Opgaver – Store Dag

Opgaver – Store Dag#

Opgave 1: Polær form#

Denne opgave bygger videre på Opgave 4a fra Uge 3 Lille Dag. Givet er tallene $z_{1} = 1 + i \sqrt{3}$ , $z_{2} = - 1 + i \sqrt{3}$ , $z_{3} = - 1 - i \sqrt{3}$ og $z_{4} = 1 - i \sqrt{3}$ .

Spørgsmål a#

Angiv de fire tal på polær form.

Hint

Se Definition 3.6.1 hvis man vil genopfriske hvad den polære form af et komplekst tal går ud på. Du kan genbruge nogle resultater fra Opgave 4a fra Uge 3 Lille Dag, for at undgå dobbelt arbejde.

Svar

$z_{1} = 2 e^{\frac{π}{3} i}$ , $z_{2} = 2 e^{\frac{2 π}{3} i}$ , $z_{3} = 2 e^{\frac{- 2 π}{3} i}$ , $z_{4} = 2 e^{\frac{- π}{3} i} .$

Spørgsmål b#

Brug polærformen til at beregne $z_{1}^{3}$ , $z_{2}^{3}$ , $z_{3}^{3}$ og $z_{4}^{3} .$

Hint

Man kan bruge sidste del af Theorem 3.6.2 fra lærebogen til at beregne modulus og argument af en heltalspotens af et komplekst tal.

Svar

$- 8, 8, 8, - 8.$

Spørgsmål c#

Vis at $z_{2}$ og $z_{3}$ er rødder i polynomiet $Z^{3} - 8$ .

Hint

Se eventuelt Definition 4.1.2 for at læse om hvad det præcist vil sige at være en rod i et polynomium.

Spørgsmål d#

Find et polynomium $p (Z)$ i $C [Z]$ af grad tre som har $z_{1}$ og $z_{4}$ som rødder.

Svar

$Z^{3} + 8$ er et gyldigt svar, men der er flere muligheder.

Opgave 2: Førstegradspolynomier#

Et polynomium $p (Z) \in C [Z]$ er givet ved $p (Z) = (2 - i) Z + i .$

Spørgsmål a#

Find en rod i polynomiet $p (Z)$ .

Svar

$\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ .

Spørgsmål b#

Løs polynomiumsligningerne $p (z) = 2$ og $p (z) = - 2 + 2 i$ .

Svar

Ligningen $p (z) = 2$ har løsning $1$ .

Ligningen $p (z) = - 2 + 2 i$ har løsning $- 1$ .

Opgave 3: Polynomiumsaritmetik#

Følgende tre polynomier i $C [Z]$ er givet:

p_{1} (Z) = 2 Z^{3} - Z - 1,

p_{2} (Z) = 2 + Z,

p_{3} (Z) = - 1 + 0 Z^{10} + (1 + i) Z^{5} .

Spørgsmål a#

Bestem grad og ledende koefficient af de tre givne polynomier.

Hint

Angående polynomiet $p_{3} (Z)$ : bemærk at $p_{3} (Z)$ er det samme polynomium som $(1 + i) Z^{5} - 1$ .

Svar

$p_{1} (Z)$ har grad $3$ og ledende koefficient $2$ .

$p_{2} (Z)$ har grad $1$ og ledende koefficient $1$ .

$p_{3} (Z)$ har grad $5$ og ledende koefficient $1 + i$ .

Spørgsmål b#

Beregn $p_{1} (Z) + p_{2} (Z) + p_{3} (Z)$ , $i p_{3} (Z)$ og $p_{1} (Z) p_{2} (Z)$ .

Svar

$p_{1} (Z) + p_{2} (Z) + p_{3} (Z) = (1 + i) Z^{5} + 2 Z^{3} .$

$i \cdot p_{3} (Z) = (- 1 + i) Z^{5} - i .$

$p_{1} (Z) p_{2} (Z) = 2 Z^{4} + 4 Z^{3} - Z^{2} - 3 Z - 2.$

Opgave 4: Binome ligninger#

Spørgsmål a#

Løs den binome ligning $z^{3} = - 8 i$ .

Hint

Binome ligninger, dvs. en ligning på formen $z^{n} = w$ , bliver løst i Theorem 4.4.1. I dette tilfælde bliver $n = 3$ og $w = - 8 i$ .

Svar

$z^{3} = - 8 i$ har løsninger $2 i$ , $\sqrt{3} - i$ og $- \sqrt{3} - i$ .

Opgave 5: Binome andengradsligninger med reel højreside#

Spørgsmål a#

Lad $r$ være et positivt reelt tal. Brug Theorem 4.2.1 til at gøre rede for at ligningen

z^{2} = - r

har netop to løsninger som er givet ved $- i \sqrt{r}$ og $i \sqrt{r}$ .

Spørgsmål b#

Løs spørgsmål a igen, men nu ved at bruge Theorem 4.4.1.

Hint

Hvis du vil bruge Theorem 4.4.1, som udtaler sig om ligningen $z^{n} = w$ , så bliver $n = 2$ og $w = - r$ .

Hint

Hvad er hovedargumentet af et negativt reelt tal?

Spørgsmål c#

Løs ligningen $z^{2} = - 16$ .

Svar

$z^{2} = - 16$ har løsninger $- 4 i$ og $4 i$ .

Opgave 6: Polynomier med reelle koefficienter#

Spørgsmål a#

Check uden brug af løsningsformel at $- 1 + 2 i$ er rod i polynomiet $3 Z^{2} + 6 Z + 15.$

Hint

Definition 4.1.2 afslører hvordan man checker at et komplekst tal er en rod.

Spørgsmål b#

Find en anden rod i polynomiet $3 Z^{2} + 6 Z + 15$ uden at bruge løsningsformlen.

Hint

Kan teorien sidst i Afsnit 4.3 bruges?

Opgave 7: Heltalspotenser og polær form#

Spørgsmål a#

Skriv $- 1 + \sqrt{3} i$ på polær form og brug den på lignende måde som i Example 3.6.2 til at vise at

(- 1 + \sqrt{3} i)^{10} = 2^{9} (- 1 + \sqrt{3} i) .

Spørgsmål b#

Lad $n$ være et naturligt tal. Vis følgende:

(- 1 + \sqrt{3} i)^{3 n} = 2^{3 n},

(- 1 + \sqrt{3} i)^{3 n + 1} = 2^{3 n} (- 1 + \sqrt{3} i),

og

(- 1 + \sqrt{3} i)^{3 n + 2} = 2^{3 n + 1} (- 1 - \sqrt{3} i) .

Hint

Vis først at $(- 1 + \sqrt{3} i)^{3} = 2^{3}$ .

Hint

Hvis $(- 1 + \sqrt{3} i)^{3} = 2^{3}$ , så gælder $((- 1 + \sqrt{3} i)^{3})^{n} = (2^{3})^{n}$ .

Opgave 8: Ligninger med eksponentialfunktionen#

Spørgsmål a#

Givet tallene $w_{1} = 1, w_{2} = e$ og $w_{3} = 2 i$ . For $n = 1, \dots, 3$ , bestem mængden af samtlige løsninger i $C$ for ligningerne

e^{z} = w_{n} .

Hint

Lemma 3.6.1 fra lærebogen beskriver hvordan man finder løsninger til en ligning på formen $e^{z} = w$ .

Hint

Et vilkårligt argument af $w$ er lige med hovedargumentet af $w$ plus et heltalsmultiplum af $2 π$ .

Svar

Ifølge Lemma 3.6.1 har hver løsning til ligningen $e^{z} = 1$ formen $z = i \arg (1)$ . Hovedargumentet af $1$ er $0$ , men alle andre mulige argumenter af $1$ er lige med hovedargumentet plus et heltalsmultiplum af $2 π$ . Derfor har ligningen $e^{z} = 1$ løsningsmængde ${i p 2 π ∣ p \in Z} .$

$e^{z} = e$ har løsningsmængde ${1 + i p 2 π ∣ p \in Z} .$

$e^{z} = 2 i$ har løsningsmængde ${\ln (2) + i (\frac{π}{2} + p 2 π) ∣ p \in Z} .$

Spørgsmål b#

Bestem mængden af samtlige løsninger for ligningen

(e^{z} - 1) (e^{z} - 2 i) = 0 .

Svar

Løsningsmængden er foreningsmængden af løsningsmængderne for ligningerne svarende til $n = 1$ og $n = 3$ ovenfor.

Spørgsmål c#

Vis den første påstand i Theorem 3.4.2, nemlig at $e^{z} \neq 0$ for alle $z \in C$ .

Hint

Hvis man skriver $z = a + b i$ på rektangulær form, så medfører Definition 3.4.1 at $e^{z} = e^{a} \cdot (\cos (b) + \sin (b) i)$ . Kan dette udtryk være nul?

Opgave 9: Komplekse tal og Pythagoræiske tripler#

Et Pythagoræisk tripel $(a, b, c)$ består ud af tre naturlige tal således at $a > b$ og $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Et eksempel er $(4, 3, 5) .$

Spørgsmål a#

Vis at hvis et tripel $(a, b, c)$ af naturlige tal er et Pythagoræisk tripel, så gælder at det komplekse tal $z = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} i$ opfylder $| z | = 1$ og $Re (z) > Im (z)$ .

Spørgsmål b#

Lad os nu antage at et komplekst tal $z$ af opfylder $| z | = 1$ og $Re (z) > Im (z)$ og at $z$ kan skrives på formen $z = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} i$ , hvor $a, b$ og $c$ er naturlige tal. Vis at $(a, b, c)$ er et Pythagoræisk tripel.

Spørgsmål c#

Brug ovenstående indsigter og komplekse tal til at konstruere andre Pythagoræiske tripler ud fra triplet $(4, 3, 5) .$

Hint

Hvis tallet $z = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} i$ giver anledning til det Pythagoræiske tripel $(a, b, c)$ , hvad med tallet $z^{2}$ (eller eventuelt $i \cdot {\overset{―}{z}}^{2}$ )?

Opgaver – Store Dag

Contents

Opgaver – Store Dag#

Opgave 1: Polær form#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Spørgsmål d#

Opgave 2: Førstegradspolynomier#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Opgave 3: Polynomiumsaritmetik#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Opgave 4: Binome ligninger#

Spørgsmål a#

Opgave 5: Binome andengradsligninger med reel højreside#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Opgave 6: Polynomier med reelle koefficienter#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Opgave 7: Heltalspotenser og polær form#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Opgave 8: Ligninger med eksponentialfunktionen#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Opgave 9: Komplekse tal og Pythagoræiske tripler#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#