Opgaver – Store Dag#
Opgave 1: Tallet i#
I denne opgave får du nogle indledende erfaringer med de komplekse tal.
Spørgsmål a#
Hvad er \(i^2\), \(i^3\), \(i^4\), \(i^5\), \((-i)^2\), \((-i)^3\), \((-i)^4\) og \((-i)^{-5}\,\)?
Hint
Hvis du er i tvivl hvordan man simplificerer \(i^2\), se Definition 4.1.1 fra lærebogen.
Svar
Spørgsmål b#
Hvad er realdelen og imaginærdelen af de komplekse tal \(10+i\), \(3\) og \(i\)? Hvad med realdelen og imaginærdelen af tallet \(-5-i7\,\)?
Hint
Hvis du er i tvivl hvad real- og imaginærdelen af et komplekst tal er, så kan du læse om det i lærebogen mellem Definition 4.1.1. og Eksempel 4.1.1.
Svar
\(10+i\): realdelen er \(10\) og imaginærdelen er \(1\).
\(3\): realdelen er \(3\) og imaginærdelen er \(0\).
\(i\): realdelen er \(0\) og imaginærdelen er \(1\).
\(-5-i7\): realdelen er \(-5\) og imaginærdelen er \(-7\).
Spørgsmål c#
Hvad er \(\mathrm{Re}(-5-7i)\) og \(\mathrm{Im}(-5-7i)\)?
Svar
\(\mathrm{Re}(-5-7i)=-5\) og \(\mathrm{Im}(-5-7i)=-7.\)
Spørgsmål d#
Skriv de komplekse tal \(\,7i-5\,\), \(\,i(7i-5)\,\) og \(\,i(7i-5)i\,\) på rektangulær form.
Hint
I Definition 4.2.2 bliver forklaret hvordan man ganger to komplekse tal sammen.
Svar
Opgave 2: Parenteser og regnearternes hierarki#
Spørgsmål a#
Givet tallet \(\,\,z=3(i-10)-5(7-2i)-i(3i-5)+3i(i-5)\,.\,\) Find den rektangulære form for \(z\,.\)
Hint
I udtryk hvor både multiplikation og addition/subtraktion indgår, udregnes multiplikationerne først.
Svar
Spørgsmål b#
Givet er tallene
Skriv tallet \(\,z=a+ib\,\) på rektangulær form.
Svar
Opgave 3: Brøker#
Spørgsmål a#
Bestem realdelen og imaginærdelen af \((-2+3i)/i\) og skriv tallet på rektangulær form.
Hint
Du kan finde nogle eksempler på hvordan man skriver en brøk af komplekse tal på rektangulær form i Example 4.2.3 fra lærebogen.
Svar
Spørgsmål b#
Reducér det følgende udtryk og skriv det på rektangulær form. \(\displaystyle{\frac{3}{5}- \frac{3-2i}{2+i}}\)
Hint
Det er nok nemmest først at skrive den sidste brøk på rektangulær form. Hertil kan man bruge en lignende fremgangsmåde som i spørgsmål a.
Svar
Opgave 4: Den komplekse talplan#
Spørgsmål a#
Betragt de følgende ti tal: \(-2,\,0,\,i,\,2-i,\,1+2i,\,1,\,-2+3i,\,-5i,\,3\,\) og \(\,-1-2i\,.\)
Hvilke af dem er komplekse, hvilke er reelle, og hvilke er rent imaginære?
Indtegn de ti tal i den komplekse talplan.
Hint
Hvis du vil genopfriske hvordan man indtegner tal i den komplekse talplan eller hvad “rent imaginær” betyder, så kan du finde det i lærebogens Afsnit 4.1, især i teksten efter Definition 4.1.1.
Svar
Alle ti tal er komplekse tal, tallene \(-2,0,1,3\) er reelle tal, tallene \(0,i,-5i\) er rent imaginære tal. Bemærk at \(0\) kan opfattes både som reelt tal og som ren imaginært tal, fordi \(0\) ligger på både den reelle akse og den imaginære akse.
Spørgsmål b#
Givet tallet \(z=4+i\,\).
Indtegn de fire tal \(\,z\,,\,iz\,,\,i^2z\,\) og \(\,i^3z\,\) i den komplekse talplan.
Hvad sker der geometrisk i den komplekse talplan når et komplekst tal bliver ganget med \(i\,\)?
Og divideret med \(i\,\)?
Opgave 5: Grundlæggende udregninger#
Spørgsmål a#
Find ved hjælp af elementære udregninger den rektangulære form for de følgende komplekse tal.
\((5+i)(1+9i).\)
\(i+i^2+i^3+i^4.\)
\(\displaystyle{\frac{1}{1+3i}+\frac{1}{(1+3i)^2}}.\)
\(\displaystyle{\frac{1}{(1+i)^4}}.\)
\(\displaystyle{\frac{5+i}{2-2i}}.\)
\(\displaystyle{\frac{3i}{4}}\,\) og \(\displaystyle{\frac{i2}{4}}.\)
Hint
Hvis man vil simplificere en brøk hvor både tæller og nævner er komplekse tal på rektangulær form, så er Ligning (4.2) fra lærebogen nyttig. Se eventuelt også Eksempel 4.2.3 fra lærebogen.
Svar
\(-4+46i\), 2. \(0\), 3. \(\frac{1}{50} -\frac{9}{25} i\), 4. \(- \frac{1}{4}\), 5. \(1+ \frac{3}{2}i\), 6. \(\frac{3}{4} i\) og \(\frac{1}{2} i\).
Spørgsmål b#
Givet er to reelle tal \(a\) og \(b\,\), ikke begge to lig med \(0\).
Hvorfor er tallet \(\,\,\displaystyle{\frac{1}{a+ib}}\,\,\) ikke på rektangulær form?
Udregn \(\mathrm{Re}\displaystyle{\left(\frac{1}{a+ib}\right)}\,\) og \(\mathrm{Im}\displaystyle{\left(\frac{1}{a+ib}\right)}\,\,\).
Svar
\(\mathrm{Re}\displaystyle{\left(\frac{1}{a+ib}\right)}\, = \frac{a}{a^2+b^2}\) og \(\mathrm{Im}\displaystyle{\left(\frac{1}{a+ib}\right)} = -\frac{b}{a^2+b^2}\).
Opgave 6: Konjugering#
I Definition 4.2.3 blev den komplekst konjugerede \(\overline{z}\) af et komplekst tal \(z\) defineret. Læs eventuelt denne definition først hvis du er i tvivl om hvad \(\overline{z}\) præcist betyder.
Spørgsmål a#
Vis at \(\overline{\overline{2+3i}}=2+3i\) og at \(\overline{(2+3i)\cdot (2+3i)}=\overline{2+3i}\cdot \overline{2+3i}\). Vis nu at mere generelt \(\,\overline{\overline{z}}=z\,\) og at \(\,\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\,\) for all komplekse tal \(z_1\) og \(z_2\).
Hint
Hvis \(z=a+bi\) er et komplekst tal på rektangulær form, hvad sker der hvis man anvender komplekst konjugering to gang i træk? På lignende måde, prøv at beregne både \(\,\overline{z_1\cdot z_2}\) og \(\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\,\) hvis \(z_1=a+bi\) og \(z_2=c+di\) er tallene \(z_1\) og \(z_2\) skrevet på rektangulær form.
Spørgsmål b#
Lad \(z=a+ib\neq 0\) være et givet komplekst tal. Hvilket komplekst tal svarer til spejlbilledet af \(z\) i
nulpunktet af den komplekse plan,
den reelle akse,
den imaginære akse,
linjen med hældning \(1\) gennem nulpunktet?
Angiv facit både på rektangulær form og ved hjælp af formler hvor \(z\), \(\overline{z}\) og \(i\) kan indgå.
Hint
Det kan give et godt overblik først at tegne det hele ind i den komplekse talplan.
Svar
Rektangulær form: \(-a-bi\). Formel: \(-z\).
Rektangulær form: \(a-bi\). Formel: \(\overline{z}\).
Rektangulær form: \(-a+bi\). Formel: \(-\overline{z}\).
Rektangulær form: \(b+ai\). Formel: \(i\cdot \overline{z}\).
Opgave 7: Absolutværdi#
Ved absolutværdien \(\,\left|z\right|\,\) af et komplekst tal \(z\) forstås afstand mellem \(0\) og \(z\) i den komplekse talplan. Se eventuelt Figur 4.4. Absolutværdien kaldes også for modulus.
Spørgsmål a#
Givet er reelle tal \(a,b\) og et komplekst tal på rektangulær form \(\,z=a+ib\,.\) Bestem \(\,\left|z\right|\,.\) Mere konkret, hvad er \(|2+3i|\)?
Svar
\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) og \(|2+3i|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\).
Spørgsmål b#
Undersøg hvilken geometrisk betydning for to vilkårlige komplekse tal \(\,z_1\,\) og \(\,z_2\) absolutværdien \(\,\left|z_1-z_2\right|\,\) har. Illustrér gerne med eksempler.
Svar
\(\,\left|z_1-z_2\right|\,\) giver afstanden mellem \(z_1\) og \(z_2\) i den komplekse talplan.
Spørgsmål c#
En mængde i den komplekse talplan er givet ved
Giv en geometrisk beskrivelse af mængden.
Svar
Mængden beskriver en cirkel i den komplekse talplan med centrum i \(1\) og radius \(3\).
Opgave 8: Mængder i den komplekse talplan#
I den komplekse talplan betragter vi talmængden \(\,M=\left\{z \,\, | \,\, |z-1+2i|\leq 3\,\right\}\,.\)
Spørgsmål a#
Beskriv \(M\) og indtegn \(M\) i den komplekse talplan.
Spørgsmål b#
Bestem \(M \cap \mathbb{R}\), dvs. den delmængde af \(\,M\,\) bestående af alle reelle tal i \(M\).
Hint
Indtegn først \(M \cap \mathbb{R}\) i tegningen fra spørgsmål a.
Svar
\(M \cap \mathbb{R}=\left[\,1-\sqrt 5\,,\,1+\sqrt 5\,\right]\,.\)
Opgave 9: En ligning med modulus#
Bestem alle komplekse tal \(z\) som opfylder ligningen \(|z-1|=|2z-3|\). Indtegn løsningsmængden i den komplekse talplan.
Hint
Det kan hjælpe at skrive \(z\) på rektangulærform som \(z=a+bi\).
Hint
Der skrives fortsæt \(z=a+bi\) på rektangulærform. Tjek først at ligningen gælder \(|z-1|=|2z-3|\) hvis og kun hvis \((a-1)^2+b^2=(2a-3)^2+(2b)^2\).
Svar
Man kan tjekke at \((a-1)^2+b^2=(2a-3)^2+(2b)^2\) hvis og kun hvis \((a-5/3)^2+b^2=(1/3)^2\). Derfor er løsningsmængden en cirkel i den komplekse talplan med radius \(1/3\) og med midpunkt i det reelle tal \(5/3\).
Bemærkning#
Færdig med alle opgaver? Tid og lyst til noget mere? Click her!