Opgaver – Store Dag#
Opgave 1: Den komplekse eksponentialfunktion#
Spørgsmål a#
Skriv følgende komplekse tal på rektangulær form ved at bruge Eulers formel (Ligning (4.7) fra lærebogen) og indtegn tallene i den komplekse talplan:
\(e^{i \frac{-\pi}{4}}\)
\(e^{i\frac{\pi}{2}}\)
\(e^{\pi i}\)
\(e^{i \frac{5\pi}{4}}\)
Hvad er tallenes (hoved)argumenter?
Svar
Rektangulær form \(\frac12 \sqrt{2}- \frac12 \sqrt{2} i\) og hovedargument \(-\pi/4\).
Rektangulær form \(i\) og hovedargument \(\pi/2\).
Rektangulær form \(-1\) og hovedargument \(\pi\).
Rektangulær form \(-\frac12 \sqrt{2}- \frac12 \sqrt{2} i\) og argument \(5\pi/4\) (hovedargument ville være \(-3\pi/4\)).
Opgaven illustrerer at hvis \(t\) er et reelt tal, så har det komplekse tal \(e^{it}\) modulus \(1\) og argument \(t\).
Spørgsmål b#
Skriv følgende komplekse tal på rektangulær form ved at bruge Definition 4.4.1 fra lærebogen:
\(e^{i\frac{\pi}{2}}.\)
\(3e^{1+\pi i}.\)
Hint
Angående rektangulær form af \(e^{i\frac{\pi}{2}}\): nu at man bliver bedt at bruge Definition 4.4.1, bemærk at \(e^{i\frac{\pi}{2}}=e^{0+i\frac{\pi}{2}}.\)
Svar
\(i\). Svaret er selvfølgelig det samme som i del 2 af spørgsmål a. Faktisk er Eulers formel (dvs. Ligning (4.7) fra lærebogen) et specialtilfælde af Definition 4.4.1 ved at vælge \(a=0\) og \(b=t\) i Definition 4.4.1.
\(-3e\).
Opgave 2: Modulus og argument#
Givet er det kompekse tal \(w=1-i\,\).
Bestem \(|\,w\,|\) og et argument \(\arg(w)\,\).
Bestem \(|\,e^w\,|\) og et argument \(\arg(e^w)\,\).
Hint
Angående argumentet af \(e^{1-i}\): En mulig fremgangsmåde er at bruge Definition 4.4.1 til at skrive tallet på rektangulær form og så at bruge Sætning 4.3.1 til at bestemme hovedargumentet.
Hint
Angående argumentet af \(e^{1-i}\): fra det forrige hint og Sætning 4.3.1 fås at hovedargumentet er
Husk nu at \(\tan(x)=\sin(x) / \cos(x)\) og at \(\mathrm{arctan}\) er den inverse funktion til \(\tan\).
Svar
\(|\,w\,|=\sqrt{2}\) og et muligt argument er \(\arg(w)=-\frac{\pi}{4}\,.\)
\(|\,e^w\,|=e\) og et muligt argument \(\arg(e^w)=-1\,.\)
I begge tilfælde er det angivne argument faktisk hovedargumentet, fordi både \(-\frac{\pi}{4}\) og \(-1\) ligger i intervallet \(]-\pi,\pi]\).
Opgave 3: Polær form#
Denne opgave bygger videre på Opgave 5a fra Uge 3 Lille Dag. Givet er tallene \(z_1=1+i\sqrt{3}\,\), \(z_2=-1+i\sqrt{3}\,\), \(z_3=-1-i\sqrt{3}\,\,\) og \(\,z_4=1-i\sqrt{3}\,\).
Spørgsmål a#
Angiv de fire tal på polær form.
Hint
Se Definition 4.6.1 hvis man vil genopfriske hvad den polære form af et komplekst tal går ud på. Du kan genbruge nogle resultater fra Opgave 5a fra Uge 3 Lille Dag, for at undgå dobbelt arbejde.
Svar
\(z_1=2e^{\frac{\pi}{3} i}\), \(z_2=2e^{\frac{2\pi}{3} i}\), \(z_3=2e^{\frac{-2\pi}{3} i}\), \(z_4=2e^{\frac{-\pi}{3} i}.\)
Spørgsmål b#
Brug polærformen til at beregne \(z_1^{3}\), \(z_2^{3}\), \(z_3^{3}\) og \(z_4^{3}.\)
Hint
Man kan bruge sidste del af Sætning 4.6.2 fra lærebogen til at beregne modulus og argument af en heltalspotens af et komplekst tal.
Svar
\(-8,8,8,-8.\)
Spørgsmål c#
Vis at \(z_2\) og \(z_3\) er rødder i polynomiet \(Z^3-8\).
Hint
Se eventuelt Definition 5.1.2 for at læse om hvad det præcist vil sige at være en rod i et polynomium.
Spørgsmål d#
Find et polynomium \(p(Z)\) i \(\mathbb{C}[Z]\) af grad tre som har \(z_1\) og \(z_4\) som rødder.
Svar
\(Z^3+8\) er et gyldigt svar, men der er flere muligheder.
Opgave 4: Førstegradspolynomier#
Et polynomium \(p(Z) \in \mathbb{C}[Z]\) er givet ved \(p(Z)=(2-i)Z+i.\)
Spørgsmål a#
Find en rod i polynomiet \(p(Z)\).
Svar
\(\frac15-\frac25 i\).
Spørgsmål b#
Løs polynomiumsligningerne \(p(z)=2\) og \(p(z)=-2+2i\).
Svar
Ligningen \(p(z)=2\) har løsning \(1\).
Ligningen \(p(z)=-2+2i\) har løsning \(-1\).
Opgave 5: Andengradspolynomier#
Spørgsmål a#
Find samtlige rødder i polynomiet \(Z^2+2Z+5\,\).
Hint
Sætning 5.2.1 fra lærebogen angiver hvordan man kan finde rødderne.
Spørgsmål b#
Find samtlige rødder i polynomiet \((Z^2+2Z+5)\cdot (Z^2-4)\).
Hint
Man behøver ikke at gange ind i parentes først. Overvej derimod hvad det betyder for et komplekst tal at være rod i polynomiet \((Z^2+2Z+5)\cdot (Z^2-4).\)
Svar
Polynomiet har fire rødder: \(z_1=-1+2i\), \(z_2=-1-2i\), \(z_3=2\) og \(z_4=-2\).
Opgave 6: Polynomiumsaritmetik#
Følgende tre polynomier i \(\mathbb{C}[Z]\) er givet:
Spørgsmål a#
Bestem grad og ledende koefficient af de tre givne polynomier.
Hint
Angående polynomiet \(p_3(Z)\): bemærk at \(p_3(Z)\) er det samme polynomium som \((1+i)Z^5-1\).
Svar
\(p_1(Z)\) har grad \(3\) og ledende koefficient \(2\).
\(p_2(Z)\) har grad \(1\) og ledende koefficient \(1\).
\(p_3(Z)\) har grad \(5\) og ledende koefficient \(1+i\).
Spørgsmål b#
Beregn \(p_1(Z)+p_2(Z)+p_3(Z)\), \(ip_3(Z)\) og \(p_1(Z)p_2(Z)\).
Svar
\(p_1(Z)+p_2(Z)+p_3(Z)=(1+i)Z^5+2Z^3.\)
\(i \cdot p_3(Z)=(-1+i)Z^5-i.\)
\(p_1(Z)p_2(Z)=2Z^4+4Z^3-Z^2-3Z-2.\)
Opgave 7: Ligninger med eksponentialfunktionen#
Spørgsmål a#
Givet tallene \(\,w_1=1\,,\,w_2=e\,\) og \(\,w_3=2i\,\). For \(n=1,\dots,3\), bestem mængden af samtlige løsninger i \(\mathbb C\) for ligningerne
Hint
Lemma 4.6.1 fra lærebogen beskriver hvordan man finder løsninger til en ligning på formen \(e^z=w\).
Hint
Et vilkårligt argument af \(w\) er lige med hovedargumentet af \(w\) plus et heltalsmultiplum af \(2\pi\).
Svar
Ifølge Lemma 4.6.1 har hver løsning til ligningen \(e^z=1\) formen \(z=i \mathrm{arg}(1)\). Hovedargumentet af \(1\) er \(0\), men alle andre mulige argumenter af \(1\) er lige med hovedargumentet plus et heltalsmultiplum af \(2\pi\). Derfor har ligningen \(e^z=1\) løsningsmængde \(\{ ip2\pi \, \mid \, p \in \mathbb{Z}\}.\)
\(e^z=e\) har løsningsmængde \(\{ 1+ip2\pi \, \mid \, p \in \mathbb{Z}\}.\)
\(e^z=2i\) har løsningsmængde \(\left\{ \ln(2)+i(\frac{\pi}{2}+p2\pi) \, \mid \, p \in \mathbb{Z}\right\}.\)
Spørgsmål b#
Bestem mængden af samtlige løsninger for ligningen
Svar
Løsningsmængden er foreningsmængden af løsningsmængderne for ligningerne svarende til \(n=1\) og \(n=3\) ovenfor.
Spørgsmål c#
Vis den første påstand i Sætning 4.4.2, nemlig at \(\,e^z \neq 0\,\) for alle \(\,z\in\mathbb C\,\).
Hint
Hvis man skriver \(z=a+bi\) på rektangulær form, så medfører Definition 4.4.1 at \(e^z=e^a \cdot (\cos(b)+\sin(b) i)\). Kan dette udtryk være nul?
Opgave 8: Kompleks konjugering og rødder i polynomier#
Spørgsmål a#
Bestem \(\overline{2-3i}\) og \(\overline{10+12i}\). Angiv svarene på rektangulær form.
Bestem \(\overline{5 e^{i\pi/3}}\). Angiv svaret på polær form,
Hint
\(\overline{z}\) betegner den kompleks konjugerede af et komplekst tal \(z\), se eventuelt Definition 4.2.3 fra lærebogen.
Hint
Angående 2.: Lemma 5.3.1 og Lemma 5.3.2 fra lærebogen kan hjælpe.
Svar
\(\overline{2-3i}=2+3i\) og \(\overline{10+12i}=10-12i\).
\(\overline{5 e^{i\pi/3}}=\overline{5} \overline{e^{i\pi/3}}=5 e^{-i\pi/3}\).
Spørgsmål b#
Det oplyses at det komplekse tal \(1+i\) er rod i polynomiet \(Z^3+(2+3i)Z+3-7i\). Vis at \(1-i\) er rod i polynomiet \(Z^3+(2-3i)Z+3+7i\) ved at bruge egenskaberne af den komplekse konjugering som beskrevet i Lemma 5.3.1 fra lærebogen.
Hint
Det oplyses at det komplekse tal \(1+i\) er rod i polynomiet \(Z^3+(2+3i)Z+3-7i\). Derfor vides at \((1+i)^3+(2+3i)(1+i)+3-7i=0.\) Hvad sker der hvis man tager den kompleks konjugerede af udtrykkene på begge sider af lighedstegnet?
Spørgsmål c#
Det oplyses nu at det komplekse tal \(1+i\) er rod i polynomiet \(Z^4+Z^2-2Z+6\). Vis at \(1-i\) også er rod i dette polynomium.
Hint
Dette gang oplyses at det komplekse tal \(1+i\) opfylder \((1+i)^4+(1+i)^2 -2(1+i)+6=0.\) Undersøg hvad der sker hvis man tager den kompleks konjugerede af udtrykkene på begge sider af lighedstegnet.
Opgave 9: Heltalspotenser og polær form#
Spørgsmål a#
Brug polærformen af det komplekse tal \(-1+\sqrt{3}i\) fra Opgave 3 på lignende måde som i Eksempel 4.6.2 til at vise at
Spørgsmål b#
Lad \(n\) være et naturligt tal. Vis følgende:
og
Hint
Vis først at \((-1+\sqrt{3}i)^{3}=2^3\). Hvad kan nu siges om \((-1+\sqrt{3}i)^{3n}\,\)?
Hint
Hvis \((-1+\sqrt{3}i)^{3}=2^3\), så gælder \(((-1+\sqrt{3}i)^{3})^n=(2^3)^n\,\), \((-1+\sqrt{3}i)^{3n+1}=(2^3)^n(-1+\sqrt{3}i)\,\) og \((-1+\sqrt{3}i)^{3n+2}=(2^3)^n(-1+\sqrt{3}i)^2\).