Opgaver – Lille Dag

Opgaver – Lille Dag#

Opgave 1: Pivot-elementer i en reduceret trappematrix#

Givet er følgende matrix:

\[\begin{split}{\mathbf B}= \left[ \begin{array}{cccccccc} 0 & 1 & \sqrt{2} & 0 & 5 & 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & e & 0 & 0 & \pi \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 42 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Er matricen \(\mathbf B\) på reduceret trappeform?

Svar

Ja: alle fire krav fra Definition 6.3.1 er opfyldte.

Spørgsmål b#

Angiv pivot-elementerne i den givne matrix \({\mathbf B}\). Hvor mange pivot-elementer har matricen \({\mathbf B}\) og i hvilke søjler befinder de sig?

Svar

Der er tre pivot-elementer, som befinder sig hhv. i \(\mathbf B\)’s anden, fjerde og syvende søjle. De tre pivot-elementer er angivet med fedt skrift i følgende:

\[\begin{split}{\mathbf B}= \left[ \begin{array}{cccccccc} 0 & {\mathbf 1} & \sqrt{2} & 0 & 5 & 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & {\mathbf 1} & e & 0 & 0 & \pi \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {\mathbf 1} & 42 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Opgave 2: Rang af en matrix#

Følgende \(4 \times 4\) matrix med komplekse elementer er givet:

\[\begin{split}{\mathbf C}= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & i & 1 & 0\\ 3 & 3i & 0 & 0\\ 1+2i & -2+i & -1-i & 0\\ i & -1 & -1 & 0\\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Hvad er matricens rang?

Hint

Definition 6.3.2 forklarer hvordan rang af en matrix er defineret og hvordan man kan beregne rangen ud fra matricens reducerede trappeform. Beregn derfor først matricens reducerede trappeform.

Hint

Matricens reducerede trappeform er

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & i & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Brug nu Definition 6.3.1 til at afgøre hvor mange pivot-elementer \(\mathbf C\)’s reducerede trappeform har.

Svar

\(\rho({\mathbf C})=2\)

Opgave 3: Parameterfremstilling med en fri parameter#

Et lineær ligningssystem over \(\mathbb R\) i de ubekendte \(x_1,x_2,x_3\) og \(x_4\) har følgende totalmatrix:

\[\begin{split}[{\mathbf A} |{\mathbf b}]= \left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -2 & 1 & 0 & 3 & 1\\ 5 & 0 & 1 & -4 & 1\\ 4 & 1 & 1 & 0 & 2\\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Denne matrix og det tilsvarende lineære ligningssystem optrådte også i Opgaver 4 og 7 på Store Dag.

Spørgsmål a#

Hvad er det lineære ligningssystem svarende til den givne totalmatrix?

Svar

\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{ccccc} x_1 & & & +x_4 & =0\\ -2x_1 & +x_2 & & +3x_4 & =1\\ 5x_1 & & +x_3 & -4x_4 & =1\\ 4x_1 & +x_2 & +x_3 & & =2\\ \end{array} \right. \end{split}\]

eller skrevet mere kompakt

\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{ccc} x_1 + x_4 & = & 0\\ -2x_1+x_2 +3x_4 & = & 1\\ 5x_1 +x_3 -4x_4 & = & 1\\ 4x_1 +x_2 +x_3 & = & 2\\ \end{array} \right. \end{split}\]

Spørgsmål b#

Tjek at vektoren

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1\\ 0\\ \end{array} \right] \end{split}\]

er en partikulær løsning til det lineære ligningssystem med totalmatrix \([{\mathbf A} |{\mathbf b}]\).

Spørgsmål c#

I Opgave 4 fra Store Dag var facit at matricen \([{\mathbf A} |{\mathbf b}]\) har rang \(3\) og at dens reducerede trappeform er

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -9 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Brug den reducerede trappeform til at beskrive den fuldstændige løsning til det homogene lineære ligningssystem med koefficientmatrix \(\mathbf A\).

Hint

Den reducerede trappeform af koefficientmatricen \(\mathbf A\) fås ved at slette den sidste søjle i den reducerede trappeform af matricen \([{\mathbf A}|{\mathbf b}]\). Den er derfor

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -9\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Hvad er det tilhørende homogene lineære ligningssystem? Hvilke søjler indeholder et pivot-element? Fortsæt nu på lignende måde som i Example 6.4.3 fra lærebogen.

Svar

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ \end{array} \right] = t\cdot \left[ \begin{array}{c} -1\\ -5\\ 9\\ 1\\ \end{array} \right] \quad (t \in \mathbb R). \end{split}\]

Det er også helt fint at bruge et andet symbol for den frie parameter \(t\), for eksempel \(t_1\) eller \(s\).

Spørgsmål d#

Hvad er den fuldstændige løsning til det lineære ligningssystem over \(\mathbb R\) svarende til den givne totalmatrix \([{\mathbf A}|{\mathbf b}]?\) Sammenlign eventuelt til kontrol dit svar med svaret til Opgave 7b fra Store Dag.

Hint

Theorem 6.1.2 fra lærebogen medfører at du kan finde svaret ved at kombinere spørgsmål b og svaret til spørgsmål c. Læs eventuelt Example 6.4.4 hvis du vil se et eksempel.

Svar

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1\\ 0\\ \end{array} \right] + t\cdot \left[ \begin{array}{c} -1\\ -5\\ 9\\ 1\\ \end{array} \right] \quad (t \in \mathbb R). \end{split}\]

Svaret skulle være identisk med den til Opgave 7b fra Store Dag udover at man måske havde skrevet det på formen \((-t,1-5t,1+9t,t)\) eller lignende.

Opgave 4: Parameterfremstilling med flere frie parametre#

Vi betragter igen matricen \({\mathbf B}\) fra Opgave 1:

\[\begin{split}{\mathbf B}= \left[ \begin{array}{cccccccc} 0 & 1 & \sqrt{2} & 0 & 5 & 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & e & 0 & 0 & \pi \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 42 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Matricen \({\mathbf B}\) kan opfattes som en totalmatricen af et lineært ligningssystem over \(\mathbb C\). Er systemet homogent eller inhomogent? Hvor mange ubekendte/variable indgår i systemet?

Svar

Systemet er inhomogent. Det indgår syv ubekendte.

Spørgsmål b#

Hvad er det lineære ligningssystem svarende til den givne totalmatrix \(\mathbf B\)?

Svar

Hvis de syv ubekendte navngives som man plejer at gøre med \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\) og \(x_7\), så fås:

\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{cccccccc} & x_2 & +\sqrt{2}\cdot x_3 & & +5\cdot x_5 & & & = 9 \\ & & & x_4 & +e\cdot x_5 & & & = \pi \\ & & & & & & x_7 & = 42 \\ & & & & & & 0 & = 0 \\ \end{array} \right. \end{split}\]

Spørgsmål c#

Find en partikulær løsning til systemet fra spørgsmål b.

Hint

Det vides fra Opgave 1 at matricen \(\mathbf B\) har tre pivot-elementer, som befinder sig hhv. i \(\mathbf B\)’s anden, fjerde og syvende søjle. Man kan derfor finde en partikulær løsning ved at følge den samme strategi som i Theorem 6.4.2. Mere præcist: hvis man sætter \(x_1,x_3,x_5\) og \(x_6\) alle lig med nul, så kan man bagefter beregne værdierne af \(x_2,x_4\) og \(x_7\) fra ligningssystemet.

Svar

Hvis man følger ovenstående vink, så finder man følgende partikulære løsning:

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\\ x_6\\ x_7\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 9\\ 0\\ \pi\\ 0\\ 0\\ 42\\ \end{array} \right] \end{split}\]

Spørgsmål d#

Find den fuldstændige løsning til systemet fra spørgsmål b.

Svar

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\\ x_6\\ x_7\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 9\\ 0\\ \pi\\ 0\\ 0\\ 42\\ \end{array} \right] + t_1 \cdot \left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right] + t_2 \cdot \left[ \begin{array}{c} 0\\ -\sqrt{2}\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right] + t_3 \cdot \left[ \begin{array}{c} 0\\ -5\\ 0\\ -e\\ 1\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right] + t_4 \cdot \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ \end{array} \right] \quad (t_1,t_2,t_3,t_4 \in \mathbb C). \end{split}\]

Opgave 5: Et inhomogent system#

Afgør om følgende lineære ligningssystem over \(\mathbb R\) i de ubekendte \(x_1,x_2\) og \(x_3\) har en løsning:

\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{ccc} x_1 + x_3 & = & 0\\ x_1+x_2 +3x_3 & = & 0\\ 10x_1 +3x_2+16x_3 & = & 1\\ \end{array} \right. \end{split}\]

Hint

Corollary 6.4.3 fra lærebogen kan bruges til at afgøre om systemet har en løsning eller ej. Det er derfor en god ide at beregne den reducerede trappeform af systemets totalmatrix først.

Svar

Systemet har ingen løsninger.

Opgave 6: Tre eksempler på lineære ligningssystemer#

Bestem den fuldstændige løsning til følgende tre lineære ligningssystemer over \(\mathbb R\):

\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{ccc} x_1 + x_2+ x_3 & = & 1\\ x_1+ 2x_2 +4x_3 & = & 1\\ x_1 +3x_2+9x_3 & = & 1\\ \end{array} \right. \end{split}\]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{ccc} x_1 + x_2+ x_3 & = & 1\\ x_1+ 2x_2 +4x_3 & = & 1\\ x_1 +3x_2+7x_3 & = & 1\\ \end{array} \right. \end{split}\]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{ccc} x_1 + x_2+ x_3 & = & 1\\ x_1+ 2x_2 +4x_3 & = & 1\\ x_1 +3x_2+7x_3 & = & 0\\ \end{array} \right. \end{split}\]

Svar

  1. Den fuldstændige løsning er

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right] \end{split}\]

  1. Den fuldstændige løsning er

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right] + t \cdot \left[ \begin{array}{c} 2\\ -3\\ 1\\ \end{array} \right] \quad (t \in \mathbb R). \end{split}\]

  1. Systemet har ingen løsninger.