Opgaver – Store Dag#

Opgave 1: Polær form#

Denne opgave bygger videre på Opgave 4a fra Uge 3 Lille Dag. Givet er tallene z1=1+i3, z2=1+i3, z3=1i3 og z4=1i3.

Spørgsmål a#

Angiv de fire tal på polær form.

Spørgsmål b#

Brug polærformen til at beregne z13, z23, z33 og z43.

Spørgsmål c#

Vis at z2 og z3 er rødder i polynomiet Z38.

Spørgsmål d#

Find et polynomium p(Z) i C[Z] af grad tre som har z1 og z4 som rødder.


Opgave 2: Førstegradspolynomier#

Et polynomium p(Z)C[Z] er givet ved p(Z)=(2i)Z+i.

Spørgsmål a#

Find en rod i polynomiet p(Z).

Spørgsmål b#

Løs polynomiumsligningerne p(z)=2 og p(z)=2+2i.


Opgave 3: Polynomiumsaritmetik#

Følgende tre polynomier i C[Z] er givet:

p1(Z)=2Z3Z1,
p2(Z)=2+Z,
p3(Z)=1+0Z10+(1+i)Z5.

Spørgsmål a#

Bestem grad og ledende koefficient af de tre givne polynomier.

Spørgsmål b#

Beregn p1(Z)+p2(Z)+p3(Z), ip3(Z) og p1(Z)p2(Z).


Opgave 4: Binome ligninger#

Spørgsmål a#

Løs den binome ligning z3=8i.


Opgave 5: Binome andengradsligninger med reel højreside#

Spørgsmål a#

Lad r være et positivt reelt tal. Brug Theorem 4.2.1 til at gøre rede for at ligningen

z2=r

har netop to løsninger som er givet ved ir og ir.

Spørgsmål b#

Løs spørgsmål a igen, men nu ved at bruge Theorem 4.4.1.

Spørgsmål c#

Løs ligningen z2=16.


Opgave 6: Polynomier med reelle koefficienter#

Spørgsmål a#

Check uden brug af løsningsformel at 1+2i er rod i polynomiet 3Z2+6Z+15.

Spørgsmål b#

Find en anden rod i polynomiet 3Z2+6Z+15 uden at bruge løsningsformlen.


Opgave 7: Heltalspotenser og polær form#

Spørgsmål a#

Skriv 1+3i på polær form og brug den på lignende måde som i Example 3.6.2 til at vise at

(1+3i)10=29(1+3i).

Spørgsmål b#

Lad n være et naturligt tal. Vis følgende:

(1+3i)3n=23n,
(1+3i)3n+1=23n(1+3i),

og

(1+3i)3n+2=23n+1(13i).

Opgave 8: Ligninger med eksponentialfunktionen#

Spørgsmål a#

Givet tallene w1=1,w2=e og w3=2i. For n=1,,3, bestem mængden af samtlige løsninger i C for ligningerne

ez=wn.

Spørgsmål b#

Bestem mængden af samtlige løsninger for ligningen

(ez1)(ez2i)=0.

Spørgsmål c#

Vis den første påstand i Theorem 3.4.2, nemlig at ez0 for alle zC.


Opgave 9: Komplekse tal og Pythagoræiske tripler#

Et Pythagoræisk tripel (a,b,c) består ud af tre naturlige tal således at a>b og a2+b2=c2. Et eksempel er (4,3,5).

Spørgsmål a#

Vis at hvis et tripel (a,b,c) af naturlige tal er et Pythagoræisk tripel, så gælder at det komplekse tal z=ac+bci opfylder |z|=1 og Re(z)>Im(z).

Spørgsmål b#

Lad os nu antage at et komplekst tal z af opfylder |z|=1 og Re(z)>Im(z) og at z kan skrives på formen z=ac+bci, hvor a,b og c er naturlige tal. Vis at (a,b,c) er et Pythagoræisk tripel.

Spørgsmål c#

Brug ovenstående indsigter og komplekse tal til at konstruere andre Pythagoræiske tripler ud fra triplet (4,3,5).