathbf A}\) er ikke defineret. Hvad sker der når man prøver at beregne produktet i SymPy alligevel?

Svar

Man burde få en fejlmeddelelse som slutter med Matrix size mismatch: (4, 1) * (4, 4)., som giver mening fordi en vector \(\mathbf v \in \mathbb{R}^4\) kan opfattes som en \(4 \times 1\) matrix og \(\mathbf A\) er en \(4 \times 4\) matrix.

Opgave 7: Beregning af inverse matricer#

Givet er følgende kvadratiske matrix:

\[\begin{split}{\mathbf A}=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 1 \\ \end{array} \right].\end{split}\]

Spørgsmål a#

Afgør i hånden om matricen \({\mathbf A}^{-1}\) findes og beregn den, stadigvæk ved håndregning, hvis den gør.

Hint

Man kan følge proceduren som forklaret lige inden Example 7.3.1 i noterne. Example 7.3.1 og Example 7.3.2 kan være nyttige også hvis man vil se nogle eksempler.

Svar

Den reducerede trappeform af matricen \([{\mathbf A}|{\mathbf I}_3]\) er

\[\begin{split}\left[ \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1/2 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 5/2 & 1 \\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Derfor findes \({\mathbf A}^{-1}\) og der gælder

\[\begin{split}{\mathbf A}^{-1}=\left[ \begin{array}{ccc} 1/2 & -1/2 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \\ -5/2 & 5/2 & 1 \\ \end{array} \right].\end{split}\]

Spørgsmål b#

Tjek dine beregninger i SymPy.

Hint

Hvis A er en matrix defineret i SymPy, så kan kommandoen A**(-1) bruges til at beregne den inverse matrix hvis den findes. Hvis den inverse matrix ikke findes, fås en fejlmeddelelse.

Opgave 8: Inverse matricer og lineære ligningssystemer#

Lad \({\mathbf A} \in \mathbb{C}^{n \times n}\) være en kvadratisk matrix og antag at \({\mathbf A}\) er en invertibel matrix. Ydermere, lad \({\mathbf b} \in \mathbb{C}^n\) være en vektor.

Spørgsmål a#

Vis at vektoren \({\mathbf A}^{-1}\cdot {\mathbf b} \in \mathbb{C}^n\) er løsning til det lineære ligningssystem med totalmatrix \([{\mathbf A}|{\mathbf b}].\)

Hint

Skriv først ligningssystemet på matrixform ligesom i ligning (7-5) i noterne.

Hint

På matrixform ser systemet ud som følger:

\[\begin{split} {\mathbf A} \cdot \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{array} \right]={\mathbf b}.\end{split}\]

Er dette opfyldt hvis

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{array} \right]={\mathbf A}^{-1} \cdot {\mathbf b}?\end{split}\]

Spørgsmål b#

Vis at vektoren \({\mathbf A}^{-1} \cdot {\mathbf b}\) er den eneste løsning til det lineære ligningssystem med totalmatrix \([{\mathbf A}|{\mathbf b}].\)

Hint

Gang ligningen

\[\begin{split} {\mathbf A} \cdot \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{array} \right]={\mathbf b}\end{split}\]

med \({\mathbf A}^{-1}\) på begge sider af lighedstegnet fra venstre side.

Opgave 9: Ligningssystemer med variabel koefficient#

For enhver reel værdi af \(a\) er givet det lineære ligningssystem:

\[\begin{align*} ax_1 + x_2 + x_3 &= 1\\ x_1 + ax_2 + x_3 &= 1\\ x_1 + x_2 + ax_3 &= 1 \end{align*}\]

Spørgsmål a#

Angiv ligningssystemets totalmatrix.

Spørgsmål b#

Angiv løsningen i tilfældet når \(a=-2\).

Spørgsmål c#

Bestem løsningen til det lineære ligningssystem.

Hint

Undervejs i dine beregninger risikerer du at dividere med nul, noter disse specialtilfælde ned og behandl dem separat.

Answer

For \(a\in\mathbb R\setminus\{-2,1\}\) er løsningen \((x_1,x_2,x_3)=(\frac1{a+2},\frac1{a+2},\frac1{a+2})\), og for \(a=1\) er løsningen \((x_1,x_2,x_3)=(1,0,0)+t_1(-1,1,0)+t_2(-1,0,1)\quad,t_1,t_2\in\mathbb R\). Der er ingen løsning for \(a=-2\).

Spørgsmål d#

Kan SymPy løse opgaven?

Contents