Opgaver – Store Dag#
Opgave 1: Mængder på listeform#
Lad \(A\) og \(B\) være endelige mængder, givet på listeformerne:
Spørgsmål a#
Hvilke elementer indgår i mængderne \(A\) og \(B\)?
Svar
Delvist svar: \(A=\{1,4,9,16,25\}\).
Spørgsmål b#
Hvilke elementer indgår i mængderne \(A \cap B\) og \(A \cup B\,\)?
Hint
Hvis du vil se hvordan \(\cap\) (fællesmængdesymbol) og \(\cup\) (foreningsmængdesymbol) blev defineret, se Ligning (2.1) og (2.2) fra lærebogen.
Spørgsmål c#
Lad \(C\) og \(D\) være mængder, givet på listeformerne:
Hvilke elementer indgår i mængderne \(C \cap D\) og \(C \cup D\,\)?
Svar
\(C \cap D\) indeholder alle naturlige tal som er både et multiplum af \(2\) og af \(3\). Derfor \(C \cap D= \{n \in \Bbb{N} \, | \, n=6m \,\,\,\mathrm{hvor} \,\,\, m \in \Bbb{N}\}\).
\(C \cup D\) indeholder alle naturlige tal som er et multiplum af \(2\) eller et multiplum af \(3\). Derfor \(C \cup D = \{2,3,4,6,8,9,10,12,\dots\}.\)
Spørgsmål d#
Beskriv med dine egne ord mængderne \(\Bbb{R} \setminus \Bbb{Q}\) og \(\Bbb{Z} \setminus \Bbb{N}\,.\)
Opgave 2: Regneregler for mængdeoperationer#
Spørgsmål a#
Nogle identiteter i mængdeteori kan illustreres ved at lave en cirkeldiagram (også kendt som Venn-diagram). I lærebogen blev for eksempel fællesmængden, foreningsmængden og differensmængden illustreres på denne måde i Section 2.1. Også mængdeidentiteter som dem i lærebogens Theorem 2.1.2 kan visualiseres vha. sådanne diagrammer.
Lav cirkeldiagrammer der visualiserer identiteterne (2.8)-(2.11) i lærebogens Theorem 2.1.2.
Spørgsmål b#
Brug udsagnslogik til at bevise identiteterne (2.4) og (2.10) i lærebogens Theorem 2.1.2.
Hint
Især for at bevise identitet (2.10), kan du lade dig inspirere af beviset for identitet (2.11) i Theorem 2.1.2 fra lærebogen.
Spørgsmål c#
Lad \(A\) og \(B\) være mænger med et endeligt antal elementer. Lad \(|A|\) betegne antal elementer i en mængde \(A\). Giv en forklaring på følgende identitet.
\(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\).
Hint
For at få intuitionen på plads, check først at identiteten holder for mængderne \(A\) og \(B\) fra Opgave 1.
Opgave 3: Surjektiv, injektiv og bijektiv#
Fire mængder er givet ved:
Nedenfor er givet fire funktioner. Afgør hvilke der er surjektive, injektive eller bijektive.
Spørgsmål a#
\(f_1 :A\rightarrow B\)
\(\ \ x \mapsto x^2\)
Hint
Hvis du er i tvivl om hvad begreberne “injektiv”, “surjektiv” og “bijektiv” går ud på, så kan du genopfriske din hukommelse ved at læse Afsnit 2.2 fra lærebogen igen (mere præcist teksten efter Lemma 2.2.1 op til Definition 2.2.1).
Hint
Det kan hjælpe først at skrive mængderne \(A\) og \(B\) ned mere eksplicit. Prøv for eksempel at indse at \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}.\)
Svar
\(f_1\) er både injektiv og surjektiv. Derfor er den også bijektiv.
Spørgsmål b#
\(f_2 :D\rightarrow B\)
\(\ \ x \mapsto x^2\)
Hint
For at vise at en funktion ikke er injektiv, er det tilstrækkeligt at finde to forskellige elementer fra funktions definitionsmængde som bliver afbildt på det samme element fra dispositionsmængden.
Svar
\(f_2\) er surjektiv, men ikke injektiv og derfor heller ikke bijektiv.
Spørgsmål c#
\(f_3 :C\rightarrow B\)
\(\ \ x \mapsto x^2\)
Hint
For at vise at en funktion ikke er surjektiv, er det tilstrækkeligt at vise at funktionens billedmængde ikke er hele dispositionsmængden.
Svar
\(f_3\) er injektiv, men ikke surjektiv og derfor heller ikke bijektiv.
Spørgsmål d#
\(f_4 :\Bbb Z\rightarrow \Bbb Z\)
\(\ \ x \mapsto |x|\)
Svar
\(f_4\) er ikke injektiv, ikke surjektiv og heller ikke bijektiv.
Opgave 4: En inverse funktion#
Givet er en funktion \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) som har funktionsforskriften
Spørgsmål a#
Lad \(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) være funktionen med funktionsforskriften
Vis ved at bruge Definition 2.2.1 fra lærebogen at \(g\) er den inverse funktion til \(f\). Bemærkning: hvis du tegner graferne til \(f\) og \(g\) vil du kunne se en symmetrisk sammenhæng mellem dem. Hvilken symmetri er det? Se eventuelt sidste del af Example 2.3.1 hvor en lignende symmetri optræder.
Spørgsmål b#
Redegør for at \(f\) er bijektiv.
Hint
Frem for at starte med at vise at \(f\) er injektiv og surjektiv, prøv at benytte Lemma 2.2.2.
Opgave 5: Fra vinkelmål til radiantal og omvendt#
Bijektioner optræder når man konverterer fra en bestemt enhed til en anden. I denne opgave genopfriskes konverting fra vinkelmål til radiantal og omvendt.
Spørgsmål a#
Angiv de radiantal der svarer til vinkelmålene \(30, 60, 120, 135\) og \(300\) grader.
Svar
\(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{2\pi}{3}\), \(\frac{3\pi}{4}\), \(\frac{5\pi}{3}\). Generelt: \(x\) grader svarer til radiantal \(x \pi / 180.\)
Spørgsmål b#
Tegn enhedscirklen i et \((x,y)\)-koordinatsystem med centrum i Origo. Afsæt punkter på enhedscirklen svarende til buelængderne
Hvilke vinkelmål i grader svarer de til?
Svar
\(180\), \(60\), \(330\), \(330\), \(105\), \(90\), \(315\). Generelt: buelængden \(x\) svarer til \(180x/\pi\) grader hvis \(x \in [0,2\pi[\). Hvis \(x \not\in [0,2\pi[\), lægges først et multiplum af \(2\pi\) til således at udkomsten ligger i intervallet \([0,2\pi[\).
Opgave 6: Cosinus og sinus repetition#
Spørgsmål a#
Benyt figuren (den blå trekant) til geometrisk bestemmelse af de eksakte værdier for \(\,\displaystyle{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}\,\) og \(\,\displaystyle{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}\,.\)
Hint
Husk at Pythagoras’ sætning medfører at \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\) for all reelle tal \(x\).
Svar
De giver begge \(\frac{\sqrt{2}}{2}\,. \)
Spørgsmål b#
Bestem ved hjælp af symmetribetragtninger tallene
Svar
\((-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}),(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}),(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}),(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}),(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}), (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}),(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}).\)
Spørgsmål c#
Det oplyses at \(\,\displaystyle{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{\sqrt 3}{2}\,\) og \(\,\displaystyle{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{1}{2}\,.\) Indtegn punktet
på en enhedscirkel og find ved hjælp af symmetribetragtninger tallene
Hint
Bemærkning: i Appendix 1 fra lærebogen, som står straks efter det sidste kapitel, kan du finde en enhedscirkel, samt værdien af cosinus og sinus i visse “pæne” vinkler.
Opgave 7: \(\mathrm{arccos}\), \(\mathrm{arcsin}\) og trigonometriske ligninger#
I denne opgave betragtes de inverse trigonometriske funktioner \(\mathrm{arccos}\) og \(\mathrm{arcsin}\), samt nogle trigonometriske ligninger. Hvis du har behov for at genopfriske eller se graferne til disse funktioner, så kan du kigge på Afsnit 2.3 fra lærebogen (især underafsnittet “De inverse trigonometriske funktioner”).
Spørgsmål a#
Angiv tallene \(\,\displaystyle{\mathrm{arccos}\left(\frac{1}{2}\right),\,\mathrm{arcsin}\left(-\frac{\sqrt 3}{2}\right)}\) og \(\displaystyle{\mathrm{arcsin}(1)}\,.\)
Svar
\(\frac{1}{3} \, \pi\), \(-\frac{1}{3} \, \pi\), \(\frac{1}{2} \, \pi\).
Spørgsmål b#
Lad \(x \in \mathbb{R}\) og \(y \in [-1,1]\) være reelle tal. Lad \(P\) være det logiske udsagn \(\mathrm{arccos(y)}=x\) og \(Q\) det logiske udsagn \(y=\cos(x)\). Vis at \(P \Rightarrow Q\) er sandt, men at \(Q \Rightarrow P\) ikke behøves at være sandt.
Hint
Til \(P \Rightarrow Q\): hvad sker der hvis man anvender \(\cos\)-funktionen på begge sider af lighedstegnet i \(P\)?
Til \(Q \Rightarrow P\): kan du finde \(x \in \mathbb{R}\) og \(y \in [-1,1]\) således at \(Q\) er sandt, men \(P\) ikke?
Spørgsmål c#
Der er givet mængderne \(\,A=\left[\,0\,,\,2\pi\,\right]\,\) og \(\,B=\left[\,-\pi\,,\,\pi\,\right]\,.\)
Løs ligningen \(\,\displaystyle{\cos(x)=\frac{1}{2}}\,\) inden for hver af mængderne \(\,A,\,B\,\) og \(\,\Bbb R\,.\)
Hint
En løsning til ligningen fås direkte fra spørgsmål a, fordi ifølge spørgsmål b \(\mathrm{arccos}(y)=x\) medfører at \(y=\cos(x).\) Find nu samtlige løsninger i \(\mathbb{R}\) ved at lave en skitse af grafen til \(\cos\)-funktionen.
Svar
Indenfor \(A\) er løsningerne: \(\,\frac{\pi}{3}\,\) og \(\,\frac{5\pi}{3}\,.\)
Indenfor \(B\) er løsningerne \(\,\frac{-\pi}{3}\,\) og \(\,\frac{\pi}{3}\,.\)
Indenfor \(\mathbb{R}\) er løsningerne \(\,\frac{-\pi}{3}+p\cdot 2\pi\,\) og \(\,\frac{\pi}{3}+p\cdot 2\pi\,\) hvor \(\,p \in \Bbb Z\,.\)
Spørgsmål d#
Løs ligningen \(\,\displaystyle{\sin(x)=-\frac{\sqrt 3}{2}}\,\) inden for hver af mængderne \(\,A,\,B\,\) og \(\,\Bbb R\,.\)
Svar
Indenfor \(A\) er løsningerne: \(\,\frac{4\pi}{3}\,\) og \(\,\frac{5\pi}{3}\,.\)
Indenfor \(B\) er løsningerne: \(\,\frac{-2\pi}{3}\,\) og \(\,-\frac{\pi}{3}\,.\)
Indenfor \(\mathbb R\) er løsningerne: \(\,\frac{4\pi}{3}+p\cdot 2\pi\,\) og \(\,\frac{5\pi}{3}+p\cdot 2\pi\,\) hvor \(\,p \in \Bbb Z\,.\)
Opgave 8: Andengradspolynomiumsfunktioner#
Der betragtes en funktion \(h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) som har funktionsforskriften
Spørgsmål a#
Bring funktionen \(h\) på formen \(h(x)=2(x-k_1)^2+k_2\) og angiv konstanterne \(k_1\) og \(k_2\). Brug denne form til at bestemme værdimængden til \(h\).
Hint
En mulig metoden som man kan bruge her, er kendt som “kvadratkomplettering”.
Svar
\(h\) har værdimængden \(\{ x \in \mathbb{R} \, | \, x \ge 7\}.\) Man kan også beskrive denne mængde som \(\mathbb{R}_{\ge 7}\).
Spørgsmål b#
Angiv det størst mulige interval \(J \subseteq {\Bbb R}_{\geq 0}\) hvorpå restriktionen af \(h\) bliver injektiv.
Hint
Brug spørgsmål a til at lave en skitse af grafen til \(h\).
Svar
\(J=\{ x \in \mathbb{R} \, | \, x \ge 5\}.\) Man kan også beskrive denne mængde som \(\mathbb{R}_{\ge 5}\).
Spørgsmål c#
Vi betrager nu \(h\)’s restriktion til intervallet \(J\) fra spørgsmål b og indskrænker \(h\)’s dispositionsmængde til mængden \(\mathbb{R}_{\ge 7}\) fra spørgsmål a. Den resulterende funktion er bijektiv og betegnes med \(h_1\). Mere konkret, \(h_1\) er funktionen \(h_1: J \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 7}\) givet ved \(h_1(x)=2x^2 -20x +57.\)
Angiv en forskrift for den inverse funktion \({h_1}^{-1}\)
Hint
En god start er at løse for \(x\) i ligningen \(2x^2 -20x +57=y\).
Spørgsmål d#
Angiv definitions- og værdimængden for \({h_1}^{-1}\)
Svar
Funktionen \(h_1^{-1}\) har definitionsmængde \(\mathbb{R}_{\ge 7}\) og dispositionsmængde \(\mathbb{R}_{\ge 5}\). Fordi \(h_1^{-1}\) er surjektiv (faktisk bijektiv), er \(h_1^{-1}\)’s værdimængde det samme som dens dispositionsmængde, dvs. \(\mathbb{R}_{\ge 5}\).
Opgave 9: Bijektion#
Givet er funktionen \(f :\Bbb N\rightarrow \Bbb Z\) defineret ved
\( x \mapsto \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x}{2} & x\ \mathrm{lige,} \\ -\frac{x-1}{2} & x\ \mathrm{ulige.} \\ \end{array} \right. \)
Spørgsmål a#
Er \(f\) en bijektion?
Hint
For at få en ide om funktionens opførsel, beregn først \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\), \(f(4)\) og \(f(5)\).
Svar
Ja.
Opgave 10: Hyperbolske funktioner#
I denne opgave indføres to nye funktioner, men som er dannet af allerede kendte funktioner. De to funktioner kaldes sinus og cosinus hyperbolsk, og er defineret ved:
\(\mathrm{sinh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\) og \(\mathrm{cosh}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.\)
Det antages for begge funktioner at både deres definitionsmængder og dispositionsmængder er lige med \(\mathbb R\).
Spørgsmål a#
Redegør for at \(\mathrm{sinh}(x)\) er injektiv og at \(\mathrm{cosh}(x)\) ikke er injektiv.
Hint
Er funktionerne monotone?
Spørgsmål b#
Find en forskrift for \(\mathrm{sinh}^{-1}\) ved at isolere \(x\) i ligningen \(y=\mathrm{sinh}(x)\).
Hint
Gang din ligning igennem med \(e^x\) og løs den fremkommende andengradsligning.
Hint
Hvorfor kan vi smide den ene løsning væk?