Opgaver – Lille Dag#
Opgave 1: Diagonalisering af en \(2 \times 2\) matrix.#
Givet matricen:
Undersøg om \(\,\mathbf A\,\) kan diagonaliseres og angiv i givet fald en invertibel matrix \(\,\mathbf Q\,\) og en diagonalmatrix \(\,\mathbf{D}\,\), således at
Svar
Matricen \({\mathbf A}\) har to egenværdier \(-3\) og \(5\) som begge har algebraisk og geometrisk multiplicitet lig med \(1\). Derfor findes der to lineært uafhængige egenvektorer for \(\,\mathbf A\,\) og er diagonalisering mulig. Flere rigtige svar for \(\mathbf D\) og \(\mathbf Q\) er mulige. Her er et af dem:
Opgave 2: Diagonalisering af en lineær afbildning.#
En lineær afbildning \(\,f: \mathbb{R}^3\rightarrow\ \mathbb{R}^3\,\) har med hensyn til den ordnede standardbasis \(\epsilon\) i \(\, \mathbb{R}^3 \,\) afbildningsmatricen:
Spørgsmål a#
Kan afbildningen \(f\) diagonaliseres?
Hint
Afbildningen \(f\) kan diagonaliseres hvis og kun hvis afbildningsmatricen \({}_\epsilon [f]_\epsilon\) kan diagonaliseres. Bestem derfor først egenværdierne og egenrummene for afbildningsmatricen \({}_\epsilon [f]_\epsilon\).
Hint
Det viser sig at \({\mathbf {}_\epsilon [f]_\epsilon}\) har to egenværdier: én med geometrisk multiplicitet \(1\) og én med geometrisk multiplicitet \(2\). Hvordan kan man udfra det konkludere at der er tre lineært uafhængige egenvektorer af \({\mathbf {}_\epsilon [f]_\epsilon}\) som udspænder \(\mathbb{R}^3\)?
Svar
\(\,{{}_\epsilon [f]_\epsilon}\,\) har egenværdierne \(1\) og \(2\), hvor \(\mathrm{am}(1)=\mathrm{gm}(1)=2\) og \(\mathrm{am}(2)=\mathrm{gm}(2)=1\). Afbildningsmatricen \(\,{{}_\epsilon [f]_\epsilon}\,\) kan derfor diagonaliseres. Men så kan afbildningen \(f\) også diagonaliseres.
For at bestemme de nævnte geometriske multipliciteter beregnes egenrummene. De fås til at være:
Spørgsmål b#
Angiv en ordnet basis \(\,\beta\,\) for \(\,\mathbb{R}^3\,\) med hensyn til hvilken afbildningsmatricen for \(\,f\,\) bliver en diagonalmatrix. Angiv også den tilsvarende basisskiftematrix \(\, \mathbf {}_\epsilon [\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}]_\beta \,\) som skifter fra \(\beta\)-koordinater til \(\epsilon\)-koordinater.
Hint
Egenvektorerne fundet i Spørgsmål a kan bruges.
Svar
Den ønskede ordnede basis \(\beta\) skal bestå af lineært uafhængige egenvektorer for \(f\). Et muligt svar er derfor:
og
Spørgsmål c#
Angiv en invertibel matrix \(\, \mathbf Q\,\) og en diagonalmatrix \(\, \mathbf{D}\, \), så
Hint
En matrix \(\, \mathbf Q\,\) bestående af lineært uafhængige egenvektorer har de ønskede egenskaber. Kan basisskiftematricen fra Spørgsmål b bruges her?
Hint
Det gælder at
Derfor har basisskiftematricen \(\,\mathbf {}_\epsilon [\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}]_\beta\,\) de ønskede egenskaber og kan man vælge \(\, \mathbf Q=\mathbf {}_\epsilon [\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}]_\beta\,\). Bemærk at \(\mathbf Q\)’s søjler er lineært uafhængige egenvektorer.
Svar
Ved at vælge \(\,\mathbf Q=\mathbf {}_\epsilon [\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}]_\beta=\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right]\) opnås, at \(\mathbf{D} = {\mathbf Q}^{-1} \cdot {\mathbf{}_\epsilon [f]_\epsilon} \cdot {\mathbf Q}\), hvor \(\,\mathbf{D}=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\,.\)
Opgave 3: Diagonalisering#
Spørgsmål a#
Der er givet matricen
Undersøg om \(\,\mathbf B \,\) kan diagonaliseres og angiv i givet fald en invertibel matrix \(\,\mathbf Q \,\) og en diagonalmatrix \(\,\mathbf{D}\,,\) således at
Hint
Find alle egenværdier for \(\,\mathbf B\,\) og bestem deres algebraiske og geometriske multipliciter.
Svar
En af \(\,\mathbf B\,\)’s egenværdier har algebraisk multiplicitet \(2\) og geometrisk multiplicitet \(1\). Matricen \(\,\mathbf B\,\) kan derfor ikke diagonaliseres.
Spørgsmål b#
Der er givet matricen
Undersøg om \(\,\mathbf C\,\) kan diagonaliseres og angiv i givet fald en invertibel matrix \(\,\mathbf Q\,\) og en diagonalmatrix \(\,\mathbf{D}\,,\) således at
Svar
Bemærk at \(0\) er en af egenværdierne. Diagonalisering er mulig, da der findes tre lineært uafhængige egenvektorer for \(\mathbf C\,.\) Flere rigtige svar er mulige, her er et af dem:
Opgave 4: Diagonalisering over de komplekse tal#
Givet matricen
Spørgsmål a#
Find egenværdier og de tilhørende komplekse egenrum for \(\,\mathbf M\,.\)
Svar
Egenværdierne er \(1+i\), \(1-i\) og \(3\). Alle med algebraisk multiplicitet \(1\). De til \(\lambda=1+i\) hørende egenvektorer er \(\mathbf v=t_1\cdot \left[\begin{array}{cc} 0 \\ i \\ 1 \end{array}\right]\), hvor \(t_1\in\mathbb{C}\),
de til \(\lambda=1-i\) hørende egenvektorer er \(\mathbf v=t_2\cdot \left[\begin{array}{cc} 0 \\ -i \\ 1 \end{array}\right]\), hvor \(t_2\in\mathbb{C}\) og
de til \(\lambda=3\) hørende egenvektorer er \(\mathbf v=t_3\cdot\ \left[\begin{array}{cc} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right]\), hvor \(t_3\in\mathbb{C}\).
Spørgsmål b#
Diagonalisér \(\,\mathbf M \,\), det vil sige bestem matricer \(\mathbf Q\) og \(\mathbf{D}\) så:
Svar
Hvis vi sætter \(\,{\mathbf Q}=\left[\begin{array}{cc} 0&0&1\\ i&-i&-1\\ 1&1&2 \end{array}\right] \,\) og \(\,{\mathbf D}=\left[\begin{array}{cc} 1+i&0&0\\ 0&1-i&0\\ 0&0&3 \end{array}\right]\,\) så gælder der som ønsket:
Opgave 5: Diagonaliserbar eller ej?#
Spørgsmål a#
Om en reel matrix \(\mathbf A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\) er givet at den har to forskellige reelle egenværdier. Kan matricen diagonaliseres? Med andre ord: findes \(\mathbf Q \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\) således at \({\mathbf Q}^{-1}\cdot {\mathbf A}\cdot{\mathbf Q}\) er en diagonalmatrix?
Svar
Ja.
Spørgsmål b#
Om en reel matrix \(\mathbf B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\) er givet at den ingen reelle egenværdier har. Kan matricen diagonaliseres?
Svar
Nej. Hvis der ikke er (reelle) egenværdier, er der heller ikke egenvektorer i \(\mathbb{R}^2\). Derfor kan der heller ikke være en ordnet basis for \(\mathbb{R}^2\) bestående af egenvektorer.
Spørgsmål c#
Om en reel matrix \(\mathbf B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\) er givet at den ingen reelle egenværdier har. Kan matricen diagonaliseres over de komplekse tal? Med andre ord: findes \(\mathbf Q \in \mathbb{C}^{2 \times 2}\) således at \({\mathbf Q}^{-1}\cdot {\mathbf B}\cdot{\mathbf Q}\) er en diagonalmatrix?
Hint
Fordi \(\mathbf B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\), har matricens karakteristiske polynomium reelle koefficienter. Hvad kan siges om de komplekse rødder i matricens karakteristiske polynomium? Se eventuelt Lemma 5.3.3 fra lærebogen.
Svar
Ja. Matricens karakteristiske polynomium har to forskellige komplekse rødder som er hinandens kompleks konjugerede. Derfor ses på lignende måde som i Spørgsmål a at matricen kan diagonaliseres over de komplekse tal.
Spørgsmål d#
Giv et eksempel på en matrix \(\mathbf C \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\) som ikke kan diagonaliseres over de reelle tal og heller ikke over de komplekse tal.
Svar
Man skal finde en matrix der kun har én reel egenværdi \(\lambda\) som oven i købet har geometrisk multiplicitet \(1\). Et muligt svar er \({\mathbf C}=\left[\begin{array}{cc} 0&1\\ 0&0 \end{array}\right]\). Denne matrix har kun \(0\) som egenværdi og det gælder at \(\mathrm{am}(0)=2\) og \(\mathrm{gm}(0)=1\).
Opgave 6: Lineær afbildning mellem polynomiumsrum#
Lad \(\mathbb{C}[Z]\) være det komplekse vektorrum bestående af polynomier med komplekse koefficienter. Givet \(n \in \mathbb{N}\) et naturligt tal, defineres \(V=\mathrm{span}_{\mathbb{C}}(1,Z,\dots,Z^{n})\) som underrummet af \(\mathbb{C}[Z]\) bestående af polynomier af grad op til \(n\). Der defineres en lineær afbildning \(L: V \to V\) ved forskriften \(L(p(Z))=p'(Z)\), hvor \(p'(Z)\) betegner den afledte af \(p(Z)\).
Spørgsmål a#
Bestem afbildningsmatricen \({}_m[L]_m\), hvor \(m\) er den ordnede basis for \(V\) givet ved \(m=(1,Z,\dots,,Z^n)\).
Svar
Spørgsmål b#
Kan \(L\) diagonaliseres?
Svar
Nej.