Opgaver – Store Dag#
Opgave 1: Polær form#
Denne opgave bygger videre på Opgave 4a fra Uge 3 Lille Dag. Givet er tallene
Spørgsmål a#
Angiv de fire tal på polær form.
Hint
Se Definition 3.6.1 hvis man vil genopfriske hvad den polære form af et komplekst tal går ud på. Du kan genbruge nogle resultater fra Opgave 4a fra Uge 3 Lille Dag, for at undgå dobbelt arbejde.
Svar
Spørgsmål b#
Brug polærformen til at beregne
Hint
Man kan bruge sidste del af Theorem 3.6.2 fra lærebogen til at beregne modulus og argument af en heltalspotens af et komplekst tal.
Svar
Spørgsmål c#
Vis at
Hint
Se eventuelt Definition 4.1.2 for at læse om hvad det præcist vil sige at være en rod i et polynomium.
Spørgsmål d#
Find et polynomium
Svar
Opgave 2: Førstegradspolynomier#
Et polynomium
Spørgsmål a#
Find en rod i polynomiet
Svar
Spørgsmål b#
Løs polynomiumsligningerne
Svar
Ligningen
Ligningen
Opgave 3: Polynomiumsaritmetik#
Følgende tre polynomier i
Spørgsmål a#
Bestem grad og ledende koefficient af de tre givne polynomier.
Hint
Angående polynomiet
Svar
Spørgsmål b#
Beregn
Svar
Opgave 4: Binome ligninger#
Spørgsmål a#
Løs den binome ligning
Hint
Binome ligninger, dvs. en ligning på formen
Svar
Opgave 5: Binome andengradsligninger med reel højreside#
Spørgsmål a#
Lad
har netop to løsninger som er givet ved
Spørgsmål b#
Løs spørgsmål a igen, men nu ved at bruge Theorem 4.4.1.
Hint
Hvis du vil bruge Theorem 4.4.1, som udtaler sig om ligningen
Hint
Hvad er hovedargumentet af et negativt reelt tal?
Spørgsmål c#
Løs ligningen
Svar
Opgave 6: Polynomier med reelle koefficienter#
Spørgsmål a#
Check uden brug af løsningsformel at
Hint
Definition 4.1.2 afslører hvordan man checker at et komplekst tal er en rod.
Spørgsmål b#
Find en anden rod i polynomiet
Hint
Kan teorien sidst i Afsnit 4.3 bruges?
Opgave 7: Heltalspotenser og polær form#
Spørgsmål a#
Skriv
Spørgsmål b#
Lad
og
Hint
Vis først at
Hint
Hvis
Opgave 8: Ligninger med eksponentialfunktionen#
Spørgsmål a#
Givet tallene
Hint
Lemma 3.6.1 fra lærebogen beskriver hvordan man finder løsninger til en ligning på formen
Hint
Et vilkårligt argument af
Svar
Ifølge Lemma 3.6.1 har hver løsning til ligningen
Spørgsmål b#
Bestem mængden af samtlige løsninger for ligningen
Svar
Løsningsmængden er foreningsmængden af løsningsmængderne for ligningerne svarende til
Spørgsmål c#
Vis den første påstand i Theorem 3.4.2, nemlig at
Hint
Hvis man skriver
Opgave 9: Komplekse tal og Pythagoræiske tripler#
Et Pythagoræisk tripel
Spørgsmål a#
Vis at hvis et tripel
Spørgsmål b#
Lad os nu antage at et komplekst tal
Spørgsmål c#
Brug ovenstående indsigter og komplekse tal til at konstruere andre Pythagoræiske tripler ud fra triplet
Hint
Hvis tallet