Opgaver – Store Dag#
Opgave 1: Egenværdier og egenvektorer#
Givet matricen
Afgør om følgende vektorer er egenvektorer for matricen \(\mathbf A\). Hvis ja, bestem den tilhørende egenværdi.
\(\left[\begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array}\right]\)
\(\left[\begin{array}{c} 1 \\ 1\end{array}\right]\)
Hint
Man kan finde definitionen af en egenvektor i Definition 11.1.1.
Hint
Undersøg for de givne to vektorer \(\mathbf v\) om \({\mathbf A}\cdot {\mathbf v}\) kan skrives som et skalarmultiplum af \({\mathbf v}\).
Svar
Vektoren \(\left[\begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array}\right]\) er ikke en egenvektor for \({\mathbf A}\).
Vektoren \(\left[\begin{array}{c} 1 \\ 1\end{array}\right]\) er en egenvektor for \({\mathbf A}\). Den tilhørende egenværdi er \(5\).
Opgave 2: Reelle egenværdier og egenvektorer#
Denne opgave regnes i hånden. Som i den forrige opgave betragtes matricen
Spørgsmål a#
Opstil det karakteriske polynomium for \(\mathbf A\,\), og find ved hjælp af dette egenværdierne for \(\mathbf A\,\). Bestem også deres algebraiske multipliciteter.
Hint
Det karakteriske polynomium af en \(n \times n\) matrix er defineret som \(\mathrm{det}({\mathbf A}-Z\cdot {\mathbf I}_n)\). Du kan også finde det i lærebogen straks efter Theorem 11.1.1.
Svar
Det karakteristiske polynomium er \(Z^2+Z-30\). Egenværdierne er rødderne i dette polynomium: \(5\,\) og \(-6\) og man har \(Z^2+Z-30=(Z-5)\cdot(Z+6)\). Derfor har begge egenværdier algebraisk multiplicitet \(1\).
Spørgsmål b#
Find egenrummet \(E_{-6}\) hørende til egenværdien \(-6\). Hvad er den geometriske multiplicitet af egenværdien \(-6\)?
Hint
Generelt, hvis \(\lambda\) er en egenværdi for en \(n \times n\) matrix \(\mathbf A\), så er \(E_\lambda\) lig med \(\mathrm{ker}({\mathbf A}-Z\cdot {\mathbf I}_n)\) ifølge Lemma 11.2.3 fra lærebogen.
Hint
For at finde \(E_{-6}\) kan man bruge en lignende fremgangsmåde som i Example 11.2.1 fra lærebogen. Bemærk at den geometriske multiplicitet af en egenværdi er defineret i Definition 11.2.1.
Svar
Matricen
har reduceret trappeform
Derfor gælder
Dette viser at vektoren \(\left[\begin{array}{c} -10 \\ 1\end{array}\right]\) danner en basis for \(E_{-6}\). Især kan man konkludere at \(\mathrm{dim}(E_{-6})=1\), som er det samme som at sige at \(-6\) har geometrisk multiplicitet \(1\).
Spørgsmål c#
Egenrummet hørende til egenværdien \(5\) angives med \(E_{5}\). Prøv at bestemme \(\mathrm{dim}(E_5)\) ved at bruge Theorem 11.2.4. Brug resultaterne fra Opgave 1 til at angive en basis for \(E_{5}\).
Hint
Sætning 11.2.4 fra lærebogen medfører at \(\mathrm{dim}(E_5)=1\). En basis for \(E_5\) indeholder derfor kun en vektor.
Svar
Vektoren \(\left[\begin{array}{c} 1 \\ 1\end{array}\right]\) danner en basis for \(E_{5}\).
Opgave 3: Egenværdier og egenvektorer i et uendeligdimensionelt tilfælde#
Lad \(C_\infty(\mathbb{R})\) være det uendeligdimensionelle, reelle vektorrum nævnt i Example 9.3.4 fra lærebogen. Den består af funktioner fra \(\mathbb{R}\) til \(\mathbb{R}\) som kan differentieres vilkårligt mange gange. Der gives følgende lineære afbildning \(L: C_\infty(\mathbb{R}) \to C_\infty(\mathbb{R})\) defineret ved \(L(f)=f''\). Med andre ord: \(L\) afbilder en funktion \(f \in C_\infty(\mathbb{R})\) til dens andenafledte funktion.
Spørgsmål a#
Afgør om følgende funktioner er egenvektorer for \(L\). Hvis ja, bestem den tilhørende egenværdi.
\(f_1(t)=t^2\)
\(f_2(t)=\cos(t)\)
\(f_3(t)=\sin(t)\)
\(f_4(t)=e^{4 t}\)
\(f_5(t)=te^t\)
Hint
Undersøg for de givne funktioner \(f\) om \(L(f)\) kan skrives som et skalarmultiplum af \(f\).
Svar
Funktionen \(f_1(t)=t^2\) er ikke en egenvektor for \(L\).
Funktionen \(f_2(t)=\cos(t)\) er en egenvektor for \(L\). Den tilhørende egenværdi er \(-1\).
Funktionen \(f_3(t)=\sin(t)\) er en egenvektor for \(L\). Den tilhørende egenværdi er \(-1\).
Funktionen \(f_4(t)=e^{4t}\) er en egenvektor for \(L\). Den tilhørende egenværdi er \(16\).
Funktionen \(f_5(t)=te^t\) er ikke en egenvektor for \(L\).
Opgave 4: Komplekse egenværdier og egenvektorer#
Givet matricen
Spørgsmål a#
Opstil det karakteriske polynomium for \(\mathbf A\,\), og find ved hjælp af dette egenværdierne for \(\mathbf A\,\).
Hint
Det karakteriske polynomium af en \(n \times n\) matrix er defineret som \(\mathrm{det}({\mathbf A}-Z\cdot {\mathbf I}_n)\). Du kan også finde det i lærebogen lige efter Theorem 11.1.1.
Svar
Det karakteristiske polynomium er \(Z^2-6Z+10\). Egenværdierne er \(\,3+i\,\) og \(\,3-i\,.\)
Spørgsmål b#
Find egenrummet \(E_{3+i}\) hørende til egenværdien \(3+i\). Brug gerne SymPy til at løse det lineære ligningssystem eller til at finde den reducerede trappematrix.
Svar
\(E_{3+i}=\mathrm{Span}\left( \left[\begin{array}{cc} 1-i\\ 1\end{array}\right]\right)\,.\)
Spørgsmål c#
Angiv uden videre beregninger det egenrum der hører til den anden egenværdi.
Svar
Fordi matricen har reelle koefficienter, fås den ene egenvektor/egenrum fra den anden ved at tage den kompleks konjugerede. Man har derfor \(E_{3-i}=\mathrm{Span}\left( \left[\begin{array}{cc} 1+i\\ 1\end{array}\right]\right)\,.\)
Spørgsmål d#
Tjek svaret med SymPy-kommandoen eigenvects() .
Hint
Hvis A er den givne \(2 \times 2\) matrix, så giver kommandoen A.eigenvects() en liste af to sæt som output. Hver sæt indholder følgende data: først en egenværdi, så dens algebraiske multiplicitet og til sidst en ordnet basis for egenrummet.
Opgave 5: Et pænt basisskift#
Der betragtes den samme matrix
som i Opgave 4. Lad \(\beta\) være den ordnede standardbasis for \(\mathbb{C}^2\). Der defineres en anden ordnet basis for \(\mathbb{C}^2\) som følger:
Spørgsmål a#
Beregn basisskiftsmatricen \({}_\beta[\mathrm{id}_{\mathbb{C}^2}]_\gamma\). Brug nu SymPy til at beregne basisskiftsmatricen \({}_\gamma[\mathrm{id}_{\mathbb{C}^2}]_\beta\).
Hint
Følgende ligning kan være nyttigt: \({}_\gamma [\mathrm{id}_{\mathbb{C}^2}]_\beta = ({}_\beta[\mathrm{id}_{\mathbb{C}^2}]_\gamma)^{-1}.\)
Spørgsmål b#
Beregn (eventuelt ved hjælp af SymPy) matricen \({}_\gamma [\mathrm{id}_{\mathbb{C}^2}]_\beta \cdot {\mathbf B} \cdot {}_\beta [\mathrm{id}_{\mathbb{C}^2}]_\gamma\). Resultatet skulle være en diagonalmatrix. Hvorfor egentligt det?
Hint
Søjlerne i \({}_\beta [\mathrm{id}_{\mathbb{C}^2}]_\gamma\) er egenvektorer for matricen \(\mathbf B\).
Opgave 6: Egenværdier og egenvektorer for en reel \(3 \times 3\) matrix.#
En lineær afbildning \(f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\,\) mellem reelle vektorrum har med hensyn til den ordnede standardbasis for \(\mathbb{R}^3\,\) følgende afbildningsmatrix:
Bestem det karakteristiske polynomium og find egenværdierne for \(f\,\). Angiv egenværdiernes algebraiske multiplicitet. Bestem egenrummene som hører til hver af egenværdierne og angiv egenværdiernes geometriske multiplicitet.
Hint
Det karakteriske polynomium af en lineær afbildning kan beregnes ved at bruge Definition 11.1.3 fra lærebogen. Egenværdiernes algebraiske og geometriske multiplicitet er beskrevet i Definition 11.2.1.
Hint
Den algebraiske multiplicitet af egenværdien \(\,\lambda\,\) er multipliciteten roden \(\lambda\) har i det karakteristiske polynomium, mens den geometriske multiplicitet er dimensionen af det egenrum hørende til \(\lambda\) (dvs. underrummet, der udspændes af \(f\)’s egenvektorer med egenværdi \(\,\lambda\)).
Hint
Prøv at følge den samme fremgangsmåde som i Eksempel 11.2.3 fra lærebogen.
Svar
Egenværdierne er \(2\), med \(\mathrm{gm}(2) = \mathrm{am}(2) = 1\) og \(3\), med \(\mathrm{gm}(3) = \mathrm{am}(3) = 2\). En mulig ordnet basis for egenrummet \(E_2\,\) er
En mulig ordnet basis for egenrummet \(E_3\,\) er
Opgave 7: Egenværdier og egenvektorer for en anden reel \(3 \times 3\) matrix.#
Vi betragter nu matricen
Find egenværdierne for \(\mathbf B\) og angiv deres algebraiske multipliciteter. Bestem de reelle egenrum som hører til hver af egenværdierne, og angiv egenværdiernes geometriske multipliciteter. Beregn gerne determinanter og reducerede trappeformer vha. SymPy.
Hint
Hvis man skriver Z=symbol('Z') i SymPy, så kan man bagefter bruger Z som en variabel. På denne måde kan det karakteristiske polynomium af matricen \({\mathbf B}\) beregnes: tast matricen \({\mathbf B}-Z\cdot {\mathbf I}_3\) ind i SymPy og beregn dens determinant bagefter. Determinanten af en matrix A kan beregnes i SymPy som A.det().
Svar
Egenværdierne er \(1\), med \(\mathrm{gm}(1) = 1 < 2 = \mathrm{am}(1)\) og \(-1\), med \(\mathrm{gm}(-1) = \mathrm{am}(-1) = 1\). En mulig ordnet basis for \(E_{-1}\,\) er
En mulig ordnet basis for \(E_1\,\) er
Opgave 8: Det karakteristiske polynomium af en \(2 \times 2\) matrix#
Lad \(\mathbb{F}\) være et legeme og \(a,b,c,d\) elementer i \(\mathbb{F}\). Der betragtes matricen
Spørgsmål a#
Vis at matricen \(\mathbf A\) har karakteristisk polynomium \(Z^2-(a+d)Z+\mathrm{det}({\mathbf A})\). Bemærkning: udtrykket \(a+d\) kalder man for matricens spor (på engelsk “trace”) og betegnes ved \(\mathrm{tr}({\mathbf A})\).
Spørgsmål b#
Antag at matricen \({\mathbf A}\) har egenværdier \(\lambda_1\) og \(\lambda_2\). Brug det forrige spørgsmål til at indse at \(\lambda_1+\lambda_2=\mathrm{tr}({\mathbf A})\) og \(\lambda_1 \cdot \lambda_2=\mathrm{det}({\mathbf A})\).
Hint
Hvis en \(2 \times 2\) matrix \({\mathbf A}\) har egenværdier \(\lambda_1\) og \(\lambda_2\), så gælder at matricens karakteristiske polynomium er \((Z-\lambda_1)\cdot (Z-\lambda_2).\)
Svar
På den ene side er \(p_{\mathbf A}(Z)=Z^2-\mathrm{tr}({\mathbf A})Z+\mathrm{det}({\mathbf A})\), på den anden side gælder \(p_{\mathbf A}(Z)=(Z-\lambda_1)\cdot (Z-\lambda_2)=Z^2-(\lambda_1+\lambda_2)Z+\lambda_1\cdot \lambda_2\). Sammenlignes koefficienterne, så fås det ønskede.
Opgave 9: Lineær uafhængighed af to egenvektorer#
Der gives en matrix \({\mathbf A} \in \mathbb{C}^{2 \times 2}\) og to af dens egenvektorer \({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2 \in \mathbb{C}^2\). Antag at de tilhørende egenværdier \(\lambda_1,\lambda_2\) er forskellige. Vis at \({\mathbf v}_1\) og \({\mathbf v}_2\) er lineært uafhængige.
Hint
Hvis \({\mathbf v}_1\) og \({\mathbf v}_2\) er lineært afhængige, så findes to komplekse tal \(c_1\) og \(c_2\), ikke begge to lige med nul, således at
Hint
Fra forrige hint følger at hvis to vektorer er lineært afhængige, så er en af dem et skalarmultiplum af den anden. Kan det lade sig gøre hvis de to vektorer er egenvektorer for den samme matrix \({\mathbf A}\) men med forskellige egenværdier?