Opgaver – Store Dag

Opgaver – Store Dag#

Opgave 1: Divisionsalgoritmen#

Spørgsmål a#

Afgør ved hjælp af divisionsalgoritmen om polynomiet \(d(Z)=Z^2+Z+1\) er en faktor af polynomiet \(p(Z)=2Z^6-2\).

Svar

Ja det er en faktor, fordi divisionsalgoritmen giver rest \(0\). Mere præcist fås vha. divisionsalgoritmen at

\[2Z^6-2=(Z^2+Z+1)(2Z^4-2Z^3+2Z-2).\]

Spørgsmål b#

Er \(Z^3+2\) en faktor af \(Z^6+2Z^3+8\)?

Svar

Nej: divisionsalgoritmen giver rest forskellig fra \(0\).

Opgave 2: Multiplicitet af rødder#

Spørgsmål a#

Det opgives at \(-2\) er en rod i polynomiet \(p(Z)=Z^5+4Z^4+4Z^3+5Z^2+20Z+20\). Beregn rodens multiplicitet.

Hint

Du kan finde definition på multipliciteten af en rod i Definition 4.6.1 i lærebogen.

Hint

I Example 4.6.1 fra lærebogen gennemgås et lignende problem (især det tredje polynomium givet der).

Svar

Multipliciteten er \(2\).

Spørgsmål b#

Find et fjerdegradspolynomium som har rødderne \(0\), \(1\) og \(-1\) med multipliciteter hhv. \(2\), \(1\) og \(1\).

Hint

Hver rod \(\lambda\) giver anledning til en faktor \(Z-\lambda\) ifølge Lemma 4.6.2. Hvad giver en rod med multiplicitet \(2\) anledning til ifølge Definition 4.6.1 fra lærebogen?

Opgave 3: Polynomiets rødder og koefficienter#

Spørgsmål a#

Der er givet et tredjegradspolynomium \(p(Z)=Z^3+aZ^2+bZ+c \in \mathbb{R}[Z]\) med \(a,b\) og \(c\) visse uopgivne tal. Det opgives også at tallene \(10\), \(2\) og \(3\) er rødder i \(p(Z)\). Beregn \(a\), \(b\) og \(c\).

Svar

\(a=-15\), \(b=56\) og \(c=-60.\)

Opgave 4: Et tredjegradspolynomium#

Der opgives polynomiet

\[p(Z)=Z^3+9Z^2+28Z+30.\]

I denne opgave undersøges polynomiets rødder.

Spørgsmål a#

Vis at \(-3\) er en rod i \(p(Z)\).

Spørgsmål b#

Brug divisionsalgorithmen til at vise at

\[p(Z)=(Z+3)(Z^2+6Z+10).\]

Spørgsmål c#

Find nu samtlige løsninger indenfor de komplekse tal til polynomiumsligningen \(p(z)=0.\)

Svar

\(-3,-3+i,-3-i.\)

Opgave 5: Reelle rødder#

Spørgsmål a#

Er følgende udsagn rigtigt?

Hvert polynomium \(p(Z) \in \mathbb{R}[Z]\) af grad fire har en reel rod.

Enten vis udsagnet eller giv et modeksempel.

Opgave 6: At faktorisere for at kunne forkorte#

Det oplyses at \(i\) og \(1+i\) er rødder i polynomiet

\[P(Z)=Z^2−Z−2iZ−1+i.\]

Brug oplysningerne til at forkorte følgende brøk:

\[\frac{Z^2−Z−2iZ−1+i}{Z-1-i}.\]

Opgave 7: Faktorer med reelle koefficienter#

Find alle rødder i \(\mathbb C\) i følgende polynomier og skriv polynomierne bagefter som produkt af polynomier med reelle koefficienter af lavest mulig grad.

  1. \(Z^3+Z-2.\)

  2. \(Z^2+2Z+1.\)

  3. \(Z^3-Z^2-3Z+2.\)

Hint

I beviset af Corollary 4.6.4 fra lærebogen bliver det forklaret hvordan man finder det ønskede produkt ud fra polynomiets rødder.

Svar

  1. Rødder: \(1,-\frac12 + \frac12 \sqrt{7}i,-\frac12 - \frac12 \sqrt{7}i\). Faktorisering: \((Z-1)(Z^2+Z+2)\).

  2. Rødder: \(-1\) (med multiplicitet to). Factorisering: \((Z+1)^2.\)

  3. Rødder: \(2,-\frac12 + \frac12 \sqrt{5},-\frac12 - \frac12 \sqrt{5}\). Factorisering: \((Z-2)(Z+\frac12 - \frac12 \sqrt{5})(Z+\frac12 + \frac12 \sqrt{5})\).

Opgave 8: Komplekse rødder og faktorer med reelle koefficienter#

For et polynomium \(p(Z) \in \mathbb{R}[Z]\) af grad fire på formen \(Z^4+aZ^3+bZ^2+cZ+d\) er det opgivet at \(p(i)=0\) og \(p(2+i)=0\). Besvar nu følgende spørgsmål:

Spørgsmål a#

Find samtlige rødder i \(p(Z)\).

Hint

Lemma 4.3.3 er nyttigt her.

Svar

\(i,-i,2+i,2-i.\)

Spørgsmål b#

Skriv \(p(Z)\) som produkt af to andengradspolynomier med reelle koefficienter.

Svar

\((Z^2+1)(Z^2-4Z+5).\)

Spørgsmål c#

Beregn \(a,b,c\) og \(d\).

Svar

\(a=-4\), \(b=6\), \(c=-4\) og \(d=5.\)

Opgave 9: Secret sharing og divisionsalgoritmen#

Af en hemmelig kode er det kendt at den er lig med \(p(10)\), hvor \(p(Z)\) er et vist polynomium af grad højest tre med heltalskoefficienter. En såkaldt share af koden gives til person A. Mere præcist er A’s share defineret som resten \(r_1(Z)\) som fås når divisionsalgoritmen udføres på \(p(Z)\) og \(d(Z)=Z^2+1\). En anden share gives til person B. B’s share er defineret som resten \(r_2(Z)\) som fås når divisionsalgoritmen udføres på \(p(Z)\) og \(d(Z)=Z^2-1.\)

Spørgsmål a#

Person A har fået at vide at \(r_1(Z)=7Z-2\). Vælg to forskellige polynomier \(p_1(Z)\) og \(p_2(Z)\) med heltalskoefficienter og af grad højest tre, som begge giver rest \(7Z-2\) hvis divisionsalgoritmen udføres på dem med \(d(Z)=Z^2+1\). Konkluder at person A ikke kan finde den hemmelige kode alene. (På lignende måde kan man demonstrere at person B alene ikke kan finde den hemmelige kode).

Spørgsmål b#

Personer A og B mødes og deler deres share med hinanden. Det viser sig nu at \(r_1(Z)=7Z-2\) og \(r_2(Z)=11Z+18\). Find den hemmelige kode.

Svar

Koden er \(3098\) (og \(p(Z)=2Z^3+10Z^2+9Z+8\)).