Opgaver – Store Dag#
Opgave 1: Egenværdier og egenvektorer#
Givet matricen
Afgør om følgende vektorer er egenvektorer for matricen \(\mathbf A\). Hvis ja, bestem den tilhørende egenværdi.
\(\left[\begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array}\right]\)
\(\left[\begin{array}{c} 1 \\ 1\end{array}\right]\)
Hint
Man kan finde definitionen af en egenvektor i Definition 12.1.1.
Hint
Undersøg for de givne to vektorer \(\mathbf v\) om \({\mathbf A}\cdot {\mathbf v}\) kan skrives som et skalarmultiplum af \({\mathbf v}\).
Svar
Vektoren \(\left[\begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array}\right]\) er ikke en egenvektor for \({\mathbf A}\).
Vektoren \(\left[\begin{array}{c} 1 \\ 1\end{array}\right]\) er en egenvektor for \({\mathbf A}\). Den tilhørende egenværdi er \(5\).
Opgave 2: Reelle egenværdier og egenvektorer#
Som i den forrige opgave betragtes matricen
Spørgsmål a#
Opstil det karakteriske polynomium for \(\mathbf A\,\), og find ved hjælp af dette egenværdierne for \(\mathbf A\,\). Bestem også deres algebraiske multipliciteter.
Hint
Det karakteriske polynomium af en \(n \times n\) matrix er defineret som \(\mathrm{det}({\mathbf A}-Z\cdot {\mathbf I}_n)\). Du kan også finde det i lærebogen straks efter Sætningen 12.1.1.
Svar
Det karakteristiske polynomium er \(Z^2+Z-30\). Egenværdierne er rødderne i dette polynomium: \(5\,\) og \(-6\) og man har \(Z^2+Z-30=(Z-5)\cdot(Z+6)\). Derfor har begge egenværdier algebraisk multiplicitet \(1\).
Spørgsmål b#
Find egenrummet \(E_{-6}\) hørende til egenværdien \(-6\). Hvad er den geometriske multiplicitet af egenværdien \(-6\)?
Hint
Er \(\lambda\) en egenværdi for an matrix \(\mathbf A\), så er ifølge Lemma 12.2.3 fra lærebogen egenrummet \(E_\lambda\) lig med \(\mathrm{ker}({\mathbf A}-\lambda\cdot {\mathbf I}_n)\).
Hint
For at finde \(E_{-6}\) kan man bruge en lignende fremgangsmåde som i Eksempel 12.2.1 fra lærebogen. Bemærk at den geometriske multiplicitet af en egenværdi er defineret i Definition 12.2.1.
Svar
Matricen
har reduceret trappeform
Derfor gælder
Dette viser at vektoren \(\left[\begin{array}{c} -10 \\ 1\end{array}\right]\) danner en basis for \(E_{-6}\). Især kan man konkludere at \(\mathrm{dim}(E_{-6})=1\), som er det samme som at sige at egenværdien \(-6\) har geometrisk multiplicitet \(1\).
Spørgsmål c#
Egenrummet hørende til egenværdien \(5\) angives med \(E_{5}\). Brug svaret fra spørgsmål a og Sætning 12.2.4 til at bestemme \(\mathrm{dim}(E_5)\). Brug nu resultaterne fra Opgave 1 til at angive en basis for \(E_{5}\).
Hint
Fra spørgsmål a vides at \(\mathrm{am}(5)=1\). Sætning 12.2.4 fra lærebogen medfører derfor at \(\mathrm{gm}(5)=1\).
Svar
Ifølge Definition 12.2.1 gælder derfor at \(\mathrm{dim}(E_5)=\mathrm{gm}(5)\). Derfor har \(E_5\) dimension \(1\). En basis for \(E_5\) indeholder derfor kun én vektor. Det ses nu at egenvektoren \(\left[\begin{array}{c} 1 \\ 1\end{array}\right] \in E_5\) fundet i Opgave 1, danner en basis for \(E_{5}\).
Opgave 3: Egenværdier og egenvektorer i et uendeligdimensionelt tilfælde#
Lad \(C_\infty(\mathbb{R})\) være det uendeligdimensionelle, reelle vektorrum nævnt i Eksempel 10.4.5 fra lærebogen. Den består af funktioner fra \(\mathbb{R}\) til \(\mathbb{R}\) som kan differentieres vilkårligt mange gange. Der gives følgende lineære afbildning \(L: C_\infty(\mathbb{R}) \to C_\infty(\mathbb{R})\) defineret ved \(L(f)=f''\). Med andre ord: \(L\) afbilder en funktion \(f \in C_\infty(\mathbb{R})\) til dens andenafledte funktion.
Spørgsmål a#
Afgør om følgende funktioner er egenvektorer for \(L\). Hvis ja, bestem den tilhørende egenværdi.
\(f_1(t)=t^2\)
\(f_2(t)=\cos(t)\)
\(f_3(t)=\sin(t)\)
\(f_4(t)=e^{4 t}\)
\(f_5(t)=te^t\)
Hint
Undersøg for de givne funktioner \(f\) om \(L(f)\) kan skrives som et skalarmultiplum af \(f\). Det er nemlig det der skal til for at være en egenvektor, se eventuelt Definition 12.1.1.
Svar
Funktionen \(f_1(t)=t^2\) er ikke en egenvektor for \(L\).
Bemærk at \(\cos(t)''=(-\sin(t))'=-\cos(t)\). Funktionen \(f_2(t)=\cos(t)\) er derfor en egenvektor for \(L\). Den tilhørende egenværdi er \(-1\).
Funktionen \(f_3(t)=\sin(t)\) er en egenvektor for \(L\). Den tilhørende egenværdi er \(-1\).
Funktionen \(f_4(t)=e^{4t}\) er en egenvektor for \(L\). Den tilhørende egenværdi er \(16\).
Bemærk at \((te^t)''=(e^t+te^t)'=2e^t+te^t\). Funktionen \(f_5(t)=te^t\) er derfor ikke en egenvektor for \(L\).
Opgave 4: Komplekse egenværdier og egenvektorer#
Givet matricen
Spørgsmål a#
Opstil det karakteriske polynomium for \(\mathbf A\,\), og find ved hjælp af dette egenværdierne for \(\mathbf A\,\).
Hint
Det karakteriske polynomium af en \(n \times n\) matrix er defineret som \(\mathrm{det}({\mathbf A}-Z\cdot {\mathbf I}_n)\). Du kan også finde det i lærebogen lige efter Sætning 12.1.1.
Svar
Det karakteristiske polynomium er \(Z^2-6Z+10\). Egenværdierne er \(\,3+i\,\) og \(\,3-i\,.\)
Spørgsmål b#
Find egenrummet \(E_{3+i}\) hørende til egenværdien \(3+i\).
Hint
Beregen først den reducerede trappematrix af matricen
Svar
\(E_{3+i}=\mathrm{span}\left( \left[\begin{array}{cc} 1-i\\ 1\end{array}\right]\right)\,.\)
Spørgsmål c#
Angiv uden videre beregninger det egenrum der hører til den anden egenværdi.
Svar
Fordi matricen har reelle koefficienter, fås den ene egenvektor/egenrum fra den anden ved at tage den kompleks konjugerede. Man har derfor \(E_{3-i}=\mathrm{span}\left( \left[\begin{array}{cc} 1+i\\ 1\end{array}\right]\right)\,.\)
Opgave 5: Et pænt basisskift#
Der betragtes den samme matrix
som i Opgave 4. Lad \(\epsilon\) være den ordnede standardbasis for \(\mathbb{C}^2\). Der defineres en anden ordnet basis for \(\mathbb{C}^2\) som følger:
Spørgsmål a#
Beregn basisskiftsmatricen \({}_\epsilon[\mathrm{id}_{\mathbb{C}^2}]_\beta\). Beregn bagefter basisskiftsmatricen \({}_\beta[\mathrm{id}_{\mathbb{C}^2}]_\epsilon\).
Hint
Til den anden del af spørgsmålet kan den tredje del af Lemma 11.3.6 fra lærebogen være nyttigt.
Spørgsmål b#
Beregn matricen \({}_\beta [\mathrm{id}_{\mathbb{C}^2}]_\epsilon \cdot {\mathbf A} \cdot {}_\epsilon [\mathrm{id}_{\mathbb{C}^2}]_\beta\). Resultatet skulle være en diagonalmatrix. Hvordan kunne man have vist det uden beregninger ved at bruge svarene til Opgave 4?
Hint
Læg mærke til at vektorerne i den ordnede basis \(\beta\) er egenvektorerne for matricen \(\mathbf A\). Se eventuelt svarene i Opgave 4.
Hint
Den første søjle i matricen \({}_\beta [\mathrm{id}_{\mathbb{C}^2}]_\epsilon \cdot {\mathbf A} \cdot {}_\epsilon [\mathrm{id}_{\mathbb{C}^2}]_\beta\) er lig med \({}_\beta [\mathrm{id}_{\mathbb{C}^2}]_\epsilon \cdot {\mathbf A} \cdot {}_\epsilon [\mathrm{id}_{\mathbb{C}^2}]_\beta \cdot \left[\begin{array}{cc} 1\\ 0\end{array}\right]\). Bemærk nu at søjlevektoren \({}_\epsilon [\mathrm{id}_{\mathbb{C}^2}]_\beta \cdot \left[\begin{array}{cc} 1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1-i\\ 1\end{array}\right]\) er en egenvektorer for matricen \(\mathbf A\) med egenværdi \(3+i\). Kan det bruges til at bestemme \({}_\beta [\mathrm{id}_{\mathbb{C}^2}]_\epsilon \cdot {\mathbf A} \cdot {}_\epsilon [\mathrm{id}_{\mathbb{C}^2}]_\beta \cdot \left[\begin{array}{cc} 1\\ 0\end{array}\right]\) uden beregninger?
Opgave 6: Egenværdier og egenvektorer for en reel \(3 \times 3\) matrix.#
En lineær afbildning \(f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\,\) mellem reelle vektorrum har med hensyn til den ordnede standardbasis for \(\mathbb{R}^3\,\) følgende afbildningsmatrix:
Spørgsmål a#
Bestem det karakteristiske polynomium og find egenværdierne for \(f\,\). Angiv egenværdiernes algebraiske multiplicitet.
Hint
Det karakteriske polynomium af en lineær afbildning kan beregnes ved at bruge Definition 12.1.3 fra lærebogen. Det kan hjælpe at vælge en bekvemt række til udvikling af determinanten nævnt i denne definition og ikke at gange alt helt ud.
Svar
Udvikles \(\mathrm{det}({\mathbf A}-Z {\mathbf I}_3)\) efter den tredje række, fås det ønskede karakteristiske polynomium på formen:
Egenværdierne er \(2\), med \(\mathrm{gm}(2) = \mathrm{am}(2) = 1\) og \(3\), med \(\mathrm{gm}(3) = \mathrm{am}(3) = 2\).
Spørgsmål b#
Bestem egenrummene som hører til hver af \(f\)’s egenværdier og angiv egenværdiernes geometriske multiplicitet. Er egenværdiernes algebraiske og geometriske multipliciteter det samme?
Hint
Den geometriske multiplicitet er dimensionen af det egenrum hørende til \(\lambda\) (dvs. underrummet, der udspændes af \(f\)’s egenvektorer med egenværdi \(\,\lambda\)).
Hint
For at beregne de geometriske multipliciteter skal egenrummene bestemmes. Lemma 12.2.3 beskriver hvordan egenrummene for en matrix ser ud.
Svar
En mulig ordnet basis for egenrummet \(E_2=\mathrm{ker}({\mathbf A}-2{\mathbf I}_3)\,\) er
Derfor gælder \(\mathrm{gm}(2) = 1\) som er det samme som egenværdiens algebraiske multiplicitet.
En mulig ordnet basis for egenrummet \(E_3=\mathrm{ker}({\mathbf A}-3{\mathbf I}_3)\,\) er
Derfor gælder \(\mathrm{gm}(3) = 2\) som igen er det samme som egenværdiens algebraiske multiplicitet.
Opgave 7: Egenværdier og deres multipliciteter for en anden reel \(3 \times 3\) matrix.#
Vi betragter nu matricen
Det oplyses at det karakteristiske polynomium for matricen \({\mathbf B}\) er \((1-Z)\cdot (Z+1) \cdot (Z-1)\).
Spørgsmål a#
Find egenværdierne for \(\mathbf B\) og angiv deres algebraiske multipliciteter.
Svar
Egenværdierne er \(1\), med \(\mathrm{am}(1)=2\) og \(-1\), med \(\mathrm{am}(-1) = 1\).
Spørgsmål b#
Angiv egenværdiernes geometriske multipliciteter. Er egenværdiernes algebraiske og geometriske multipliciteter det samme?
Hint
Overvej først hvorfor Sætning 12.2.4 medfører følgende: hvis en egenværdi har algebraisk multiplicitet \(1\), så er dens geometriske multiplicitet også \(1\).
Svar
Som forklaret i hinten, medfører \(\mathrm{am}(\lambda)=1\) at \(\mathrm{gm}(\lambda)=1\). Derfor fås uden yderligere beregninger at \(\mathrm{gm}(-1) = \mathrm{am}(-1) = 1\).
Det samme trick kan ikke bruges for egenværdien \(1\), fordi \(\mathrm{am}(1)=2\). Beregnes egenrummet \(E_{1}\,\) så fås at den er udspændt af vektoren
Derfor gælder \(\mathrm{gm}(1) = 1\), som er strengt mindre end egenværdiens algebraiske multiplicitet (som var \(2\)).
Opgave 8: Det karakteristiske polynomium for en \(2 \times 2\) matrix#
Lad \(\mathbb{F}\) være et legeme og \(a,b,c,d\) elementer i \(\mathbb{F}\). Der betragtes matricen
Spørgsmål a#
Vis at matricen \(\mathbf A\) har karakteristisk polynomium \(Z^2-(a+d)Z+\mathrm{det}({\mathbf A})\). Bemærkning: udtrykket \(a+d\) kalder man for matricens spor (på engelsk “trace”) og betegnes ved \(\mathrm{tr}({\mathbf A})\).
Spørgsmål b#
Antag at matricen \({\mathbf A}\) har egenværdier \(\lambda_1\) og \(\lambda_2\). Brug det forrige spørgsmål til at indse at \(\lambda_1+\lambda_2=\mathrm{tr}({\mathbf A})\) og \(\lambda_1 \cdot \lambda_2=\mathrm{det}({\mathbf A})\).
Hint
Hvis en \(2 \times 2\) matrix \({\mathbf A}\) har egenværdier \(\lambda_1\) og \(\lambda_2\), så gælder at matricens karakteristiske polynomium er \((Z-\lambda_1)\cdot (Z-\lambda_2).\)
Svar
På den ene side er \(p_{\mathbf A}(Z)=Z^2-\mathrm{tr}({\mathbf A})Z+\mathrm{det}({\mathbf A})\), på den anden side gælder \(p_{\mathbf A}(Z)=(Z-\lambda_1)\cdot (Z-\lambda_2)=Z^2-(\lambda_1+\lambda_2)Z+\lambda_1\cdot \lambda_2\). Sammenlignes koefficienterne, så fås det ønskede.
Opgave 9: Lineær uafhængighed af to egenvektorer#
Der gives en matrix \({\mathbf A} \in \mathbb{C}^{2 \times 2}\) og to af dens egenvektorer \({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2 \in \mathbb{C}^2\). Antag at de tilhørende egenværdier \(\lambda_1,\lambda_2\) er forskellige. Vis at \({\mathbf v}_1\) og \({\mathbf v}_2\) er lineært uafhængige.
Hint
Hvis \({\mathbf v}_1\) og \({\mathbf v}_2\) er lineært afhængige, så findes to komplekse tal \(c_1\) og \(c_2\), ikke begge to lige med nul, således at
Hint
Fra forrige hint følger at hvis to vektorer er lineært afhængige, så er en af dem et skalarmultiplum af den anden. Kan det lade sig gøre hvis de to vektorer er egenvektorer for den samme matrix \({\mathbf A}\) men med forskellige egenværdier?