Opgaver – Store Dag

Opgaver – Store Dag#

Opgave 1: Homogen eller inhomogen?#

Er følgende differentialligninger og systemer af differentialligninger homogene eller inhomogene?

  1. \(f''(t)=f'(t)-2f(t)\).

  2. \(f'(t)-t\cdot f(t)-e^{-3t}=0\).

  3. \(\left[\begin{array}{c} f'_1(t)\\ f'_2(t) \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 4 & 6 \\ -2 & 7 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t) \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} 1\\ 1\end{array}\right].\)

  4. \(\left\{ \begin{array}{lcr} f'_1(t) & = & f_2(t)\\ f'_2(t) & = & f_1(t)-f_2(t)\\ \end{array} \right.\)

Svar

  1. Ligningen kan omskrives til \(f''(t)-f'(t)+2f(t)=0\). Differentialligningen er derfor homogen (se eventuelt Definition 12.3.1 fra lærebogen).

  2. Ligningen kan omskrives til \(f'(t)-t\cdot f(t)=e^{-3t}\). Differentialligningen er derfor inhomogen.

  3. Differentialligningssystemet er inhomogent (se eventuelt Definition 12.2.1 fra lærebogen).

  4. Differentialligningssystemet kan omskrives til

\[\begin{split}\left[\begin{array}{c} f'_1(t)\\ f'_2(t) \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\1 & -1 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t) \end{array}\right].\end{split}\]

Derfor er differentialligningssystemet homogent.

Opgave 2: En homogen andenordens differentialligning#

Givet den homogene reelle differentialligning

\[f''(t)+3f'(t)-4f(t)=0.\]

Find dens fuldstændige løsning.

Hint

Find først rødderne i ligningens karakteristiske polynomium. Se Afsnit 12.3 fra lærebogen for flere oplysninger og eksempler.

Svar

\[f(t)=c_1 \cdot e^t+c_2 \cdot e^{−4t}, \quad c_1,c_2 \in \mathbb{R}.\]

Opgave 3: Flere homogene andenordens differentialligninger#

Givet følgende homogene reelle differentialligninger. Find deres fuldstændige løsning.

  1. \[f''(t)-6f'(t)+9f(t)=0.\]
  2. \[f''(t)+2f'(t)+5f(t)=0.\]

Hint

Alt afhængig af om det karakteristiske polynomium har to reelle rødder, to ikke-reelle rødder eller en dobbeltrod, skal man bruge Case 1, Case 2, eller Case 3 på sider 266 og 267 i Afsnit 12.3 fra lærebogen.

Svar

  1. \(f(t)=c_1 \cdot e^{3t}+c_2 \cdot te^{3t}, \quad c_1,c_2 \in \mathbb{R}.\)

  2. \(f(t)=c_1 \cdot e^{−t}\mathrm{cos}(2t)+c_2\cdot e^{−t} \mathrm{sin}(2t), \quad c_1,c_2 \in \mathbb{R}.\)

Opgave 4: En inhomogen andenordens differentialligning#

Givet den inhomogene differentialligning

\[f''(t)-6f'(t)+9f(t)=e^{2t}.\]

Spørgsmål a#

Bestem et reelt tal \(a\) således at funktionen \(f(t)=a\cdot e^{2t}\) er en partikulær løsning til den givne differentialligning.

Hint

Indsæt funktionen \(f(t)=a\cdot e^{2t}\) i differentialligningen. Hvilken ligning skal \(a\) opfylde for at funktionen er en løsning til differentialligningen?

Svar

Funktionen \(f(t)=e^{2t}\) er en partikulær løsning.

Spørgsmål b#

Beskriv nu den fuldstændige løsning til den givne inhomogene differentialligning. Bemærk at den tilhørende homogene differentialligning allerede blev undersøgt i Opgave 3.

Hint

Den fuldstændige løsning til den tilhørende homogene differentialligning \(f''(t)-6f'(t)+9f(t)=0\) blev fundet i Opgave 3 til at være \(f(t)=c_1 \cdot e^{3t}+c_2 \cdot te^{3t}, \quad c_1,c_2 \in \mathbb{R}.\)

Svar

Den ønskede fuldstændige løsning er summen af en partikulær løsning og den fuldstændige løsning til den tilhørende homogene differentialligning. Derfor er svaret:

\[f(t)=e^{2t}+c_1 \cdot e^{3t}+c_2 \cdot te^{3t}, \quad c_1,c_2 \in \mathbb{R}.\]

Opgave 5: Omskrivning af en højere ordens differentialligning til et system#

En lineær andenordens differentialligning med konstante koefficienter kan omskrives til et system af førsteordens differentialligninger (se Afsnit 12.3 fra lærebogen). I denne opgave betragtes et eksempel.

Spørgsmål a#

Givet differentialligningen \(f''(t)+2f'(t)+f(t)=\mathrm{cos}(t)\). Omskriv denne differentialligning til et system af to førsteordensdifferentialligninger i funktionerne \(f_1(t)\) og \(f_2(t)\), hvor \(f_1(t)=f(t)\) og \(f_2(t)=f'(t)\).

Svar

Vælges \(f_1(t)=f(t)\) og \(f_2(t)=f'(t)\), så gælder at \(f'_1(t)=f'(t)=f_2(t)\) og \(f'_2(t)=f''(t)=-2f'(t)-f(t)+\mathrm{cos}(t)=-2f_2(t)-f_1(t)+\mathrm{cos}(t)\). Derfor fås differentialligningssystemet

\[\begin{split}\left[\begin{array}{c} f'_1(t)\\ f'_2(t) \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & -2 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t) \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} 0\\ \mathrm{cos}(t)\end{array}\right].\end{split}\]

Spørgsmål b#

Tjek at ligning (12.13) ville have givet det samme system.

Svar

Bruges ligning (12.13) med \(a_0=1\), \(a_1=2\) og \(q(t)=\mathrm{cos}(t)\), så fås det samme differentialligningssystem som i svaret til spørgsmål a.

Opgave 6: Endnu en inhomogen andenordens differentialligning#

Givet den inhomogene differentialligning

\[f''(t)+3f'(t)-4f(t)=e^{t}.\]

Spørgsmål a#

Inspireret af Opgave 4, kunne man håbe at der findes et reelt tal \(a\) således at \(f(t)=a\cdot e^t\) er en partikulær løsning til den givne differentialligning. Vis at der faktisk ikke findes nogen funktion på formen \(f(t)=a\cdot e^t\), som er en løsning. Hvad er problemet?

Svar

Indsættes en funktion på formen \(f(t)=a \cdot e^{t}\) i differentialligningen, så fås \(0=e^t\), som aldrig er opfyldt. Problemet er at funktioner på formen \(f(t)=a \cdot e^{t}\) allerede er løsning til den tilhørende homogene differentialligning \(f''(t)+3f'(t)-4f(t)=0.\)

Spørgsmål b#

Prøv nu at finde en partikulær løsning på formen \(f(t)=a \cdot t\cdot e^{t}\). Tjek eventuelt først at \((t\cdot e^{t})'=e^t+t\cdot e^{t}\) og \((t\cdot e^{t})''=2e^t+t\cdot e^{t}\).

Svar

Indsættes funktionen \(f(t)=a\cdot t\cdot e^{t}\) i differentialligningen, så fås efter nogle mellemregninger at \(2a e^t+3ae^t=e^t\). Denne ligning er opfyldt præcist hvis \(a=1/5\). Derfor er funktionen \(f(t)=(1/5)te^t\) en partikulær løsning til den givne differentialligning.

Spørgsmål c#

Beskriv nu den fuldstændige løsning til den givne inhomogene differentialligning. Bemærk at den tilhørende homogene differentialligning allerede blev undersøgt i Opgave 2.

Hint

Den fuldstændige løsning til den tilhørende homogene differentialligning \(f''(t)+3f'(t)-4f(t)=0\) blev fundet i Opgave 2 til at være \(f(t)=c_1 \cdot e^{t}+c_2 \cdot e^{-4t}, \quad c_1,c_2 \in \mathbb{R}.\)

Svar

Den ønskede fuldstændige løsning er summen af en partikulær løsning og den fuldstændige løsning til den tilhørende homogene differentialligning. Derfor er svaret:

\[f(t)=(1/5)te^{t}+c_1 \cdot e^{t}+c_2 \cdot e^{-4t}, \quad c_1,c_2 \in \mathbb{R}.\]

Opgave 7: Fra løsning til differentialligning#

Det oplyses at den fuldstændige reelle løsning til en homogen lineær andenordens differentialligning med konstante reelle koefficienter er

\[f(t)=c_1e^{−t}\mathrm{cos}(2t)+c_2e^{−t}\mathrm{sin}(2t), \quad c_1,c_2 \in \mathbb{R}.\]

Opskriv differentialligningen.

Hint

Fordi \(0\) er en løsning (sæt \(c_1=0\) og \(c_2=0\) i den fuldstændige løsning), er differentialligningen man leder efter en homogen differentialligning. Differentialligningen kan derfor skrives på formen \(f''(t)+a_1 f'(t)+a_0 f(t)=0\) for visse reelle tal \(a_0,a_1\).

Hint

Hvilke rødder skal det karakteristiske polynomium \(Z^2+a_1Z+a_0\) have?

Svar

Fra den givne fuldstændige løsning ses at det karakteristiske polynomium \(Z^2+a_1Z+a_0\) har rødder \(-1+2i\) og \(-1-2i\). Derfor gælder \(Z^2+a_1Z+a_0=(Z-(-1+2i))\cdot (Z-(-1-2i))\). Ganger man ind i parentes så fås at \(Z^2+a_1Z+a_0=Z^2+2Z+5.\) Derfor \(a_1=2\) og \(a_0=5\). Den ønskede differentialligning er: \(f''(t)+2f'(t)+5f(t)=0.\)

Opgave 8: Fra løsning til differentialligning, del 2#

Det oplyses at den fuldstændige reelle løsning til en inhomogen lineær andenordens differentialligning er

\[f(t)=c_1e^{−t}\mathrm{cos}(2t)+c_2e^{−t}\mathrm{sin}(2t)+7+3t+5e^t, \quad c_1,c_2 \in \mathbb{R}.\]

Opskriv differentialligningen.

Hint

Hvad er den fuldstændige løsning til den tilhørende homogene differentialligning? Kan den tilhørende homogene differentialligning bestemmes ved hjælp af svaret til Opgave 7?

Hint

Den tilhørende homogene differentialligning er ifølge Opgave 7 givet som \(f''(t)+2f'(t)+5f(t)=0.\) Den inhomogene differentialligning der er efterspurgt i denne opgave kan derfor skrives på formen \(f''(t)+2f'(t)+5f(t)=q(t).\)

Hint

Funktionen \(f(t)=7+3t+5e^t\) er en partikulær løsning til den ønskede differentialligning. Hvad får man hvis man indsætter denne funktion i sidstnævnte differentialligningen fra forrige hint?

Svar

Den ønskede differentialligning er \(f''(t)+2f'(t)+5f(t)=41+15t+40e^t.\)

Opgave 9: Begyndelsesbetingelser#

Givet den homogene reelle differentialligning

\[f''(t)+3f'(t)-4f(t)=0.\]

Bemærk at differentialligningen er den samme som i Opgave 1. Målet med opgaven er at finde løsningen til differentialligningen som opfylder begyndelsesbetingelserne \(f(0)=1\) og \(f'(0)=2\).

Spørgsmål a#

I Opgave 1 var resultatet at den givne differentialligning har den fuldstændige løsning

\[f(t)=c_1 \cdot e^t+c_2 \cdot e^{−4t}, \quad c_1,c_2 \in \mathbb{R}.\]

Hvilken ligning skal \(c_1\) og \(c_2\) opfylde for at det gælder at \(f(0)=1\)?

Svar

Fra Opgave 1 vides at

\[f(t)=c_1 \cdot e^t+c_2 \cdot e^{−4t}, \quad c_1,c_2 \in \mathbb{R}.\]

Indsættes \(t=0\) og bruges begyndelsesbetingelsen \(f(0)=1\), så fås at \(1=c_1+c_2.\)

Spørgsmål b#

Hvilken ligning skal \(c_1\) og \(c_2\) opfylde for at det gælder at \(f'(0)=2\)?

Hint

Ligesom i spørgsmål a, vides fra Opgave 1 at

\[f(t)=c_1 \cdot e^t+c_2 \cdot e^{−4t}, \quad c_1,c_2 \in \mathbb{R}.\]

Tag nu den afledte på begge sider af lighedstegnet og indsæt bagefter \(t=0\).

Hint

Udfra den fuldstændige løsning

\[f(t)=c_1 \cdot e^t+c_2 \cdot e^{−4t}, \quad c_1,c_2 \in \mathbb{R}\]

fås ved differentiation på begge sider af lighedstegnet at:

\[f'(t)=c_1 \cdot e^t-4c_2 \cdot e^{−4t}, \quad c_1,c_2 \in \mathbb{R}.\]

Brug nu sidste del af forrige hint.

Svar

\(2=c_1-4c_2\)

Spørgsmål c#

Find nu den løsning \(f(t)\) til differentialligningen som opfylder \(f(0)=1\) og \(f'(0)=2\).

Hint

Bestem \(c_1\) og \(c_2\) ved at løse de to ligninger man fandt i spørgsmål a og b.

Svar

Løses de to ligninger \(1=c_1+c_2\) og \(2=c_1-4c_2\), så fås \(c_1=6/5\) og \(c_2=-1/5\). Den ønskede løsning er derfor:

\[f(t)=(6/5) \cdot e^t-(1/5) \cdot e^{−4t}.\]