Opgaver – Store Dag#
Opgave 1: Homogen eller inhomogen?#
Er følgende differentialligninger og systemer af differentialligninger homogene eller inhomogene?
. .
Svar
Ligningen kan omskrives til
. Differentialligningen er derfor homogen (se eventuelt Definition 12.3.1 fra lærebogen).Ligningen kan omskrives til
. Differentialligningen er derfor inhomogen.Differentialligningssystemet er inhomogent (se eventuelt Definition 12.2.1 fra lærebogen).
Differentialligningssystemet kan omskrives til
Derfor er differentialligningssystemet homogent.
Opgave 2: En homogen andenordens differentialligning#
Givet den homogene reelle differentialligning
Find dens fuldstændige løsning.
Hint
Find først rødderne i ligningens karakteristiske polynomium. Se Afsnit 12.3 fra lærebogen for flere oplysninger og eksempler.
Svar
Opgave 3: Flere homogene andenordens differentialligninger#
Givet følgende homogene reelle differentialligninger. Find deres fuldstændige løsning.
Hint
Alt afhængig af om det karakteristiske polynomium har to reelle rødder, to ikke-reelle rødder eller en dobbeltrod, skal man bruge Case 1, Case 2, eller Case 3 på sider 266 og 267 i Afsnit 12.3 fra lærebogen.
Svar
Opgave 4: En inhomogen andenordens differentialligning#
Givet den inhomogene differentialligning
Spørgsmål a#
Bestem et reelt tal
Hint
Indsæt funktionen
Svar
Funktionen
Spørgsmål b#
Beskriv nu den fuldstændige løsning til den givne inhomogene differentialligning. Bemærk at den tilhørende homogene differentialligning allerede blev undersøgt i Opgave 3.
Hint
Den fuldstændige løsning til den tilhørende homogene differentialligning
Svar
Den ønskede fuldstændige løsning er summen af en partikulær løsning og den fuldstændige løsning til den tilhørende homogene differentialligning. Derfor er svaret:
Opgave 5: Omskrivning af en højere ordens differentialligning til et system#
En lineær andenordens differentialligning med konstante koefficienter kan omskrives til et system af førsteordens differentialligninger (se Afsnit 12.3 fra lærebogen). I denne opgave betragtes et eksempel.
Spørgsmål a#
Givet differentialligningen
Svar
Vælges
Spørgsmål b#
Tjek at ligning (12.13) ville have givet det samme system.
Svar
Bruges ligning (12.13) med
Opgave 6: Endnu en inhomogen andenordens differentialligning#
Givet den inhomogene differentialligning
Spørgsmål a#
Inspireret af Opgave 4, kunne man håbe at der findes et reelt tal
Svar
Indsættes en funktion på formen
Spørgsmål b#
Prøv nu at finde en partikulær løsning på formen
Svar
Indsættes funktionen
Spørgsmål c#
Beskriv nu den fuldstændige løsning til den givne inhomogene differentialligning. Bemærk at den tilhørende homogene differentialligning allerede blev undersøgt i Opgave 2.
Hint
Den fuldstændige løsning til den tilhørende homogene differentialligning
Svar
Den ønskede fuldstændige løsning er summen af en partikulær løsning og den fuldstændige løsning til den tilhørende homogene differentialligning. Derfor er svaret:
Opgave 7: Fra løsning til differentialligning#
Det oplyses at den fuldstændige reelle løsning til en homogen lineær andenordens differentialligning med konstante reelle koefficienter er
Opskriv differentialligningen.
Hint
Fordi
Hint
Hvilke rødder skal det karakteristiske polynomium
Svar
Fra den givne fuldstændige løsning ses at det karakteristiske polynomium
Opgave 8: Fra løsning til differentialligning, del 2#
Det oplyses at den fuldstændige reelle løsning til en inhomogen lineær andenordens differentialligning er
Opskriv differentialligningen.
Hint
Hvad er den fuldstændige løsning til den tilhørende homogene differentialligning? Kan den tilhørende homogene differentialligning bestemmes ved hjælp af svaret til Opgave 7?
Hint
Den tilhørende homogene differentialligning er ifølge Opgave 7 givet som
Hint
Funktionen
Svar
Den ønskede differentialligning er
Opgave 9: Begyndelsesbetingelser#
Givet den homogene reelle differentialligning
Bemærk at differentialligningen er den samme som i Opgave 1. Målet med opgaven er at finde løsningen til differentialligningen som opfylder begyndelsesbetingelserne
Spørgsmål a#
I Opgave 1 var resultatet at den givne differentialligning har den fuldstændige løsning
Hvilken ligning skal
Svar
Fra Opgave 1 vides at
Indsættes
Spørgsmål b#
Hvilken ligning skal
Hint
Ligesom i spørgsmål a, vides fra Opgave 1 at
Tag nu den afledte på begge sider af lighedstegnet og indsæt bagefter
Hint
Udfra den fuldstændige løsning
fås ved differentiation på begge sider af lighedstegnet at:
Brug nu sidste del af forrige hint.
Svar
Spørgsmål c#
Find nu den løsning
Hint
Bestem
Svar
Løses de to ligninger