Opgaver – Lille Dag#
Opgave 1: Python opgave#
Følgende spørgsmål handler om at illustrere visse dele af teorien om komplekse tal ved hjælp af Python.
Spørgsmål a#
Givet et følgende Pythonkode. Prøv at køre det i command console Python. Tekst i koden efter et \(\#\) tegn er kommentar og behøves ikke at blive kopieret/indtastes, men det skader heller ikke.
from math import sqrt # Denne regel sørger for at man kan bruge kvadratrod-funktionen sqrt senere
Re=3
Im=-2
mod=sqrt(Re**2+Im**2)
mod
Hvad er betydningen af mod i programmet?
Svar
mod giver modulus af det komplekse tal som har realdel Re og imaginærdel Im.
Spørgsmål b#
Givet er et andet stykke Pythonkode. Prøv at køre det i command console Python.
from math import cos, sin, pi #Sørger for man kan bruge funktionerne cos og sin samt cirkelkonstanten pi
mod=4 #mod=modulus
Arg=pi/3 #Arg=argumentet
Re=mod*cos(Arg)
Im=mod*sin(Arg)
Re
Im
print(f"Realdel er {Re} og Imaginærdel er {Im}")
Re==2
Hvad skyldes det overraskende svar i sidste linje af programmet?
Hint
Ved håndregning fås at \(4\cos(\pi/3)=2\). Pythons svar er derfor lidt overraskende. Python regner dog ikke i hånden!
Svar
Python bruger numeriske algoritmer til af beregne \(\cos(\pi/3)\). Dette betyder at resultatet af en beregning som 4*\cos(pi/3) vil være en approximation og derfor vil være behæfted med en lille fejl. Fejlen er dog stort nok til at give svaret False til Re==2 sidst i programmet, selvom vi fra håndregningen ved at svaret egentligt skulle have været True.
Opgave 2: arccos, arcsin og trigonometriske ligninger#
Denne opgave bygger videre på Opgave 7 fra Uge 2 Store Dag. Der er givet mængderne \(\, A=\left[\,0\,,\,2\pi\,\right]\) og \(\, B=\left[\,-\pi\,,\,\pi\,\right]\,.\)
Spørgsmål a#
Løs ligningen \(\,\displaystyle{\mathrm e^{\,i\cdot v}= \frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}\,i\,}\,\) inden for mængderne \(\,A\,\) og \(\,B\,.\)
Svar
Indenfor mængde \(A\) er løsningen \(\,\frac{5\pi}{3}\,.\)
Indenfor mængde \(B\) er løsningen \(\,-\frac{\pi}{3}\,.\)
Opgave 3: Eulers formel#
Spørgsmål a#
Brug Eulers formel til at omskrive \(\cos(3t)\sin(2t)\) på formen \(k_1 \sin(c_1t)+k_2 \sin(c_2t).\)
Hint
Du kan finde Eulers formel i Ligning (3.7) i lærebogen. Den beslægtede Ligning (3.9) er endnu mere nyttigt i opgavens sammenhæng.
Hint
I Example 3.5.1 fra lærebogen løses et lignende problem. Eksemplet kunne give inspiration, hvis man er gået i stå.
Svar
Opgave 4: Polære koordinater#
Spørgsmål a#
Givet tallene \(z_1=1+i\sqrt{3}\,\), \(z_2=-1+i\sqrt{3}\,\), \(z_3=-1-i\sqrt{3}\,\) og \(z_4=1-i\sqrt{3}\,\).
Indtegn \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\) og \(z_4\) i den komplekse talplan og giv tallenes rektangulære koordinater.
Find modulus (også kendt som absolutværdi) til \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\) og \(z_4\). Konkluder at de fire tal ligger på en cirkel med centrum i \(0\). Hvad er cirklens radius?
Bestem hovedargumenet for \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\) og \(z_4\) og giv tallenes polære koordinater.
Hint
Angående bestemmelse af modulus og hovedargument: se Theorem 3.3.1 (og eventuelt Figur 3.5) fra lærebogen.
Hint
\(\mathrm{arctan}(\sqrt{3})=\pi/3\), fordi \(\tan(\pi/3)=\frac{\sin(\pi/3)}{\cos(\pi/3)}=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}.\)
Svar
Delvist svar:
\(z_1\): Tallets rektangulære koordinater er \((1,\sqrt{3})\), mens dets polære koordinater er \((2,\pi/3)\).
\(z_2\): Tallets rektangulære koordinater er \((-1,\sqrt{3})\), mens dets polære koordinater er \((2,2\pi/3)\).
\(z_3\): Tallets rektangulære koordinater er \((-1,-\sqrt{3})\), mens dets polære koordinater er \((2,-2\pi/3)\).
\(z_4\): Tallets rektangulære koordinater er \((1,-\sqrt{3})\), mens dets polære koordinater er \((2,-\pi/3)\).
Spørgsmål b#
Nogen skal finde de polære koordinater for det komplekse tal \(\,-2+2i\,\,\). Vedkommende vælger at bruger lommeregneren. Først indtastes
som giver \(\,2\sqrt{2}\,\) til absolutværdien. Efterfølgende indtastes
som giver svaret \(\,\displaystyle{-\frac {\pi}4}\,.\)
Svaret er forkert, men hvor ligger fejlen?
Spørgsmål c#
Find absolutværdi og hovedargument for det følgende komplekse tal:
Svar
absolutværdi \(\frac{1}{3}\), hovedargument \(\frac{2}{3} \, \pi\)
Spørgsmål d#
Om tre komplekse tal \(z_1\), \(z_2\) og \(z_3\) oplyses angående deres modulus og argument at:
og
Bemærk at tallenes hovedargument ikke er givet, men kun et muligt argument.
Bestem tallenes hovedargument.
Find tallenes rektangulære form.
Hint
Angående bestemmelse af hovedargument (på engelsk: “principal value of the argument”): Hovedargumentet af et komplekst tal skal ligge i intervallet \(]-\pi,\pi].\) For hvert givet argument, læg et smart valgt multiplum af \(2\pi\) til, således at resultatet ligger i \(]-\pi,\pi].\) Læs eventuelt begyndelsen af Section 3.3 fra lærebogen for mere information om argument og hovedargument af et komplekst tal.
Hint
Angående rektangulær form: Ligning (3.4) fra lærebogen kan bruges her.
Svar
Hovedargumenterne er: \(\pi\), \(-2\pi/3\) og \(-3\pi/4\).
Tallene på rektangulær form: \(-4\), \(-1-i \, \sqrt{3}\), \(-3 \, \sqrt{2} - i \, 3 \, \sqrt{2}\).
Opgave 5: Den komplekse eksponentialfunktion#
Spørgsmål a#
Skriv følgende komplekse tal på rektangulær form ved at bruge Eulers formel (Ligning (3.7) fra lærebogen) og indtegn tallene i den komplekse talplan:
\(e^{i \frac{-\pi}{4}}\)
\(e^{i\frac{\pi}{2}}\)
\(e^{\pi i}\)
\(e^{i \frac{5\pi}{4}}\)
Hvad er tallenes (hoved)argumenter?
Svar
Rektangulær form \(\frac12 \sqrt{2}- \frac12 \sqrt{2} i\) og argument \(-\pi/4\).
Rektangulær form \(i\) og argument \(\pi/2\).
Rektangulær form \(-1\) og argument \(\pi\).
Rektangulær form \(-\frac12 \sqrt{2}- \frac12 \sqrt{2} i\) og argument \(5\pi/4\) (hovedargument ville være \(-3\pi/4\)).
Opgaven illustrerer at hvis \(t\) er et reelt tal, så har det komplekse tal \(e^{it}\) modulus \(1\) og argument \(t\).
Spørgsmål b#
Skriv følgende komplekse tal på rektangulær form ved at bruge Definition 3.4.1 fra lærebogen:
\(e^{i\frac{\pi}{2}}.\)
\(3e^{1+\pi i}.\)
Hint
Angående rektangulær form af \(e^{i\frac{\pi}{2}}\): nu at man bliver bedt at bruge Definition 3.4.1, bemærk at \(e^{i\frac{\pi}{2}}=e^{0+i\frac{\pi}{2}}.\)
Svar
\(i\). Svaret er selvfølgelig det samme som i del 2 af spørgsmål a. Faktisk er Eulers formel et specialtilfælde af Definition 3.4.1 ved at vælge \(a=0\) og \(b=t\) i Definition 3.4.1.
\(-3e\).
Spørgsmål c#
Givet er det kompekse tal \(w=1-i\,\).
Bestem \(|\,w\,|\) og et argument \(\arg(w)\,\).
Bestem \(|\,e^w\,|\) og et argument \(\arg(e^w)\,\).
Hint
Angående argumentet af \(e^{1-i}\): En mulig fremgangsmåde er at bruge Definition 3.4.1 til at skrive tallet på rektangulær form og så at bruge Theorem 3.3.1 til at bestemme argumentet.
Hint
Angående argumentet af \(e^{1-i}\): Husk at \(\tan(x)=\sin(x) / \cos(x)\) og at \(\mathrm{arctan}\) er den inverse funktion til \(\tan\).
Svar
\(|\,w\,|=\sqrt{2}\) og et muligt argument er \(\arg(w)=-\frac{\pi}{4}\,.\)
\(|\,e^w\,|=e\) og et muligt argument \(\arg(e^w)=-1\,.\)
I begge tilfælde er det angivne argument faktisk hovedargumentet, fordi både \(-\frac{\pi}{4}\) og \(-1\) ligger i intervallet \(]-\pi,\pi]\).
Opgave 6: Afledte af den komplekse eksponentialfunktion#
Givet to funktioner \(f_1: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) og \(f_2: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), så kan man definere en funktion \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) ved forskriften \(f(x)=f_1(x)+if_2(x).\) Vi antager i denne opgave at de afledte funktioner af \(f_1\) og \(f_2\) findes og vil betegne dem som sædvanligt med \(f_1'\) og \(f_2'\). I så fald definerer man funktionen \(f': \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) med forskriften
Spørgsmål a#
Lad os nu vælge \(f_1(x)=\cos(x)\) og \(f_2(x)=\sin(x)\). Vis at i så fald det gælder at \(f(x)=e^{ix}\) og \(f'(x)=i e^{ix}\) for alle \(x \in \mathbb{R}.\) Med andre ord: det gælder at \((e^{ix})'=ie^{ix}.\)
Hint
Husk at ifølge Eulers formel \(e^{ix}=\cos(x)+i \sin(x)\).
Spørgsmål b#
Lad \(a\) og \(b\) være reelle tal. Bestem to funktioner \(f_1: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) og \(f_2: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) således at funktionen med forskrift \(f(x)=f_1(x)+if_2(x)\) opfylder at
Hint
Definition 3.4.1 kan bruges til at omskrive \(e^{(a+ib)x}\).
Svar
\(f_1(x)=e^{ax} \cos(bx)\) og \(f_2(x)=e^{ax} \sin(bx).\)
Spørgsmål c#
Vis at \((e^{(a+ib)x})'=(a+ib)e^{(a+ib)x}.\)
Hint
For at beregne \((e^{(a+ib)x})'\), bliver mand nødt til at beregne de afledte funktioner \(f_1'\) og \(f_2'\) fra spørgsmål b. Dette kan gøres ved at bruge både produktreglen og kædereglen (hvor \(a\) og \(b\) betragtes som konstanter). Hvis du er i tvivl hvad produktreglen (på engelsk: product rule) og kædereglen (på engelsk: chain rule) præcist indebærer, så kan du slå dem op i Appendiks 2 af lærebogen.