Opgaver – Lille Dag#
Opgave 1: Polynomier med reelle koefficienter#
Spørgsmål a#
Check uden brug af løsningsformel at \(-1+2i\) er rod i polynomiet \(3Z^2+6Z+15.\)
Hint
Definition 5.1.2 afslører hvordan man checker at et komplekst tal er en rod.
Spørgsmål b#
Find en anden rod i polynomiet \(3Z^2+6Z+15\) uden at bruge løsningsformlen.
Hint
Kan teorien sidst i Afsnit 5.3 bruges?
Svar
Fordi polynomiet har reelle koefficienter, er den kompleks konjugerede af \(-1+2i\) også rod i polynomiet. Med andre ord: \(-1-2i\) er også rod i \(3Z^2+6Z+15\).
Opgave 2: Binome ligninger#
Spørgsmål a#
Løs den binome ligning \(z^3=-8i\). Løsningerne ønskes angivet på rektangulær form.
Hint
Binome ligninger, dvs. en ligning på formen \(z^n=w\), bliver løst i Sætning 5.4.1. I dette tilfælde bliver \(n=3\) og \(w=-8i\).
Svar
\(z^3=-8i\) har løsninger \(2i\), \(\sqrt{3}-i\) og \(-\sqrt{3}-i\).
Opgave 3: En andengradsligning#
Find samtlige rødder i polynomiet \(Z^2+i\) indenfor de komplekse tal. Angiv rødderne både på polærform og rektangulær form.
Hint
En rod \(z\) i polynomiet \(Z^2+i\) opfylder ligningen \(z^2+i=0\). Denne ligning kan omskrives til en binom ligning.
Hint
Polærformen af tallet \(-i\) er \(1 \cdot e^{-i \pi/2}.\)
Svar
Rødderne i \(Z^2+i\) på polærform er \(e^{-i\pi/4}\) og \(e^{i3\pi/4}\), på rektangularform \(\sqrt{2}/2-i\sqrt{2}/2\) og \(-\sqrt{2}/2+i\sqrt{2}/2\).
Opgave 4: Binome andengradsligninger med reel højreside#
Spørgsmål a#
Lad \(r\) være et positivt reelt tal. Brug Sætning 5.2.1 til at gøre rede for at ligningen
har netop to løsninger som er givet ved \(-i\sqrt{r}\) og \(i\sqrt{r}\).
Spørgsmål b#
Løs spørgsmål a igen, men nu ved at bruge Sætning 5.4.1.
Hint
Hvis du vil bruge Sætning 5.4.1, som udtaler sig om ligningen \(z^n=w\), så bliver \(n=2\) og \(w=-r\).
Hint
Hvad er hovedargumentet af et negativt reelt tal?
Spørgsmål c#
Løs ligningen \(z^2=-16\).
Svar
\(z^2=-16\) har løsninger \(-4i\) og \(4i\).
Opgave 5: En binom ligning i et udtryk med eksponentialfunktionen#
I denne opgave løses ligningen \((e^z)^4=1\) i den ubekendte \(z\) indenfor de komplekse tal på to forskellige måder.
Spørgsmål a#
Metode 1: Skrives \(w=e^z\), så kan man omskrive ligningen \((e^z)^4=1\) til \(w^4=1\). Løs nu først for \(w\) og løs bagefter for \(z\).
Hint
Ligningen \(w^4=1\) er en binom ligning. Dens højresiden kan skrives som \(1=1\cdot e^{0i}\,\).
Hint
Den binome ligning \(w^4=1\) har løsninger \(w_1=1\), \(w_2=i\), \(w_3=-1\) og \(w_4=-i\). Derfor gælder \((e^z)^4=1\) hvis og kun hvis \(e^z=1\) eller \(e^z=i\) eller \(e^z=-1\) eller \(e^z=-i\). De sidstnævnte fire ligninger kan løses vha. Lemma 4.6.1.
Svar
\(e^z=1\) har løsninger \(z=2\pi p i\) hvor \(p \in \mathbb{Z}\)
\(e^z=i\) har løsninger \(z=(\pi/2+2\pi p)i\) hvor \(p \in \mathbb{Z}\)
\(e^z=-1\) har løsninger \(z=(\pi+2\pi p)i\) hvor \(p \in \mathbb{Z}\)
\(e^z=-i\) har løsninger \(z=(-\pi/2+2\pi p)i\) hvor \(p \in \mathbb{Z}\)
Samtlige løsninger er derfor alle komplekse tal \(z\) som kan skrives på én af disse fire måder.
Spørgsmål b#
Metode 2: Bruges Sætning 4.4.2, så fås \((e^z)^4=e^{4z}\). Derfor kan man omskrive ligningen \((e^z)^4=1\) til \(e^{4z}=1\). Brug nu Lemma 4.6.1 for at finde løsningerne og tjek at svarene fra spørgsmål a og b giver de samme løsninger.
Svar
Man får løsningerne \(z=(2\pi p i)/4=\pi p/2 i\) hvor \(p \in \mathbb{Z}\). Når \(p\) gennemløber alle hele tal i \(\mathbb{Z}\), fås de samme løsninger som i spørgsmål a.