Opgaver – Store Dag#


Opgave 1: Homogen eller inhomogen?#

Er følgende differentialligninger og systemer af differentialligninger homogene eller inhomogene?

  1. f(t)=f(t)2f(t).

  2. f(t)tf(t)e3t=0.

  3. [f1(t)f2(t)]=[4627][f1(t)f2(t)]+[11].

  4. {f1(t)=f2(t)f2(t)=f1(t)f2(t)


Opgave 2: En homogen andenordens differentialligning#

Givet den homogene reelle differentialligning

f(t)+3f(t)4f(t)=0.

Find dens fuldstændige løsning.


Opgave 3: Flere homogene andenordens differentialligninger#

Givet følgende homogene reelle differentialligninger. Find deres fuldstændige løsning.

  1. f(t)6f(t)+9f(t)=0.
  2. f(t)+2f(t)+5f(t)=0.

Opgave 4: En inhomogen andenordens differentialligning#

Givet den inhomogene differentialligning

f(t)6f(t)+9f(t)=e2t.

Spørgsmål a#

Bestem et reelt tal a således at funktionen f(t)=ae2t er en partikulær løsning til den givne differentialligning.

Spørgsmål b#

Beskriv nu den fuldstændige løsning til den givne inhomogene differentialligning. Bemærk at den tilhørende homogene differentialligning allerede blev undersøgt i Opgave 3.


Opgave 5: Omskrivning af en højere ordens differentialligning til et system#

En lineær andenordens differentialligning med konstante koefficienter kan omskrives til et system af førsteordens differentialligninger (se Afsnit 12.3 fra lærebogen). I denne opgave betragtes et eksempel.

Spørgsmål a#

Givet differentialligningen f(t)+2f(t)+f(t)=cos(t). Omskriv denne differentialligning til et system af to førsteordensdifferentialligninger i funktionerne f1(t) og f2(t), hvor f1(t)=f(t) og f2(t)=f(t).

Spørgsmål b#

Tjek at ligning (12.13) ville have givet det samme system.


Opgave 6: Endnu en inhomogen andenordens differentialligning#

Givet den inhomogene differentialligning

f(t)+3f(t)4f(t)=et.

Spørgsmål a#

Inspireret af Opgave 4, kunne man håbe at der findes et reelt tal a således at f(t)=aet er en partikulær løsning til den givne differentialligning. Vis at der faktisk ikke findes nogen funktion på formen f(t)=aet, som er en løsning. Hvad er problemet?

Spørgsmål b#

Prøv nu at finde en partikulær løsning på formen f(t)=atet. Tjek eventuelt først at (tet)=et+tet og (tet)=2et+tet.

Spørgsmål c#

Beskriv nu den fuldstændige løsning til den givne inhomogene differentialligning. Bemærk at den tilhørende homogene differentialligning allerede blev undersøgt i Opgave 2.


Opgave 7: Fra løsning til differentialligning#

Det oplyses at den fuldstændige reelle løsning til en homogen lineær andenordens differentialligning med konstante reelle koefficienter er

f(t)=c1etcos(2t)+c2etsin(2t),c1,c2R.

Opskriv differentialligningen.


Opgave 8: Fra løsning til differentialligning, del 2#

Det oplyses at den fuldstændige reelle løsning til en inhomogen lineær andenordens differentialligning er

f(t)=c1etcos(2t)+c2etsin(2t)+7+3t+5et,c1,c2R.

Opskriv differentialligningen.


Opgave 9: Begyndelsesbetingelser#

Givet den homogene reelle differentialligning

f(t)+3f(t)4f(t)=0.

Bemærk at differentialligningen er den samme som i Opgave 1. Målet med opgaven er at finde løsningen til differentialligningen som opfylder begyndelsesbetingelserne f(0)=1 og f(0)=2.

Spørgsmål a#

I Opgave 1 var resultatet at den givne differentialligning har den fuldstændige løsning

f(t)=c1et+c2e4t,c1,c2R.

Hvilken ligning skal c1 og c2 opfylde for at det gælder at f(0)=1?

Spørgsmål b#

Hvilken ligning skal c1 og c2 opfylde for at det gælder at f(0)=2?

Spørgsmål c#

Find nu den løsning f(t) til differentialligningen som opfylder f(0)=1 og f(0)=2.