Opgaver – Store Dag

Opgaver – Store Dag#

Opgave 1: Linearitet#

To afbildninger $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ og $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, er givet ved forskrifterne:

\[\begin{split}f\left(\left[\begin{array}{r} x_1\\ x_2 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{r} x_1-x_2\\-x_1+x_2\end{array}\right] \quad \text{og} \quad g\left(\left[\begin{array}{r}x_1\\x_2\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{r}-x_2\\x_1^{2}\end{array}\right]. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Vis at netop én af de to afbildninger er en lineær afbildning mellem de reelle vektorrum $\mathbb{R}^2$ og $\mathbb{R}^2$. Find hvilken ved at undersøge om de opfylder de to linearitetskrav nævnt i Definition 11.0.1 fra lærebogen.

Svar

Det er afbildningen $f$ som er lineær. At $g$ ikke er lineær, vises nemmest ved et modeksempel. For eksempel gælder at $g\left(\left[\begin{array}{r}1\\1\end{array}\right]\right)+g\left(\left[\begin{array}{r}1\\1\end{array}\right]\right)$ ikke er det samme som $g\left(\left[\begin{array}{r}1\\1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{r}1\\1\end{array}\right]\right)$.

Spørgsmål b#

Angiv en ordnet basis og en basis for $f$’s kerne samt kernens dimension.

Hint

Definition 11.1.2 forklarer hvad kernen af en lineær afbildning er.

Svar

Man har

\[\begin{split}\mathrm{ker}(f)=\left\{t\cdot \left[\begin{array}{r} 1\\1\end{array}\right] \, \mid \, t \in \mathbb{R} \right\}.\end{split}\]

En ordnet basis for kernen er givet ved listen $\left(\left[\begin{array}{r} 1\\1\end{array}\right]\right)$ og en basis ved mængden $\left\{\left[\begin{array}{r} 1\\1\end{array}\right]\right\}.$ Fordi basen kun indeholder en vektor, gælder at $\dim(\mathrm{ker}(f))=1.$

Spørgsmål c#

Angiv billedrummet for den fundne lineære afbildning. Angiv også en ordnet basis og en basis for billedrummet. Hvad er billedrummets dimension?

Hint

Billedrummet er afbildningens værdimængden. Man skal derfor finde ud af hvilke vektorer $\left[\begin{array}{r} b_1\\b_2\end{array}\right] \in \mathbb{R}^2\,$ kan optræde som højreside i ligningen $\left[\begin{array}{r} x_1-x_2\\-x_1+x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} b_1\\b_2\end{array}\right].$

Med andre ord: det skal afgøres for hvilke højresider ligningen $\left[\begin{array}{r} x_1-x_2\\-x_1+x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} b_1\\b_2\end{array}\right]$ har en løsning.

Svar

\[\begin{split}\mathrm{image}(f)=\left\{t\cdot\left[\begin{array}{r}-1\\1\end{array}\right] \, \mid \, t\in \mathbb{R}\right\}.\end{split}\]

En ordnet basis for billedrummet er givet ved $\left(\left[\begin{array}{r} -1\\1\end{array}\right]\right)$ og en basis ved $\left\{\left[\begin{array}{r} -1\\1\end{array}\right]\right\}.$ Billedrummet har derfor dimension $1$ i dette tilfælde.

Opgave 2: Lineære afbildninger defineret ved diagonalmatricer#

Lad $\lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{R}$ og definer

\[\begin{split}{\mathbf A}=\left[\begin{array}{rr} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2\end{array}\right].\end{split}\]

I denne opgave undersøges den lineære afbildning $L_{\mathbf A}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ defineret ved $L_{\mathbf A}\left({\mathbf v}\right)={\mathbf A}\cdot {\mathbf v}.$

Spørgsmål a#

Indtegn mængden $\mathcal{K}=\{(v_1,v_2) \, \mid \, 0 \le v_1 \le 1, \, 0 \le v_2 \le 1\}$ ind i $\mathbb{R}^2$.

Svar

Mængden $\mathcal{K}$ er et kvadrat i $\mathbb{R}^2$ med hjørnepunkter $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,0)$ og $(1,1)$.

Spørgsmål b#

Indtegn mængden $L_{\mathbf A}(\mathcal{K})$, dvs. mængden $\{L_{\mathbf A}({\mathbf v}) \, \mid \, {\mathbf v} \in \mathcal{K} \}$ i følgende tilfælde:

$\lambda_1=1$ og $\lambda_2=1$
$\lambda_1=2$ og $\lambda_2=3$
$\lambda_1=-1$ og $\lambda_2=2$
$\lambda_1=-4$ og $\lambda_2=-3$

Hint

Hvert ${\mathbf v}=(v_1,v_2) \in \mathcal{K}$ opfylder at

\[\begin{split} \left[\begin{array}{r}v_1\\v_2\end{array}\right] = v_1\cdot \left[\begin{array}{r}1\\0\end{array}\right]+v_2\cdot \left[\begin{array}{r}0\\1\end{array}\right]\, , \quad 0 \le v_1 \le 1 \ \text{og} \ 0 \le v_2 \le 1. \end{split}\]

Brug nu at $L_{\mathbf A}$ er en lineær afbildning.

Svar

Det gælder at

\[\begin{split} L_{\mathbf A}\left(\left[\begin{array}{r}v_1\\v_2\end{array}\right]\right) = v_1\cdot \left[\begin{array}{r}\lambda_1\\0\end{array}\right]+v_2\cdot \left[\begin{array}{r}0\\\lambda_2\end{array}\right]\, , \quad 0 \le v_1 \le 1 \ \text{og} \ 0 \le v_2 \le 1. \end{split}\]

I samtlige tilfælde er $L_{\mathbf A}(\mathcal{K})$ derfor en rektangel med hjørnepunkter $(0,0),(\lambda_1,0),(0,\lambda_2),(\lambda_1,\lambda_2)$.

Spørgsmål c#

Med $\mathcal{K}$ og ${\mathbf A} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ som før, tjek at arealet af $L_{\mathbf A}(\mathcal{K})$ er lig med $|\det({\mathbf A})|.$

Spørgsmål d#

Lad nu

\[\begin{split}{\mathbf A}=\left[\begin{array}{rr} 1 & \lambda\\ 0 & 1\end{array}\right] \quad \lambda \in \mathbb{R}.\end{split}\]

Tjek at $L_{\mathbf A}(\mathcal{K})$ har areal $1$ og at $\det({\mathbf A})=1$. Bemærkning: det viser sig at det for en vilkårlig matrix ${\mathbf A} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ holder at arealet af $L_{\mathbf A}(\mathcal{K})$ er lig med $|\det({\mathbf A})|.$

Opgave 3: Lineære afbildninger og differentiation#

Ligesom i Eksempel 10.4.5 fra lærebogen angives med $C_\infty (\mathbb{R})$ det reelle vektorrum bestående af alle funktioner fra $\mathbb{R}$ til $\mathbb{R}$ som kan differentieres vilkårligt mange gange. I denne opgave betragtes underrummet $V_1$ af $C_\infty(\mathbb{R})$ som er udspændt af funktionerne $e^t, e^{-t}, \cos(t)$ og $\sin(t)$. Det må bruges at disse fire funktioner er lineært uafhængige over $\mathbb{R}$ og derfor danner en ordnet basis for $V_1$.

Der defineres nu følgende funktion $L: V_1 \to V_1$ ved forskriften $L(f)=f'+f$, hvor $f \in V_1$ og hvor $f'$ angiver den afledte af funktionen $f$.

Spørgsmål a#

Tjek at funktionen $L$ er en lineær afbildning mellem reelle vektorrum.

Spørgsmål b#

Beregn afbildningsmatricen ${}_\beta [L] _\beta$, når $\beta=(e^t,e^{-t},\cos(t),\sin(t)).$

Hint

Formlen for en afbildningsmatrix står i Lemma 11.3.3 fra lærebogen.

Hint

I Lemma 11.3.3 er det tale om to vektorrum $V_1$ og $V_2$ og to ordnede baser: én til hvert vektorrum. Læg mærke til at her $V_1=V_2$ og at den samme ordnede basis $\beta$ bruges for både $V_1$ og $V_2$.

Svar

\[\begin{split}{}_\beta [L] _\beta= \left[\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right].\end{split}\]

Spørgsmål c#

Der vælges nu en anden ordnet basis for $V_1$: $\gamma=(\mathrm{sinh(t)},\mathrm{cosh(t)},\sin(t),\cos(t))$. Funktionerne $\mathrm{sinh(t)}$ og $\mathrm{cosh(t)}$ blev defineret i Opgave 10 fra Uge 2, Store Dag. Beregn afbildningsmatricen ${}_\gamma [L] _\gamma$ direkte fra formlen i Lemma 11.3.3 i lærebogen.

Svar

\[\begin{split}{}_\gamma [L] _\gamma= \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]. \end{split}\]

Spørgsmål d#

Beregn basisskiftematricen ${}_\gamma [\mathrm{id}_{V_1}] _\beta$.

Svar

\[\begin{split}{}_\gamma [\mathrm{id}_{V_1}] _\beta= \left[\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].\end{split}\]

Spørgsmål e#

Brug anden del af Sætning 11.3.4 fra lærebogen til at indse at ${}_\gamma [\mathrm{id}_{V_1}] _\beta \cdot {}_\beta [L] _\beta = {}_\gamma [L] _\gamma \cdot {}_\gamma [\mathrm{id}_{V_1}] _\beta.$ Regn efter at ligningen holder vha. resultaterne fra de forrige spørgsmål.

Svar

Ligningen holder, fordi ifølge Sætning 11.3.4 det gælder at ${}_\gamma [\mathrm{id}_{V_1}] _\beta \cdot {}_\beta [L] _\beta = {}_\gamma [\mathrm{id}_{V_1} \circ L] _\beta = {}_\gamma [L] _\beta$ og ${}_\gamma [L] _\gamma \cdot {}_\gamma [\mathrm{id}_{V_1}] _\beta={}_\gamma [L \circ \mathrm{id}_{V_1}] _\beta={}_\gamma [L] _\beta$. Her blev det brugt at $\mathrm{id}_{V_1} \circ L=L$ og $L \circ \mathrm{id}_{V_1}=L$, som gælder fordi $\mathrm{id}_{V_1}$ er identitetsfunktionen.

Opgave 4: Basisskifte og afbildningsmatricer#

Givet vektorerne

\[\begin{split}\mathbf v_1 = \left[\begin{array}{r} 1\\ 2\end{array}\right] \text{ og } \mathbf v_2=\left[\begin{array}{r} 3\\ 7\end{array}\right] \text{ fra $\mathbb{R}^2$},\end{split}\]

samt

\[\begin{split}\mathbf w_1 = \left[\begin{array}{r} 1\\ 2\\ 2\end{array}\right], \mathbf w_2 = \left[\begin{array}{r} 2\\ 3\\1\end{array}\right] \text{ og } \mathbf w_3 = \left[\begin{array}{r} 1\\ 2\\1\end{array}\right] \text{ fra $\mathbb{R}^3$}.\end{split}\]

Der defineres de ordnede baser

\[\begin{split}\beta=\left(\mathbf v_1,\mathbf v_2\right) \quad \text{og} \quad \epsilon=\left( \left[\begin{array}{r} 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 0\\ 1\end{array}\right]\right) \text{ for $\mathbb{R}^2$}\end{split}\]

og

\[\begin{split}\gamma=\left(\mathbf w_1,\mathbf w_2,\mathbf w_3\right) \quad \text{og} \quad \eta=\left( \left[\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 0\\ 1\\0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 0\\ 0\\1\end{array}\right]\right) \text{ for $\mathbb{R}^3$}.\end{split}\]

En lineær afbildning $L:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3\,$ opfylder at

\[L(\mathbf{v}_1)=\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2-3\mathbf{w}_3 \quad \mathrm{og} \quad L(\mathbf{v}_2)=\mathbf{w}_1-\mathbf{w}_2-2\mathbf{w}_3\,.\]

Målet med opgaven er at finde afbildningsmatricen ${}_\eta[L]_\epsilon$, som er afbildningsmatricen for $L$ mht. de ordnede standardbaser.

Spørgsmål a#

Angiv afbildningsmatricen ${}_\gamma[L]_\beta$ for $L$.

Hint

Formlen i Lemma 11.3.3 kan bruges her. Husk også at bruge de givne oplysninger om $L$, så der behøves ikke at udføres nogle beregninger!

Svar

\[\begin{split}{}_\gamma[L]_\beta =\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ -3 & -2 \end{array}\right].\end{split}\]

Spørgsmål b#

Angiv afbildningsmatricen ${}_\eta[L]_\beta$ for $L$, hvor $\beta$ er som før og $\eta$ er den ordnede standardbasis for $\mathbb{R}^3\,.$

Hint

I stedet for at starte fra definitionen af en afbildningsmatrix, kan man også bruge anden del af Sætning 11.3.4 fra lærebogen for at indse at ${}_\eta[\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}]_\gamma \cdot {}_\gamma [L] _\beta = {}_\eta [L] _\beta.$

Hint

Beregningen af basisskifetmatricen ${}_\eta[\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}]_\gamma$ er ikke kompliceret, fordi $\eta$ er den ordnede standardbasis for $\mathbb{R}^3$.

Svar

\[\begin{split}{}_\eta[L]_\beta =\left[\begin{array}{rr} 0 & -3 \\ -1 & -5 \\ 0 & -1 \end{array}\right].\end{split}\]

Spørgsmål c#

Angiv nu afbildningsmatricen ${}_\eta[L]_\epsilon$ for $L$, hvor $\eta$ og $\epsilon$ er de ordnede standardbaser for $\mathbb{R}^2$ og $\mathbb{R}^3$.

Hint

En konsekvens af anden del af Sætning 11.3.4 er at ${}_\eta[L]_\epsilon={}_\eta[L]_\beta \cdot {}_\beta[\mathrm{id}_{\mathbb{R}^2}]_\epsilon$. Basisskiftematricen ${}_\beta[\mathrm{id}_{\mathbb{R}^2}]_\epsilon$ kan beregnes ved at bruge Lemma 11.3.6 fra lærebogen. Den medfører nemlig at ${}_\beta[\mathrm{id}_{\mathbb{R}^2}]_\epsilon=({}_\epsilon[\mathrm{id}_{\mathbb{R}^2}]_\beta)^{-1}$. Matricen ${}_\epsilon[\mathrm{id}_{\mathbb{R}^2}]_\beta$ kan umiddelbart opskrives.

Svar

\[\begin{split}{}_\eta[L]_\epsilon =\left[\begin{array}{rr} 6 & -3 \\ 3 & -2 \\ 2 & -1 \end{array}\right].\end{split}\]

Opgave 5: Kerne af en lineær afbildning#

Lad $V_1$ og $V_2$ være to vektorrum over et legeme $\mathbb{F}$. Vis at kernen af en linær afbildning $L: V_1 \to V_2$ er et underrum af $V_1.$

Hint

Kernen af en lineær afbildning er defineret i Definition 11.2.1 i lærebogen. Lemma 10.4.2 i lærebogen kan med fordel bruges til at afgøre om den er et underrum af $V_1$.

Opgave 6: Lineær afbildning fra et polynomiumsrum#

Lad $V_1=\{a+bZ+cZ^2 \, \mid \, a,b,c \in \mathbb{R}\}$ være underrummet af det reelle vektorrum $\mathbb{R}[Z]$ bestående af alle polynomier af grad højst to. Der defineres en funktion $L: V_1 \to \mathbb{R}$ ved forskriften $p(Z) \mapsto p'(1)$. Udtrykket $p'(1)$ er tallet man får når man indsætter $1$ i $p'(Z)$, mens $p'(Z)$ betegner den afledte af $p(Z)$.

Spørgsmål a#

Beregn $L(Z^2+Z)$ og $L(5Z^2-10Z+4)$.

Svar

Fordi $(Z^2+Z)'=2Z+1$, gælder at $L(Z^2+Z)=2\cdot 1 +1=3$. På lignende måde gælder at $(5Z^2-10Z+4)'=10Z-10$ og derfor at $L(5Z^2-10Z+4)=10\cdot 1-10=0.$

Spørgsmål b#

Vis at $L$ er en lineær afbildning mellem reelle vektorrum.

Hint

Betingelserne for at være en lineær afbildning kan man læse i Definition 11.0.1 fra lærebogen.

Spørgsmål c#

Bestem en basis for $\mathrm{ker}(L)$.

Hint

Hvis $L(a+bZ+cZ^2)=0$, hvilken betingelse skal koefficienterne $a,b$ og $c$ opfylde?

Svar

En mulig basis er $\{1,Z^2-2Z\}$

Spørgsmål d#

Vis at $\mathrm{image}(L)=\mathbb{R}$. Konkluder at afbildningen $L$ er surjektiv.

Hint

Prøv først at finde et polynomium $p(Z)$ i $V_1$ således at $L(p(Z))=1$. Reflekter bagefter hvad $L(ap(Z))$ så er, hvor $a \in \mathbb{R}$ kan vælges frit.

Hint

At sige at en lineær afbildning $M:V_1 \to V_2$ er surjektiv er præcist det samme som at sige at afbildningens billedrum er lig med hele $V_2$. Se eventuelt teksten lige før Eksempel 2.2.4 fra lærebogen hvor det blev forklaret hvad det betyder for en funktion at være surjektiv.
Har man derfor vist at $\mathrm{image}(L)=\mathbb{R}$, så følger direkte at $L$ er surjektiv.

Svar

$L(aZ)=a$ for et vilkærligt $a \in \mathbb{R}$. Derfor gælder at $\mathrm{image}(L)=\mathbb{R}$. Med andre ord: $L$’s værdimængde lig med dens dispositionsmængde. Dette betyder at $L$ er surjektiv.

Opgave 7: Injektive lineære afbildninger#

En funktion $f: A \to B$ kaldes injektiv hvis og kun hvis for alle $a_1,a_2 \in A$ det gælder at $f(a_1)=f(a_2)$ medfører $a_1=a_2$. Se eventuelt teksten lig før Eksempel 2.2.4 i lærebogen. I denne opgave undersøges hvad det betyder at være injektiv for en lineær afbildning $L: V_1 \to V_2$ mellem to vektorrum $V_1$ og $V_2$ over $\mathbb{F}$.

Spørgsmål a#

Antag at en lineær afbildning $L: V_1 \to V_2$ er injektiv. Vis at i så fald $\mathrm{ker}(L)=\{{\mathbf 0}\}.$

Hint

Bruges kontraposition, så ses at det ønskede udsagn er logisk ækvivalent med udsagnet: hvis $\mathrm{ker}(L) \neq \{{\mathbf 0}\}$, så er $L$ ikke injektiv.

Hint

Det vides at $L({\mathbf 0})={\mathbf 0}$ for alle lineære afbildninger $L$ (se for eksempel Ligning (11.1) fra lærebogen). Hvis $\mathrm{ker}(L) \neq \{{\mathbf 0}\}$, så findes ${\mathbf v} \in V_1$ forskellig fra $\mathbf 0$ således at $L({\mathbf v})={\mathbf 0}$.

Skitse af svar

Hvis $\mathrm{ker}(L) \neq \{{\mathbf 0}\}$, så findes ${\mathbf v} \in V_1$ forskellig fra $\mathbf 0$ således at $L({\mathbf v})={\mathbf 0}$. Derfor afbilder $L$ både ${\mathbf v}$ og ${\mathbf 0}$ på nulvektoren i $V_2$. Dette betyder at $L$ ikke er injektiv.

Spørgsmål b#

Antag at en lineær afbildning $L: V_1 \to V_2$ er givet og at $\mathrm{ker}(L)=\{{\mathbf 0}\}.$ Vis at $L$ i så fald $L$ er injektiv.

Hint

Det ønskede udsagn er logisk ækvivalent med udsagnet: hvis $L$ ikke er injektiv, så gælder $\mathrm{ker}(L) \neq \{{\mathbf 0}\}$.

Hint

Antag at der findes to forskellig vektorer ${\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2 \in V_1$ således at $L({\mathbf v}_1)=L({\mathbf v}_2)$. Brug lineariteten af $L$ til at indse at i så fald $L({\mathbf v}_2-{\mathbf v}_1)={\mathbf 0}$.

Svar

Hvis $L$ ikke er injektiv, så findes to forskellig vektorer ${\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2 \in V_1$ således at $L({\mathbf v}_1)=L({\mathbf v}_2)$. Dette medfører at $L({\mathbf v}_2-{\mathbf v}_1)={\mathbf 0}$ og derfor at ${\mathbf v}_2-{\mathbf v}_1 \in \ker(L)$. Derfor indeholder kernen en vektor forskellig fra nulvektoren, som medfører at $\mathrm{ker}(L) \neq \{{\mathbf 0}\}.$

Spørgsmål c#

Konkluder fra de forrige to spørgsmål at en lineær afbildning $L: V_1 \to V_2$ er injektiv hvis og kun hvis $\mathrm{ker}(L) = \{{\mathbf 0}\}.$

Hint

Brug de forrige spørgsmål, samt Ligning (1.22) fra Kapitel 1.

Opgave 8: Undersøgelse af en lineær afbildning fra $\mathbb{R}^4$ til $\mathbb{R}^3$#

Lad $L:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ være givet ved forskriften

\[\begin{split} L\left(\left[\begin{array}{r} v_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4 \end{array}\right] \right)= \left[\begin{array}{r} v_1+v_2+3v_3+v_4\\ 3v_1-v_2+2v_3+4v_4\\ 2v_1+2v_2+6v_3+2v_4 \end{array}\right]. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Find en matrix ${\mathbf A} \in \mathbb{R}^{3 \times 4}$ hvorom det gælder at

\[\begin{split} L\left(\left[\begin{array}{r} v_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4 \end{array}\right] \right)={\mathbf A}\cdot \left[\begin{array}{r} v_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4 \end{array}\right]. \end{split}\]

Brug Lemma 11.1.1 fra lærebogen til at konkludere at $L$ er en lineær afbildning.

Svar

\[\begin{split} {\mathbf A}= \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 3 & 1\\ 3 & -1 & 2 & 4\\ 2 & 2 & 6 & 2 \end{array}\right]. \end{split}\]

Fordi $L=L_{\mathbf A}$ hvor $\mathbf A$ er ovenstående matrix, medfører Lemma 11.1.1 fra lærebogen at $L$ er en lineær afbildning.

Spørgsmål b#

Lad $\beta$ være den ordnede standardbasis for $\mathbb{R}^4$ og $\gamma$ den for $\mathbb{R}^3$. Tjek at ${\mathbf A} = {}_\gamma[L]_\beta$.

Hint

Lemma 11.3.3 beskrives hvordan afbildningsmatricen ${}_\gamma[L]_\beta$ ser ud.

Hint

Det er også nyttigt at huske at $[\mathbf w]_\gamma=\mathbf w$ for alle $\mathbf w \in \mathbb{R}^3$, fordi i opgaven $\gamma$ er den ordnede standardbasis for $\mathbb{R}^3$.

Spørgsmål c#

Angiv en ordnet basis for $L$’s kerne. Hvad er kernens dimension?

Hint

Fordi $L=L_{\mathbf A}$, gælder det, at $L$’s kerne er det samme som $\mathbf A$’s kerne (også kendt som $\mathbf A$’s nulrum). En ordnet basis for $\mathbf A$’s kerne kan fås ved at følge den samme procedure som i Eksempel 11.1.4 fra lærebogen.

Hint

Tjek først at matricen

\[\begin{split}{\mathbf A}=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 3 & 1\\ 3 & -1 & 2 & 4\\ 2 & 2 & 6 & 2 \end{array}\right]\end{split}\]

har reduceret trappeform

\[\begin{split}{\mathbf A}=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 5/4 & 5/4\\ 0 & 1 & 7/4 & -1/4\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].\end{split}\]

Svar

Vektorerne

\[\begin{split}\left[\begin{array}{r} -5/4 \\ -7/4\\ 1\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -5/4\\ 1/4\\ 0\\ 1 \end{array}\right]\end{split}\]

danner en ordnet basis for $\mathrm{ker} A$ og derfor også til $\mathrm{ker} L$. Antallet af elementer i den funde ordnede basis er $2$ og derfor gælder $\dim(\mathrm{ker}(L))=2.$

Spørgsmål d#

Angiv en ordnet basis for $L$’s billedrum samt billedrummets dimension.

Hint

Brug at $L=L_{\mathbf A}$ og Lemma 11.1.2, for at indse at $L$’s billedrum er det samme som $\mathbf A$’s søjlerum. Spørgsmålet kan derfor besvares ved at beregne en ordnet basis for $\mathbf A$’s søjlerum.

Svar

Da kun de første to søjler af ${\mathbf A}$’s reducerede trappeform indeholder pivot-elementer, medfører Sætning 9.2.1 fra lærebogen at en mulig ordnet basis for ${\mathbf A}$’s søjlerum er

\[\begin{split}\left( \left[\begin{array}{r} 1 \\ 3\\ 2 \end{array}\right], \left[\begin{array}{r} 1 \\ -1\\ 2 \end{array}\right]\right). \end{split}\]

Fordi $L=L_{\mathbf A}$ er ${\mathbf A}$’s søjlerum er det samme som $L$’s billedrum, så den ønskede ordnede basis er fundet. Antallet af elementer i den funde ordnede basis er $2$ og derfor gælder $\dim(\mathrm{image}(L))=2.$

Opgave 9: Potenser af matricer#

Lad ${\mathbf A} \in \mathbb{F}^{n \times n}$ være en matrix og ${\mathbf Q} \in \mathbb{F}^{n \times n}$ en invertibel matrix. Lad $k$ være et naturlig tal. Den $k$te potens af ${\mathbf A}$, notation ${\mathbf A}^k$, er defineret som matricen man får ved at gange ${\mathbf A}$ $k$ gange med sig selv. Mere formelt defineres ${\mathbf A}^k$ rekursivt som følger:

\[\begin{split}{\mathbf A}^k = \left\{ \begin{array}{rl} {\mathbf A} & \text{hvis $k=1$}\\ {\mathbf A}^{k-1}\cdot {\mathbf A} & \text{hvis $k \ge 2$.}\end{array} \right.\end{split}\]

Spørgsmål a#

Antag at ${\mathbf D}$ er en diagonalmatrix. Vis ved hjælp af induktion efter $k$, at matricen ${\mathbf D}^k$ også er en diagonalmatrix for alle naturlige tal $k$.

Spørgsmål b#

Vis ved hjælp af induktion efter $k$, at $({\mathbf Q}^{-1} \cdot {\mathbf A} \cdot {\mathbf Q})^k={\mathbf Q}^{-1} \cdot {\mathbf A}^k \cdot {\mathbf Q}.$

Spørgsmål c#

Lad

\[\begin{split} {\mathbf A}=\left[\begin{array}{rr} 0 & 1\\ -6 & 5\end{array}\right] \quad \text{og} \quad {\mathbf Q}=\left[\begin{array}{rr} 1 & 1\\ 2 & 3\end{array}\right]. \end{split}\]

Tjek at ${\mathbf Q}^{-1} \cdot {\mathbf A} \cdot {\mathbf Q}$ er en diagonalmatrix og brug dette til at finde et lukket udtryk for ${\mathbf A}^k$.

Svar

\[\begin{split}{\mathbf A}^k=\left[\begin{array}{rr}3\cdot 2^k-2 \cdot 3^k & -2^k+3^k\\3 \cdot 2^{k+1}-2 \cdot 3^{k+1} & -2^{k+1}+3^{k+1}\end{array}\right].\end{split}\]

Opgave 10: Tematisk Python Opgave#

Opgaven frigives kl 15:30 på DTU Learn.

Opgaver – Store Dag

Contents

Opgaver – Store Dag#

Opgave 1: Linearitet#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Opgave 2: Lineære afbildninger defineret ved diagonalmatricer#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Spørgsmål d#

Opgave 3: Lineære afbildninger og differentiation#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Spørgsmål d#

Spørgsmål e#

Opgave 4: Basisskifte og afbildningsmatricer#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Opgave 5: Kerne af en lineær afbildning#

Opgave 6: Lineær afbildning fra et polynomiumsrum#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Spørgsmål d#

Opgave 7: Injektive lineære afbildninger#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Opgave 8: Undersøgelse af en lineær afbildning fra \(\mathbb{R}^4\) til \(\mathbb{R}^3\)#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Spørgsmål d#

Opgave 9: Potenser af matricer#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Opgave 10: Tematisk Python Opgave#