Opgaver – Lille Dag#
Opgave 1: Python opgave#
Den opgave omhandler formlen fra Opgave 2c fra denne uges store dag.
Du kan bruge command console Python på din computer til at køre følgende program. Brug endelig Copy-Paste for at få Pythonkoden over i command consolen.
Spørgsmål a#
En mængde på formen \(\{1,2,3\}\) kan indføres i Python ved at skrive følgende i command consolen {1,2,3}. Som forklaret i starten af Afsnit 2.1 fra lærebogen, er rækkefølgen at elementerne ikke vigtig i en mængde. Hvordan kan man checke i Python at for eksempel \(\{1,2,3\}=\{1,3,2\}\)? Gentagelse af elementer i en mængde ændrer ikke på mængden. Man har for eksempel \(\{1,1,2\}=\{1,2\}\). Prøv at checke denne identitet i Python.
Hint
To mængder \(A\) og \(B\) er lige med hinanden præcist hvis ligningen \(A=B\) er sand. I sidste uger (Lille Dag, Opgave 2a og 2c) har vi dog allerede set hvordan man checker om to ting er lige med hinanden i Python.
Hint
Hvad sker der hvis man skrive {1,2,3} == {1,3,2} i Python?
Spørgsmål b#
Kør følgende Python kode:
A={9, 12, 15, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 42, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96}
B={12, 16, 24, 28, 32, 36, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 80, 84, 88, 92, 96}
len(A)
len(B)
Hvad er betydning af kommandoet len?
Svar
len(A) giver antallet af elementer i mængden \(A\). I Opgave 2c fra denne uges store dag blev dette antal betegnet med \(|A|\).
Spørgsmål c#
Foreningsmængde og fællesmængde af to mængder \(A\) og \(B\) kan beregnes i Python som A.union(B) og A.intersection(B)
Afprøv kommandoerne på de to mængder \(A\) og \(B\) fra spørgsmål a.
Spørgsmål d#
Tjek nu ved hjælp af Python at formlen \(|A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B|\) holder for de to mængder fra spørgsmål a.
Svar
Man kan køre kommandoen len(A.union(B))==len(A)+len(B)-len(A.intersection(B)). Udkomsten er True, så formlen passer!
Spørgsmål e#
Vi introducerer nu en ny mængde C
C={6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96}
Prøv at formulere en identitet om \(|A \cup B \cup C|\), nu altså med tre mængder \(A\), \(B\) og \(C\) frem for to som før. Man kan afprøve med Python om man har fundet en formel der passer.
Opgave 2: Sammensatte funktioner#
Givet er mængden \(A=\{0,1,2\}\), samt to funktioner \(f: A \to A\) og \(g: A \to \mathbb{R}\). Funktionen \(f\) har forskrift \(f(x)=2-x\), mens funktionen \(g\) har forskrift \(g(x)=2x+e^x\).
Spørgsmål a#
Er den sammensatte funktion \(f \circ g\) defineret? Hvad med \(g \circ f\)?
Hint
I lærebogen, straks efter Example 2.2.2, kan du læse om hvad der skal til for at kunne sammensætte to funktioner.
Svar
\(f \circ g\) er ikke defineret, fordi \(g\)’s dispositionsmængde er \(\mathbb{R}\), som ikke er \(f\)’s definitionsmængde (den er nemlig \(A\)).
\(g \circ f\) er defineret, fordi \(f\)’s dispositionsmængde er det samme som \(g\)’s definitionsmængde (nemlig \(A\)).
Bemærk at man ikke behøver at kende forskrifterne for to funktioner for at kunne afgøre om deres sammensætning er defineret. Kun at vide deres definitions- og dispositionsmængderne er tiltrækkeligt til afgørelsen.
Spørgsmål b#
Beregn \((g\circ f)(a)\) for alle \(a \in A\).
Svar
\((g \circ f)(0)=4+e^2\), \((g \circ f)(1)=2+e\) og \((g \circ f)(2)=1\).
Mellemregning til det sidste svar:
Spørgsmål c#
Bestem forskrift, definitionsmængde, dispositionsmængde og værdimængde af funktionen \(g \circ f\).
Hint
Værdimængden kan bestemmes ud fra svar til spørgsmål b. Definitionsmængde og dispositionsmængde kan bestemmes ud fra definitionen af en sammensat funktion.
Svar
Forskrift: \((g \circ f)(x)=2(2-x)+e^{2-x}\) (eller helst lidt pænere \((g \circ f)(x)=4-2x+e^{2-x}\)).
Værdimængde: \(\{4+e^2,2+e,1\}\) (det er også fint at ordne tallene efter størrelse og give som svar \(\{1,2+e,4+e^2\}\)).
Definitionsmængde: \(A\), dvs. \(\{0,1,2\}\).
Dispositionsmængde: \(\mathbb R\).
Spørgsmål d#
Er funktionen \(g \circ f\) injektiv? Hvad med surjektiv?
Svar
Injektiv: ja. Surjektiv: nej.
Opgave 3: Omvendte funktioner#
Givet en bijektive funktion \(f: A \to B\), så betegnes den inverse funktion, også kaldt omvendt funktion, som \(f^{-1}: B \to A\) (se Definition 2.2.1 fra lærebogen). Den naturlige logaritme \(\mathrm{ln}\) indføres i Example 2.3.2 som den omvendte funktion til eksponentialfunktionen \(\mathrm{exp}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{>0}\) givet ved forskriften \(x\mapsto e^x.\)
Spørgsmål a#
Angiv definitionsmængde, dispositionsmængde og værdimængde af \(\mathrm{ln}\).
Svar
Definitionsmængde: \(\mathbb{R}_{>0}\).
Dispositionsmængde: \(\mathbb{R}\).
Værdimængde: \(\mathbb{R}\).
Spørgsmål b#
Angiv forskrift, definitionsmængde, dispositionsmængde og værdimængde af de sammensatte funktioner \(\mathrm{ln} \circ \mathrm{exp}\) og \(\mathrm{exp} \circ \mathrm{ln}\).
Hint
Hvis du er i tvivl hvad notationen \(g \circ f\) præcist betyder, se forklaring i lærebogen straks efter Example 2.2.2. Hvis du vil læse om definitionen af en omvendt funktion, se Definition 2.2.1.
Svar
Fra Definition 2.2.1, fås at \(\mathrm{ln} \circ \mathrm{exp}=\mathrm{id}_{\mathbb R}\) og \(\mathrm{exp} \circ \mathrm{ln}=\mathrm{id}_{\mathbb{R}_{>0}}\). Derfor gælder følgende:
\(\mathrm{ln} \circ \mathrm{exp}\) har forskrift \(x \mapsto x\) (dvs. \(\mathrm{ln}(e^x)=x\)), definitionsmængde \(\mathbb R\), dispositionsmængde \(\mathbb R\) og værdimængde \(\mathbb R\).
\(\mathrm{exp} \circ \mathrm{ln}\) har forskrift \(x \mapsto x\) (dvs. \(e^{\mathrm{ln}(x)}=x\)), definitionsmængde \(\mathbb R_{>0}\), dispositionsmængde \(\mathbb R_{>0}\) og værdimængde \(\mathbb R_{>0}\).
Spørgsmål c#
Bevis regnereglen
hvor \(a\) og \(b\) er positive reelle tal (dvs. \(a,b \in \mathbb{R}_{>0}\)).
Hint
Du må bruge at \(e^x \cdot e^y=e^{x+y}\) for alle reelle tal \(x\) og \(y\). Du må også bruge at eksponentialfunktionen har værdimængde \(\mathbb{R}_{>0}.\)
Hint
Fordi eksponentialfunktionen har værdimængde \(\mathbb{R}_{>0}\), kan man for givne positive reelle tal \(a\) og \(b\) altid finde reelle tal \(x\) og \(y\) således at \(a=e^x\) og \(b=e^y\). Mere ned på jorden: \(a=e^{\ln(a)}\) og \(b=e^{\ln(b)}\), så givet \(a\) og \(b\), så har man \(x=\ln(a)\) og \(y=\ln(b)\).
Opgave 4: Logaritmer#
Lad \(a\) være et positivt reelt tal forskelligt fra \(1\): Funktionen \(f: \mathbb R \to \mathbb R_{>0}\) er givet ved forskriften \(x \mapsto a^x\).
Spørgsmål a#
Lav en skitse af funktionens graf hvis \(a \in ]0,1[\). Er \(f\) monoton? Mere præcist, er \(f\) strengt stigende eller strengt aftagende?
Hint
Hvis du er i tvivl om hvad ordene “monoton”, “strengt stigende (på engelsk: strictly increasing)” og “strengt aftagende (på engelsk: strictly decreasing)” betyder, så kan du finde en forklaring i teksten straks efter Lemma 2.3.1 i lærebogen.
Svar
Funktionen \(f\) er monoton. Mere præcist, den er strengt aftagende.
Spørgsmål b#
Lav igen en skitse af funktionens graf, men nu under antagelse at \(a \in \mathbb{R}_{>1}\). Er \(f\) strengt stigende eller strengt aftagende?
Svar
Funktionen \(f\) er strengt stigende.
Spørgsmål c#
Man kan vise at funktionen \(f\) er bijektiv, som betyder at \(f\) har en inverse funktion. Giv en forskrift af den inverse funktion til \(f\).
Hint
Prøve at løse for \(x\) i ligningen \(y=a^x\). Formlen \(a=e^{\ln(a)}\) kan være behjælpsom, samt regnereglen at \((u^v)^w=u^{vw}\) for alle \(u \in \mathbb R_{>0}\) og alle \(v,w \in \mathbb R\).
Svar
\(f^{-1}(x)=\ln(x)/\ln(a).\) Bemærkning: man skriver som regel \(\log_a\) til at angive denne inverse funktion og kalder den logaritmen med base \(a\). Hyppigt brugte logaritme-funktioner (udover \(\ln\)) er \(\log_2\) og \(\log_{10}\).
Opgave 5: Graf af en invertibel funktion#
Spørgsmål a#
Skitser grafer til eksponential og logaritme funktionen fra Example 2.3.2 i den samme figur. Er der en symmetri mellem disse to grafer?
Skitser også grafer til \(\tan\) og \(\mathrm{arctan}\) funktioner fra lærebogens Afsnit 2.3 (underafsnit “De inverse trigonometriske funktioner”) i en (ny) figur. Verficer at den samme symmetri gælder.
Hvad skyldes symmetrien?
Hint
I den første figur er grunden af symmetrien at \(e^x=y\) hvis og kun hvis \(x=\ln(y).\) Symmetrien i den anden figur har en lignende årsag.
Svar
Symmetrien er spejling i linjen \(y=x\).
Helt generelt, hvis \(f: A \to B\) er en invertibel funktion og \(x \in A\), \(y \in B\), så gælder at \(f(x)=y\) hvis og kun hvis \(x=f^{-1}(y)\). Symmetrien giver derfor mening: hvis man spejler punktet \((x,f(x))\) på \(f\)’s graf, fås punktet \((f(x),x)\). Hvis vi nu betegner \(f(x)\) med \(y\) (dvs. \(y=f(x)\)), så fås \((f(x),x)=(y,f^{-1}(y)),\) som netop er et punkt på \(f^{-1}\)’s graf. På lignende måde kan vises at vis vi spejler et punkt på \(f^{-1}\)’s graf, så fås et punkt på \(f\)’s graf.
Opgave 6: Hældning og inverser#
I denne opgave må man bruge at hvis man spejler en linje i planen med hældningskoefficient \(r \in \mathbb{R}\setminus \{0\}\) i linjen \(y=x\), så fås en linje med hældningskoefficient \(1/r\). Vi betragter en invertibel funktion \(f: \mathbb R \to \mathbb R\).
Spørgsmål a#
Brug resultatet beskrivet i svaret til Opgave 5 til af indse grafisk at hvis grafen til \(f\) har en tangentlinje gennem \((x,f(x))\) med hældningskoefficient \(r \in \mathbb{R}\setminus \{0\}\), så har grafen til \(f^{-1}\) en tangentlinje gennem \((f(x),x)\) med hældningskoefficient \(1/r\).
Spørgsmål b#
Konkluder at hvis \(f\) har en afledte \(f'(x)\) i \(x\), så gælder at den afledte af \(f^{-1}\) i \(f(x)\) er lige med \(1/f'(x)\). Med andre ord:
Spørgsmål c#
Ved at skifte variablen \(x\) ud med \(f^{-1}(x)\), omskriv formlen fra spørgsmål b til \((f^{-1})'(x)=1/f'(f^{-1}(x)).\)
Spørgsmål d#
Brug nu formlen fra spørgsmål c, til at indse at \(\mathrm{arctan}'(x)=1/\tan'(\mathrm{arctan}(x))\).
Spørgsmål e#
Brug formlen \(\tan'(x)=\tan^2(x)+1\) til at nå frem til formlen
Bemærkning: en lignende fremgangsmåde giver anledning til formlerne:
og