Opgaver – Lille Dag#
Opgave 1: Repetitionsopgave om rekursion og sumtegnet#
Der defineres rekursivt en følge af tal \(c_0,c_1,c_2,\dots\) på følgende måde:
\(c_0=0\), \(c_1=1\), \(c_2=2\) og for \(n \ge 3\) gælder \(c_n=c_{n-1}c_{n-2}+c_{n-3}.\)
Spørgsmål a#
Hvilken værdier har \(c_3,c_4\) og \(c_5\)?
Svar
\(c_3=c_2c_1+c_0=2\cdot 1+0=2\)
\(c_4=c_3c_2+c_1=2\cdot 2+1=5\)
og
\(c_5=c_4c_3+c_2=5\cdot 2+2=12.\)
Spørgsmål b#
Hvilken værdier har \(\sum_{k=0}^n c_k\) for \(n=0,1,2,3,4\) og \(5\)?
Hint
I stedet for sumtegnet, kan man også bruge priknotationen: \(\sum_{k=0}^n c_k=c_0+\cdots + c_n\).
Svar
\(\sum_{k=0}^0c_k=c_0=0\),
\(\sum_{k=0}^1c_k=c_0+c_1=1\),
\(\sum_{k=0}^2c_k=c_0+c_1+c_2=1+2=3\),
\(\sum_{k=0}^3c_k=c_0+c_1+c_2+c_3=3+c_3=5\)
\(\sum_{k=0}^4c_k=c_0+c_1+c_2+c_3+c_4=5+c_4=10\)
\(\sum_{k=0}^5c_k=c_0+c_1+c_2+c_3+c_4+c_5=10+c_5=22.\)
Opgave 2: Summen af ulige tal og induktion#
Spørgsmål a#
Beregn for \(n=1,2,3,4\) summen af de første \(n\) ulige naturlige tal. Med andre ord: bestem værdien af \(\sum_{k=1}^n (2k-1)\) for \(n \in \{1,2,3,4\}.\) Er der et mønster i de fundne værdier? Find/gæt nu et kort udtryk for \(\sum_{k=1}^n (2k-1)\) som giver det rigtige svar for \(n \in \{1,2,3,4\}\) og check at dit gæt også giver den rigtige værdi for \(\sum_{k=1}^n (2k-1)\) hvis \(n=5.\)
Hint
De fundne værdier er altid kvadrater.
Svar
\(\sum_{k=1}^1 (2k-1) = 1\), \(\sum_{k=1}^2 (2k-1) = 4\), \(\sum_{k=1}^3 (2k-1) = 9\) og \(\sum_{k=1}^4 (2k-1) = 16\).
Baseret på ovenstående er det rimeligt at gætte at \(\sum_{k=1}^n (2k-1)=n^2\) er sandt for alle naturlige tal \(n\). For \(n=5\) passer gættet også: \(5^2=25\) og \(1+3+5+7+9=25\).
Spørgsmål b#
Lad \(P(n)\) være det logiske udsagn at \(\sum_{k=1}^n (2k-1)\) er lig med det korte udtryk du fandt i spørgsmål a. Målet er nu at vise at \(P(n)\) er sandt for alle naturlige tal \(n\) (dvs. for alle \(n \in \mathbb{N}=\mathbb{Z}_{\ge 1}\)).
Vis at induktionsstarten holder.
Hint
Induktionsstarten er udsagnet \(P(1)\). Med andre ord, for at vise at induktionsstarten holder, skal man vise at \(P(1)\) er sandt.
Svar
\(P(1)\) er udsagnet at \(\sum_{k=1}^1 (2k-1) = 1^2\), men det holder pga. spørgsmål a. Faktisk ved man fra spørgsmål a at \(P(n)\) holder for \(n \in \{1,2,3,4,5\}\), men i induktionsstarten behøver man her kun at tjekke for \(n=1\).
Spørgsmål c#
Gennemfør nu induktionsskridtet og brug bagefter induktionsprincippet til at konkludere at \(P(n)\) er sandt for alle naturlige tal \(n\).
Hint
I induktionsskridtet skal man vise for et vilkårligt heltal \(n \ge 2\) at implikationen \(P(n-1) \Rightarrow P(n)\) er sandt. Med andre ord: i induktionsskridtet man må antage at \(P(n-1)\) er sandt og derudfra vise at \(P(n)\) også er sandt.
Hint
I induktionsskridtet kan den rekursive definition af sum-tegnet som givet i Ligning (3.5) i lærebogen være nyttigt.
Opgave 3: Den geometriske række#
I en geometrisk talfølge er hvert tal lig det forrige tal ganget med en fastholdt faktor. En geometrisk række er en sum af en geometrisk talfølge. Lad \(r \in \mathbb{C} \setminus \{1\}\) være et komplekst tal og \(n\) et naturligt tal. I denne opgave vises følgende identitet:
Spørgsmål a#
Hvorfor må \(r\) ikke være lig med \(1\) i identiteten?
Svar
Hvis \(r=1\), så er nævneren i brøken \(\frac{r^{n+1}-1}{r-1}\) lig med nul. Derfor er brøken ikke defineret hvis \(r=1\).
Spørgsmål b#
Tjek at identiteten holder for \(n=1\).
Hint
Hvis man betragter udtrykket \(r^2-1\) som et polynomium i variablen \(r\), så har polynomiet rødder \(1\) og \(-1\). Brug nu Lemma 5.6.2 fra lærebogen til at skrive \(r^2-1\) som produkt af to førstegradspolynomier.
Spørgsmål c#
Vis at identiteten \(1+r+\cdots + r^n= \frac{r^{n+1}-1}{r-1}\) holder for alle naturlige tal \(n\).
Hint
Brug induktion efter \(n\). Bemærk at induktionsstarten allerede blev klaret i spørgsmål b.
Hint
Til induktionstrinnet: induktionshypotesen er at \(1+r+\cdots + r^{n-1}= \frac{r^{n}-1}{r-1}\). Brug nu at \(1+r+\cdots + r^{n}=(1+r+\cdots + r^{n-1})+r^n\) og bagefter induktionshypotesen.
Opgave 4: En hoppebold og den geometriske række#
Spørgsmål a#
En hoppebold slippes to meter over gulvet. Efter at have ramt gulvet hopper den én meter op igen, anden gang en halv meter, en kvart meter tredje gang, osv. Altså faldhøjden halveres, for hvert påbegyndt nyt fald. Lad nu \(n\) være et naturligt tal. Find et udtryk som giver afstanden bolden har tilbagelagt, når den rammer gulvet for \(n\)’te gang.
Hint
Første gang bolden rammer gulvet har bolden tilbagelagt en afstand på to meter, fordi bolden holdes på to meters højde i starten: i alt altså \(2\) meter. Anden gang hopper bolden først en meter op igen for så at falde en meters afstand til den rammer gulvet: i alt har bolden derfor på det tidspunkt tilbagelagt \(2+2\cdot 1=4\) meter. Tredje gang hoppen den først en halv meter op og falder bagefter en halv meter ned: i alt fås nu \(2+2\cdot (1+\frac12)\) meter. Fjerde gang fås i alt på ligende måde: \(2+2\cdot (1+\frac12+\frac14)\). Kan du se et mønster og udtrykke det ved hjælp af sumtegnet?
Svar
Hvis \(n=1\) er svaret \(2\) meter, for \(n \ge 2\) er svaret \(2+2\cdot \sum_{j=0}^{n-2} \frac{1}{2^j}.\)
Spørgsmål b#
Hvor mange meter når hoppebolden at tilbagelægge inden den ligger stille på gulvet?
Hint
Hvis du vælger \(r\) og \(n\) passende, så kan du simplificere udtrykket ved at bruge identiteten fra Opgave 3:
Hvad får man nu når \(n\) går mod uendelig?
Svar
\(6\) meter.
Opgave 5: En ulighed#
En følge af reelle tal \(a_0,a_1,\dots\) bliver defineret rekursivt som følger:
\(a_1=0\) og \(a_n=\sqrt{2+a_{n-1}}\) hvis \(n \ge 2\).
Spørgsmål a#
Beregn \(a_1,a_2,a_3\) og \(a_4\).
Svar
\(a_1=0\), \(a_2=\sqrt{2}\), \(a_3=\sqrt{2+\sqrt{2}}\) og \(a_4=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}.\)
Eventuelt numerisk:
\(a_1=0.00000000000000000000000000000\).
\(a_2=1.41421356237309504880168872421\).
\(a_3=1.84775906502257351225636637879\).
\(a_4=1.96157056080646089825236447227\).
Spørgsmål b#
Påstanden er nu at der for alle naturlige tal \(n\) gælder, at \(a_n<2\). Bevis det vha. induktion efter \(n\).
Hint
I induktionsskridtet må man bruge at kvadratrodsfunktionen \(f: \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}\) givet ved \(x\mapsto \sqrt{x}\), er strengt voksende.
Opgave 6: Areal under en parabel#
Lad \(N\) være et positivt reelt tal og \(n\) et naturligt tal. Vi definerer \(d=N/n\). Som kendt fra gymnasiet kan arealet mellem parablen og første aksen fra \(x=0\) til \(x=N\) beregnes som følger:
I denne opgave undersøges i hvilken grad dette areal tilnærmes med den endelige sum \(\sum_{k=1}^n d\cdot(kd)^2\). Situationen illustreres i følgende figur:
Spørgsmål a#
Brug tegningen til at indse at
Spørgsmål b#
Det kan vises at for alle naturlige tal \(n\) og alle komplekse tal \(a,b_1,\dots,b_n\) det gælder at
Bruge dette til at indse at
Spørgsmål c#
Brug induktion efter \(n\) til at indse at \(\sum_{k=1}^n k^2=\frac13 n(n+1/2)(n+1)\) for alle naturlige tal \(n\).
Hint
I induktionsskridtet når man på et tidspunkt til formlen
Man kan gange alt ud og se om det giver det rigtige, men det kan bespare en hel del arbejde først at tage \(n\) udenfor parenteser:
Prøv nu først at indse at udtrykket indenfor parenteserne er lig med \(\frac13 (n+1/2)(n+1).\)
Svar
Induktionsstarten: Hvis \(n=1\), så gælder formlen, fordi \(\sum_{k=1}^1 k^2=1^2=1\) og \(\frac13 1(1+1/2)(1+1)=\frac{3}{3}=1\).
Induktionsskridtet: Hvis \(n \ge 2\) og der antages induktionshypotesen at \(\sum_{k=1}^{n-1} k^2=\frac13 (n-1)(n-1/2)n\), så fås
For eksempel ved at følge ovenstående vink, så kan man indse at \(\frac13 (n-1)(n-1/2)n+n^2=\frac13 n(n+1/2)(n+1)\), som betyder at induktionsskridtet holder. Induktionsprincippet medfører derfor at formlen \(\sum_{k=1}^n k^2=\frac13 n(n+1/2)(n+1)\) holder for alle naturlige tal \(n\).
Spørgsmål d#
Vis nu at \(\sum_{k=1}^n d\cdot (kd)^2=\frac{1}{3}N(N+d/2)(N+d)\).
Svar
Fra de forrige spørgsmål fås
I den sidste lighed bruges at \(N=dn\).
Bemærkning: ligningen medfører at hvis \(N\) holdes fast og \(n\) går mod uendeligt, så går \(d\) mod nul og summen går derfor mod \(\frac13 N^3,\) som netop er arealet under parablen.