Opgaver – Lille Dag

Opgaver – Lille Dag#

Opgave 1: Diagonalisering af matrix.#

En lineær afbildning \(\,f: \mathbb{R}^3\rightarrow\ \mathbb{R}^3\,\) har med hensyn til den ordnede standardbasis \(e\) i \(\, \mathbb{R}^3 \,\) afbildningsmatricen:

\[\begin{split}{\mathbf {}_e [f]_e}=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\end{split}\]

Spørgsmål a#

Angiv en ordnet basis \(\,v\,\) for \(\,\mathbb{R}^3\,\) med hensyn til hvilken afbildningsmatricen for \(\,f\,\) bliver en diagonalmatrix, og angiv den tilsvarende basisskiftematrix \(\, \mathbf {}_e [\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}]_v \,\) som skifter fra \(v\)-koordinater til \(e\)-koordinater.

Hint

\(\,{\mathbf {}_e [f]_e}\,\) har egenværdierne \(1\) og \(2\), hvor \(\mathrm{am}(1)=2\) og \(\mathrm{am}(2)=1\). De tilhørende egenvektorrum er

\[\begin{split}\,E_1=\mathrm{span}_\mathbb{R}\left(\left[\begin{array}{cc} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \left[\begin{array}{cc} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]\right)\,\,\,\,\text{og}\,\,\,\,\, E_2=\mathrm{span}_\mathbb{R}\left(\left[\begin{array}{cc} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]\right).\end{split}\]

Hvordan kan man uden yderligere regning se og argumentere for at de tre viste vektorer er lineært uafhængige? Og at de sat sammen i en \(\,3\times 3\)-matrix udgør en basisskiftematrix som ønsket?

Spørgsmål b#

Angiv en invertibel matrix \(\, \mathbf V\,\) og en diagonalmatrix \(\, \mathbf{\Lambda}\, \), så

\[\mathbf{\Lambda} = {\mathbf V}^{-1} \cdot {\mathbf {}_e [f]_e} \cdot {\mathbf V}.\]

Hint

En matrix \(\, \mathbf V\,\) bestående af lineært uafhængige egenvektorer har de ønskede egenskaber.

Svar

Ved at vælge \(\,\mathbf V=\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right]\) opnås, at \(\mathbf{\Lambda} = {\mathbf V}^{-1} \cdot {\mathbf{}_e [f]_e} \cdot {\mathbf V}\), hvor \(\,\mathbf{\Lambda}=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\,.\)

Opgave 2: Diagonalisering#

Denne opgave ønskes løst ved håndregning.

Spørgsmål a#

Givet matricen:

\[\begin{split}{\mathbf A}=\left[\begin{array}{cc} 9 & -6\\ 8 & -7 \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2 \times 2}.\end{split}\]

Undersøg om \(\,\mathbf A\,\) kan diagonaliseres og angiv i givet fald en invertibel matrix \(\,\mathbf V\,\) og en diagonalmatrix \(\,\mathbf{\Lambda}\,\), således at

\[\,\mathbf{\Lambda}={\mathbf V}^{-1}\cdot{\mathbf A}\cdot{\mathbf V}.\]

Svar

Diagonalisering er mulig, da der findes to lineært uafhængige egenvektorer for \(\,\mathbf A\,.\) Flere rigtige svar er mulige, her er et af dem:

\[\begin{split}\,{\mathbf V} =\left[\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 2 & 2 \end{array}\right] \,\,\,\,\text{og}\,\,\,\, \mathbf{\Lambda}=\left[\begin{array}{cc} -3 & 0\\ 0 & 5 \end{array}\right].\end{split}\]

Spørgsmål b#

Der er givet matricen

\[\begin{split}{\mathbf B}=\left[\begin{array}{cc} 3 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\end{split}\]

Undersøg om \(\,\mathbf B \,\) kan diagonaliseres og angiv i givet fald en invertibel matrix \(\,\mathbf V \,\) og en diagonalmatrix \(\,\mathbf{\Lambda}\,,\) således at

\[\mathbf{\Lambda}={\mathbf V}^{-1}\cdot\mathbf B\cdot\mathbf V.\]

Hint

Find alle egenværdier for \(\,\mathbf B\,\) og bestem deres algebraiske og geometriske multipliciter.

Svar

\(\,\mathbf B\,\) kan ikke diagonaliseres.

Spørgsmål c#

Der er givet matricen

\[\begin{split}{\mathbf C}=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\-1 & 1 & 1 \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3 \times 3}.\end{split}\]

Undersøg om \(\,\mathbf C\,\) kan diagonaliseres og angiv i givet fald en invertibel matrix \(\,\mathbf V\,\) og en diagonalmatrix \(\,\mathbf{\Lambda}\,,\) således at

\[\mathbf{\Lambda}={\mathbf V}^{-1}\cdot{\mathbf C}\cdot{\mathbf V}.\]

Svar

Bemærk at \(0\) er en af egenværdierne. Diagonalisering er mulig, da der findes tre lineært uafhængige egenvektorer for \(\mathbf C\,.\) Flere rigtige svar er mulige, her er et af dem:

\[\begin{split}{\mathbf V}=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right] \,\,\,\,\text{og}\,\,\,\,{\mathbf \Lambda}=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right].\end{split}\]

Opgave 3: Kompleks diagonalisering#

Givet matricen

\[\begin{split}{\mathbf M}=\left[\begin{array}{cc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 5 & 1 & 1 \end{array}\right] \in \mathbb{C}^{3 \times 3}.\end{split}\]

Spørgsmål a#

Find egenværdier og de tilhørende komplekse egenvektorrum for \(\,\mathbf M\,.\)

Svar

Egenværdierne er \(1+i\), \(1-i\) og \(3\). Alle med algebraisk multiplicitet \(1\). De til \(\lambda=1+i\) hørende egenvektorer er \(\mathbf x=t_1\cdot \left[\begin{array}{cc} 0 \\ i \\ 1 \end{array}\right]\), hvor \(t_1\in\mathbb{C}\),

de til \(\lambda=1-i\) hørende egenvektorer er \(\mathbf x=t_2\cdot \left[\begin{array}{cc} 0 \\ -i \\ 1 \end{array}\right]\), hvor \(t_2\in\mathbb{C}\) og

de til \(\lambda=3\) hørende egenvektorer er \(\mathbf x=t_3\cdot\ \left[\begin{array}{cc} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right]\), hvor \(t_3\in\mathbb{C}\).

Spørgsmål b#

Diagonalisér \(\,\mathbf M \,\), det vil sige bestem matricer \(\mathbf Q\) og \(\mathbf{\Lambda}\) så:

\[{\mathbf \Lambda}={\mathbf Q}^{-1}\,{\mathbf M}\,{\mathbf Q}.\]

Svar

Hvis vi sætter \(\,{\mathbf Q}=\left[\begin{array}{cc} 0&0&1\\ i&-i&-1\\ 1&1&2 \end{array}\right] \,\) og \(\,{\mathbf \Lambda}=\left[\begin{array}{cc} 1+i&0&0\\ 0&1-i&0\\ 0&0&3 \end{array}\right]\,\)

så gælder der som ønsket:

\[{\mathbf \Lambda}={\mathbf Q}^{-1}\,{\mathbf M}\,{\mathbf Q}.\]

Opgave 4: Diagonalisering af matrix med SymPy.#

Spørgsmål a#

Find ved hjælp af SymPy’s eigenvects() samtlige egenværdier og de tilhørende reelle egenrum for matricen

\[\begin{split}{\mathbf A}=\left[\begin{array}{cc} -1 & -1 & -6 & 3\\ 1 & -2 & -3 & 0\\ -1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -5 & 3 \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{4 \times 4}.\end{split}\]

Svar

Egenværdierne er \(1\), med \(\mathrm{gm}(1) = \mathrm{am}(1) = 1\), \(0\) med \(\mathrm{gm}(0) =1 < 2 = \mathrm{am}(0)\) og \(-1\) med \(\mathrm{gm}(-1) = \mathrm{am}(-1) = 1\). De tilhørende egenvektorrum er:

\[\begin{split}E_1=\mathrm{span}_\mathbb{R}\left(\left[\begin{array}{cc} 3 \\ 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right]\right)\,,\,\, E_0 = \mathrm{span}_\mathbb{R}\left(\left[\begin{array}{cc} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]\right) \,\,\,\,\text{og}\,\,\,\,E_{-1}= \mathrm{span}_\mathbb{R}\left(\left[\begin{array}{cc} 3 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right]\right).\end{split}\]

Spørgsmål b#

Undersøg om der findes en invertibel matrix \(\, \mathbf V\,\) og en diagonalmatrix \(\,\mathbf{\Lambda}\,\), så:

\[{\mathbf \Lambda}={\mathbf V}^{-1}\cdot {\mathbf A}\cdot{\mathbf V}.\]

Opgave 5: Similære matricer#

Givet matricerne

\[\begin{split}{\mathbf A}=\left[\begin{array}{cc} 0&1\\ -1&0 \end{array}\right] \,\,\, , \,\,\, {\mathbf B}=\left[\begin{array}{cc} 0&-1\\ 1&0 \end{array}\right] \in \mathbb{C}^{2 \times 2}.\end{split}\]

Spørgsmål a#

Gør rede for at \(\mathbf A\) og \(\mathbf B\) er similære.

Hint

Vis at \(\mathbf A\) og \(\mathbf B\) er similære med den samme diagonalmatrix

Hint

Hvis vi sætter \(\,{\mathbf V}=\left[\begin{array}{cc} -i&i\\ 1&1 \end{array}\right] \,,\) \(\,{\mathbf U}=\left[\begin{array}{cc} i&-i\\ 1&1 \end{array}\right] \,\) og \(\,{\mathbf \Lambda}=\left[\begin{array}{cc} i&0\\ 0&-i \end{array}\right] \,\) så gælder:

\[{\mathbf \Lambda}={\mathbf V}^{-1}\cdot{\mathbf A}\cdot{\mathbf V}={\mathbf U}^{-1}\cdot{\mathbf B}\cdot{\mathbf U} \,.\]

Hint

Bestem nu en invertibel matrix \(\, \mathbf M \,\) der opfylder

\[{\mathbf B}={\mathbf M}^{-1}\,{\mathbf A}\,{\mathbf M}\,.\]

Svar

\[\begin{split}{\mathbf M} ={\mathbf V} \cdot {\mathbf U}^{-1} = \left[\begin{array}{cc} -1&0\\ 0&1 \end{array}\right].\end{split}\]