Opgaver – Store Dag

Opgaver – Store Dag#

Opgave 1: Linearitet og dimensionssætning#

To afbildninger $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ og $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, er givet ved:

\[f((x_1, x_2))=(x_1-x_2,-x_1+x_2) \quad \text{og} \quad g((x_1,x_2))=(-x_2,x_1^{2}).\]

Spørgsmål a#

Vis at netop én af de to afbildninger er en lineær afbildning mellem de reelle vektorrum $\mathbb{R}^2$ og $\mathbb{R}^2$. Find hvilken ved at undersøge om de opfylder de to linearitetskrav i Definition 10.0.1 fra lærebogen.

Svar

Det er afbildningen $f$ som er lineær. At $g$ ikke er lineær, vises nemmest ved et modeksempel.

Spørgsmål b#

Angiv en basis for $f$’s kerne samt kernens dimension.

Hint

Definition 10.2.1 forklarer hvad kernen af en lineær afbildning er.

Svar

Man har $\mathrm{ker}(f)=\{t\cdot(1,1) \, \mid \, t \in \mathbb{R} \}$. En basis for kernen er givet ved $\{(1,1)\}.$ Fordi basen kun indeholder en vektor, gælder at $\dim (\mathrm{ker}(f))=1.$

Spørgsmål c#

Angiv billedrummet for den fundne lineære afbildning. Angiv også en basis for billedrummet samt billedrummets dimension.

Hint

Billedrummet er afbildningens værdimængden. Man skal derfor finde ud af hvilke vektorer $(b_1,b_2) \in \mathbb{R}^2\,$ der har mulighed for at optræde som højreside i ligningen $(x_1-x_2,-x_1+x_2)=(b_1,b_2)\,$ når $x_1$ og $x_2$ kan vælges frit i $\mathbb{R}$.

Svar

$\mathrm{image}(f)=\{t\cdot(-1,1) \, \mid \, t\in \mathbb{R}\}$ En basis for $\mathrm{image}(f)\,$ er givet ved $\{(-1,1)\}.$ Billedrummet har derfor dimension $1$ i dette tilfælde.

Spørgsmål d#

Check at dimensionssætningen (se Corollary 10.4.3 fra lærebogen) er opfyldt for den fundne lineære afbildning.

Svar

Dimensionssætningen er opfyldt, fordi $\dim(\mathbb{R}^2)=2$ og $\dim(\mathrm{ker}(f))=\dim(\mathrm{image}(f))=1$.

Opgave 2: Undersøgelse af en lineær afbildning#

Lad $L:\mathbb{R} ^4 \to \mathbb{R}^3$ være givet ved forskriften

\[\begin{split} L\left(\left[\begin{array}{r} v_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4 \end{array}\right] \right)= \left[\begin{array}{r} v_1+v_2+3v_3+v_4\\ 3v_1-v_2+2v_3+4v_4\\ 2v_1+2v_2+6v_3+2v_4 \end{array}\right]. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Find en matrix ${\mathbf A} \in \mathbb{R}^{3 \times 4}$ hvorom det gælder at

\[\begin{split} L\left(\left[\begin{array}{r} v_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4 \end{array}\right] \right)={\mathbf A}\cdot \left[\begin{array}{r} v_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4 \end{array}\right]. \end{split}\]

Brug Definition 10.1.1 og Lemma 10.1.1 fra lærebogen til at konkludere at $L$ er en lineær afbildning.

Svar

\[\begin{split} {\mathbf A}= \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 3 & 1\\ 3 & -1 & 2 & 4\\ 2 & 2 & 6 & 2 \end{array}\right]. \end{split}\]

Fordi $L=L_{\mathbf A}$ hvor $\mathbf A$ er ovenstående matrix, medfører Lemma 10.1.1 fra lærebogen at $L$ er en lineær afbildning.

Spørgsmål b#

Lad $\beta$ være den standard ordnede basis for $\mathbb{R}^4$ og $\gamma$ den for $\mathbb{R}^3$. Tjek at ${\mathbf A} = {}_\gamma[L]_\beta$.

Hint

Lemma 10.3.2 forklarer hvordan man beregner afbildningsmatricen ${}_\gamma[L]_\beta$.

Spørgsmål c#

Angiv en basis for $L$’s kerne samt kernens dimension.

Hint

Fordi $L=L_{\mathbf A}$, gælder det, at $L$’s kerne er det samme som $\mathbf A$’s kerne. En basis for $\mathbf A$’s kerne kan fås ved at følge den samme procedure som i Example 10.1.4 fra lærebogen.

Hint

Tjek først at matricen

\[\begin{split}{\mathbf A}=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 3 & 1\\ 3 & -1 & 2 & 4\\ 2 & 2 & 6 & 2 \end{array}\right]\end{split}\]

har reduceret trappeform

\[\begin{split}{\mathbf A}=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 5/4 & 5/4\\ 0 & 1 & 7/4 & -1/4\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].\end{split}\]

Svar

Vektorerne

\[\begin{split}\left[\begin{array}{r} -5/4 \\ -7/4\\ 1\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -5/4\\ 1/4\\ 0\\ 1 \end{array}\right]\end{split}\]

danner en basis for $\mathrm{ker} A$ og derfor også til $\mathrm{ker} L$. Antallet af elementer i den funde basis er $2$ og derfor gælder $\dim(\mathrm{ker}(L))=2.$

Spørgsmål d#

Angiv en basis for $L$’s billedrum samt billedrummets dimension.

Hint

Brug at $L=L_{\mathbf A}$, for at indse at $L$’s billedrum er det samme som $\mathbf A$’s søjlerum.

Svar

Da kun de første to søjler af ${\mathbf A}$’s reducerede trappeform indeholder pivot-elementer, medfører Theorem 9.3.3 fra lærebogen at

\[\begin{split}\left\{ \left[\begin{array}{r} 1 \\ 3\\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\ -1\\ 2 \end{array}\right] \right\}\end{split}\]

er en basis for ${\mathbf A}$’s søjlerum. Fordi ${\mathbf A}$’s søjlerum er det samme som $L$’s billedrum har man nu fundet den ønskede basis. Antallet af elementer i den funde basis er $2$ og derfor gælder $\dim(\mathrm{image}(L))=2.$

Spørgsmål e#

Tjek at dimensionssætningen (se Corollary 10.4.3 fra lærebogen) er opfyldt for den givne lineære afbildning $L$.

Svar

Dimensionssætningen er opfyldt, fordi $\dim(\mathbb{R}^4)=4$ og $\dim(\mathrm{ker}(L))=\dim(\mathrm{image}(L))=2$.

Spørgsmål f#

Tilhører vektorerne

\[\begin{split}{\mathbf v}=\left[\begin{array}{r} 1 \\ 2\\ 3 \end{array}\right] \quad \text{og} \quad {\mathbf w}=\left[\begin{array}{r} 2 \\ 2\\ 4 \end{array}\right]\end{split}\]

billedrummet $\mathrm{image}(L)$?

Hint

En basis for $\mathrm{image}(L)$ er allerede fundet i spørgsmål d. Kan de givne vektorer skrives som linearkombination af disse basisvektorer?

Svar

Vektoren $\mathbf v$ er ikke element i $\mathrm{image}(L)$. Vektoren $\mathbf w$ er element i $\mathrm{image}(L)$.

Opgave 3: Undersøgelse af en anden lineær afbildning#

Definer $V_1$ (hhv. $V_2$) til at være mængden af polynomier i $\mathbb{R}[Z]$ af grad højst tre (hhv. to). Bemærk at både $V_1$ og $V_2$ er reelle vektorrum. Lad $M:V_1 \to V_2$ være givet ved forskriften

\[ M(a+bZ+cZ^2+dZ^3)=(a+b+3c+d)+(3a-b+2c+4d)Z+(2a+2b+6c+2d)Z^2\, , \text{hvor $a,b,c,d \in \mathbb{R}$}. \]

Spørgsmål a#

Der vælges den ordnede basis $\beta=(1,Z,Z^2,Z^3)$ til $V_1$ og den ordnede basis $\gamma=(1,Z,Z^2)$ til $V_2$. Bestem afbildningsmatricen ${}_\gamma[M]_\beta$.

Hint

Lemma 10.3.3 forklarer hvordan man beregner afbildningsmatricen ${}_\gamma[M]_\beta$.

Svar

\[\begin{split} {}_\gamma[M]_\beta = \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 3 & 1\\ 3 & -1 & 2 & 4\\ 2 & 2 & 6 & 2 \end{array}\right]. \end{split}\]

Spørgsmål b#

Bemærk at den fundne afbildningsmatrix er nøjagtigt den samme matrix som matricen $\mathbf A$ fundet i Opgave 2b. Benyt resultaterne fra Opgave 2 til at angive en basis for $M$’s kerne og billedrum.

Hint

Ingen beregninger er nødvendige hvis man benytter resultaterne fra den forrige opgave.

Svar

Polynomierne $-5/4-(7/4)Z+Z^2$ og $-5/4+(1/4)Z+Z^3$ danner en basis for $\mathrm{ker}(M)$. Polynomierne $1+3Z+2Z^2$ og $1-Z+2Z^2$ danner en basis for $\mathrm{image}(M).$

Spørgsmål c#

Udnyt resultaterne fra Opgave 2 til at afgøre om polynomierne

\[p_1(Z)=1+2Z+3Z^2 \quad \text{og} \quad p_2(Z)=2+2Z+4Z^2\]

tilhører billedrummet $\mathrm{image}(M)$.

Svar

Polynomiet $p_1(Z)$ er ikke element i $\mathrm{image}(M)$. Polynomiet $p_2(Z)$ er element i $\mathrm{image}(M)$.

Opgave 4: Lineære afbildninger og differentiation#

Ligesom i Eksempel 9.3.4 fra lærebogen angives med $C_\infty (\mathbb{R})$ det reelle vektorrum bestående af alle funktioner fra $\mathbb{R}$ til $\mathbb{R}$ som kan differentieres vilkårligt mange gange. I denne opgave betragtes underrummet $V_1$ af $C_\infty$ som er frembragt af funktionerne $e^t, e^{-t}, \cos(t)$ og $\sin(t)$. Det må bruges at disse fire funktioner er lineært uafhængige over $\mathbb{R}$ og derfor danner en ordnet basis for $V_1$.

Der defineres nu følgende funktion $L: V_1 \to V_1$ ved forskriften $L(f)=f'+f$, hvor $f \in V_1$ og hvor $f'$ angiver den afledte til funktionen $f$.

Spørgsmål a#

Vis at funktionen $L$ er en lineær afbilding mellem reelle vektorrum.

Spørgsmål b#

Beregn afbildningsmatricen ${}_\beta [L] _\beta$ når $\beta=(e^t,e^{-t},\cos(t),\sin(t)).$

Hint

Man kan bruge formlen som givet i Lemma 10.3.3.

Hint

I Lemma 10.3.3 er det tale om to vektorrum $V_1$ og $V_2$ og to ordnede baser: én til hvert vektorrum. Læg mærke til at her $V_1=V_2$ og at den ordnede basis $\beta$ bruges for både $V_1$ og $V_2$.

Svar

\[\begin{split}{}_\beta [L] _\beta= \left[\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right].\end{split}\]

Spørgsmål c#

Der vælges nu en anden ordnet basis for $V_1$: $\gamma=(\mathrm{sinh(t)},\mathrm{cosh(t)},\sin(t),\cos(t))$. Funktionerne $\mathrm{sinh(t)}$ og $\mathrm{cosh(t)}$ blev defineret i Opgave 10 fra Uge 2, Store Dag. Beregn basisskiftmatricerne ${}_\gamma [\mathrm{id}_{V_1}] _\beta$ og ${}_\beta [\mathrm{id}_{V_1}] _\gamma$.

Delvist svar

\[\begin{split}{}_\gamma [\mathrm{id}_{V_1}] _\beta= \left[\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].\end{split}\]

Spørgsmål d#

Beregn afbildningsmatricen ${}_\gamma [L] _\gamma$ direkte fra formlen i Lemma 10.3.3 i lærebogen. Som før er $\gamma=(\mathrm{sinh(t)},\mathrm{cosh(t)},\sin(t),\cos(t))$.

Svar

\[\begin{split}{}_\gamma [L] _\gamma= \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]. \end{split}\]

Spørgsmål e#

Brug anden del af Theorem 10.3.4 fra lærebogen til at indse at ${}_\gamma [\mathrm{id}_{V_1}] _\beta \cdot {}_\beta [L] _\beta = {}_\gamma [L] _\gamma \cdot {}_\gamma [\mathrm{id}_{V_1}] _\beta.$ Tjek også at ligningen holder vha. SymPy og resultaterne fra de forrige spørgsmål.

Svar

Ligningen holder, fordi ifølge Theorem 10.3.4 det gælder at ${}_\gamma [\mathrm{id}_{V_1}] _\beta \cdot {}_\beta [L] _\beta = {}_\gamma [\mathrm{id}_{V_1} \circ L] _\beta = {}_\gamma [L] _\beta$ og ${}_\gamma [L] _\gamma \cdot {}_\gamma [\mathrm{id}_{V_1}] _\beta={}_\gamma [L \circ \mathrm{id}_{V_1}] _\beta={}_\gamma [L] _\beta$. Her blev det brugt at $\mathrm{id}_{V_1} \circ L=L \circ \mathrm{id}_{V_1} =L$, som gælder fordi $\mathrm{id}_{V_1}$ er identitetsfunktionen.

Opgave 5: Lineære afbildninger defineret ved diagonalmatricer#

Lad $\lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{R}$ og definer

\[\begin{split}{\mathbf A}=\left[\begin{array}{rr} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2\end{array}\right].\end{split}\]

I denne opgave undersøges den lineære afbildning $L_{\mathbf A}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ defineret ved $L_{\mathbf A}\left({\mathbf v}\right)={\mathbf A}\cdot {\mathbf v}.$

Spørgsmål a#

Indtegn mængden $M=\{(v_1,v_2) \, \mid \, 0 \le v_1 \le 1, \, 0 \le v_2 \le 1\}$ ind i $\mathbb{R}^2$.

Svar

Tegningen gives ikke her, men mængden $M$ kan beskrives som et kvadrat i $\mathbb{R}^2$ med hjørnepunkter $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,0)$ og $(1,1)$.

Spørgsmål b#

Indtegn mængden $L_{\mathbf A}(M)$, dvs. mængden $\{L_{\mathbf A}({\mathbf v}) \, \mid \, {\mathbf v} \in M \}$ i følgende tilfælde:

$\lambda_1=1$ og $\lambda_2=1$
$\lambda_1=2$ og $\lambda_2=3$
$\lambda_1=-1$ og $\lambda_2=2$
$\lambda_1=-4$ og $\lambda_2=-3$

Hint

Hvert par ${\mathbf v}=(v_1,v_2) \in M$ opfylder at

\[\begin{split} \left[\begin{array}{r}v_1\\v_2\end{array}\right] = v_1\cdot \left[\begin{array}{r}1\\0\end{array}\right]+v_2\cdot \left[\begin{array}{r}0\\1\end{array}\right]\, , \quad 0 \le v_1 \le 1 \ \text{og} \ 0 \le v_2 \le 1. \end{split}\]

Brug nu at $L_{\mathbf A}$ er en lineær afbildning.

Svar

Det gælder at

\[\begin{split} L_{\mathbf A}\left(\left[\begin{array}{r}v_1\\v_2\end{array}\right]\right) = v_1\cdot \left[\begin{array}{r}\lambda_1\\0\end{array}\right]+v_2\cdot \left[\begin{array}{r}0\\\lambda_2\end{array}\right]\, , \quad 0 \le v_1 \le 1 \ \text{og} \ 0 \le v_2 \le 1. \end{split}\]

I samtlige tilfælde er $L_{\mathbf A}(M)$ derfor en rektangel med hjørnepunkter $(0,0),(\lambda_1,0),(0,\lambda_2),(\lambda_1,\lambda_2)$.

Spørgsmål c#

Med $M$ og ${\mathbf A} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ som før, tjek at arealet af $L_{\mathbf A}(M)$ er lig med $|\det({\mathbf A})|.$

Spørgsmål d#

Lad nu

\[\begin{split}{\mathbf A}=\left[\begin{array}{rr} 1 & \lambda\\ 0 & 1\end{array}\right] \quad \lambda \in \mathbb{R}.\end{split}\]

Tjek at $L_{\mathbf A}(M)$ har areal $1$ og at $\det({\mathbf A})=1$. Mere generelt kan det faktisk vises at det for en vilkårlig matrix ${\mathbf A} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ holder at arealet af $L_{\mathbf A}(M)$ er lig med $|\det({\mathbf A})|.$

Opgave 6: Basisskifte og afbildningsmatricer#

Givet vektorerne $\mathbf{v}_1=(1,2)\,$ og $\mathbf{v}_2=(3,7)\,$ i $\mathbb{R}^2\,$ og $\mathbf{w}_1=(1,2,2)\,,$ $\mathbf{w}_2=(2,3,1)\,$ og $\mathbf{w}_3=(1,2,1)\,$ i $\mathbb{R}^3\,$. En lineær afbildning $L:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3\,$ opfylder at

\[L(\mathbf{v}_1)=\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2-3\mathbf{w}_3 \quad \mathrm{og} \quad L(\mathbf{v}_2)=\mathbf{w}_1-\mathbf{w}_2-2\mathbf{w}_3\,.\]

I denne opgave må man gerne udføre matrixprodukter og beregning af inverse matricer med SymPy.

Spørgsmål a#

Vis, at $\mathbf{v}_1\,$ og $\mathbf{v}_2\,$ udgør en basis for $\mathbb{R}^2\,$ og at $\mathbf{w}_1\,$, $\mathbf{w}_2\,$ og $\mathbf{w}_3\,$ udgør en basis for $\mathbb{R}^3\,.$

Hint

Vis først at vektorerne $\mathbf{v}_1\,$ og $\mathbf{v}_2\,$ er linært uafhængige og at vektorerne $\mathbf{w}_1\,$, $\mathbf{w}_2\,$ og $\mathbf{w}_3\,$ er lineært uafhængige. Dette kan gøres på forskellige måder, som du kan læse mere om i Kap 7 og Kap 8. En måde er at følge den samme strategi som i Example 7.1.4 fra lærebogen. Alternativt kan man bruge Korollar 8.3.5.

Hint

Hvis $n$ vektorer i $\mathbb{F}^n$ er lineært uafhængige, danner de så en basis for $\mathbb{F}^n$? Svaret kan udledes fra Theorem 9.2.7 i lærebogen.

Spørgsmål b#

Angiv afbildningsmatricen ${}_\epsilon[L]_\delta$ for $L$ med hensyn til de ordnede baser $\delta=(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2)\,$ i $\mathbb{R}^2\,$ og $\epsilon=(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_3)$ i $\mathbb{R}^3$.

Hint

Formlen i Lemma 10.3.3 kan bruges her.

Svar

\[\begin{split}{}_\epsilon[L]_\delta =\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ -3 & -2 \end{array}\right].\end{split}\]

Spørgsmål c#

Angiv afbildningsmatricen ${}_\gamma[L]_\delta$ for $L$, hvor $\delta$ er som før og $\gamma$ er den standard ordnede basis for $\mathbb{R}^3\,.$

Hint

I stedet for at starte forfra kan man også bruge anden del af Theorem 10.3.4 fra lærebogen til at indse at ${}_\gamma[\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}]_\epsilon \cdot {}_\epsilon [L] _\delta = {}_\gamma [L] _\delta.$

Hint

Beregn først basisskiftmatricen ${}_\gamma[\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}]_\epsilon$. Beregningen er ikke kompliceret, fordi $\gamma$ er den standard ordnede basis for $\mathbb{R}^3$.

Svar

\[\begin{split}{}_\gamma[L]_\delta =\left[\begin{array}{rr} 0 & -3 \\ -1 & -5 \\ 0 & -1 \end{array}\right].\end{split}\]

Spørgsmål d#

Angiv afbildningsmatricen ${}_\epsilon[L]_\beta$ for $L$, hvor $\epsilon$ er som før og $\beta$ er den standard ordnede basis for $\mathbb{R}^2\,.$

Hint

Man kan bruge anden del af Theorem 10.3.4 fra lærebogen til at indse at ${}_\epsilon [L] _\delta \cdot {}_\delta[\mathrm{id}_{\mathbb{R}^2}]_\beta = {}_\epsilon [L] _\beta.$ Beregn derfor først basisskiftmatricen ${}_\delta[\mathrm{id}_{\mathbb{R}^2}]_\beta.$

Hint

Matricen ${}_\delta[\mathrm{id}_{\mathbb{R}^2}]_\beta$ kan være lidt besværligt at beregne, men $({}_\delta[\mathrm{id}_{\mathbb{R}^2}]_\beta)^{-1}={}_\beta[\mathrm{id}_{\mathbb{R}^2}]_\delta$ ifølge Lemma 10.3.5 fra lærebogen. Matricen ${}_\beta[\mathrm{id}_{\mathbb{R}^2}]_\delta$ kan umiddelbart opskrives.

Svar

\[\begin{split}{}_\epsilon[L]_\beta =\left[\begin{array}{rr} 5 & -2 \\ 9 & -4 \\ -17 & 7 \end{array}\right].\end{split}\]

Spørgsmål e#

Angiv nu afbildningsmatricen ${}_\gamma[L]_\beta$ for $L$, hvor $\beta$ og $\gamma$ er de standard ordnede baser i $\mathbb{R}^2$ og $\mathbb{R}^3$.

Hint

Det gælder at ${}_\gamma[L]_\beta={}_\gamma[\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}]_\epsilon \cdot {}_\epsilon[L]_\delta \cdot {}_\delta[\mathrm{id}_{\mathbb{R}^2}]_\beta$. Alle matricer, der er nødvendige for at finde frem til svaret, blev derfor allerede beregnet i de tidligere spørgsmål.

Svar

\[\begin{split}{}_\gamma[L]_\beta =\left[\begin{array}{rr} 6 & -3 \\ 3 & -2 \\ 2 & -1 \end{array}\right].\end{split}\]

Opgave 7: Kerne af en lineær afbildning#

Lad $V_1$ og $V_2$ være to vektorrum over et legeme $\mathbb{F}$. Vis at kernen af en linær afbildning $L: V_1 \to V_2$ er et underrum af $V_1.$

Hint

Kernen af en lineær afbildning er defineret i Definition 10.2.1 i lærebogen. Lemma 9.3.2 i lærebogen kan med fordel bruges til at afgøre om den er et underrum af $V_1$.

Opgave 8: Dimensionssætningen i et eksempel#

En lineær afbildning $L:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3$ har med hensyn til den standard ordnede basis $\beta$ for $\mathbb R^3$ afbildningsmatricen

\[\begin{split}{}_\beta[L]_\beta =\left[\begin{array}{rrr}1&2&1\\ 2&4&0\\ 3&6&0\end{array}\right]\,.\end{split}\]

Det oplyses at $\dim (\mathrm{ker}(L))=1$, med andre ord: kernen for $L$ har dimensionen $1$. Find, alene ved hovedregning, en basis for $\mathrm{image}(L)\,.$

Svar

En mulig basis er

\[\begin{split}\left\{\left[\begin{array}{r}1\\2\\3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right]\right\}.\end{split}\]

Opgave 9: Potenser af matricer#

Lad ${\mathbf A} \in \mathbb{F}^{n \times n}$ være en matrix og ${\mathbf Q} \in \mathbb{F}^{n \times n}$ en invertibel matrix. Lad $k$ være et naturlig tal. Den $k$te potens af ${\mathbf A}$, notation ${\mathbf A}^k$, er defineret som matricen man får ved at gange ${\mathbf A}$ $k$ gange med sig selv. Mere formelt defineres ${\mathbf A}^k$ rekursivt som følger:

\[\begin{split}{\mathbf A}^k = \left\{ \begin{array}{rl} {\mathbf A} & \text{hvis $k=1$}\\ {\mathbf A}^{k-1}\cdot {\mathbf A} & \text{hvis $k \ge 2$.}\end{array} \right.\end{split}\]

Spørgsmål a#

Antag at ${\mathbf A}$ er en diagonalmatrix. Vis at for alle naturlige tal $k$, er matricen ${\mathbf A}^k$ også en diagonalmatrix.

Spørgsmål b#

Vis ved hjælp af induktion efter $k$ at $({\mathbf Q}^{-1} \cdot {\mathbf A} \cdot {\mathbf Q})^k={\mathbf Q}^{-1} \cdot {\mathbf A}^k \cdot {\mathbf Q}.$

Spørgsmål c#

Lad

\[\begin{split} {\mathbf A}=\left[\begin{array}{rr} 0 & 1\\ -6 & 5\end{array}\right] \quad \text{og} \quad {\mathbf Q}=\left[\begin{array}{rr} 1 & 1\\ 2 & 3\end{array}\right]. \end{split}\]

Tjek at ${\mathbf Q}^{-1} \cdot {\mathbf A} \cdot {\mathbf Q}$ er en diagonalmatrix og brug dette til at finde et lukket udtryk for ${\mathbf A}^k$.

Svar

\[\begin{split}{\mathbf A}^k=\left[\begin{array}{rr}3\cdot 2^k-2 \cdot 3^k & -2^k+3^k\\3 \cdot 2^{k+1}-2 \cdot 3^{k+1} & -2^{k+1}+3^{k+1}\end{array}\right].\end{split}\]

Opgaver – Store Dag

Contents

Opgaver – Store Dag#

Opgave 1: Linearitet og dimensionssætning#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Spørgsmål d#

Opgave 2: Undersøgelse af en lineær afbildning#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Spørgsmål d#

Spørgsmål e#

Spørgsmål f#

Opgave 3: Undersøgelse af en anden lineær afbildning#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Opgave 4: Lineære afbildninger og differentiation#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Spørgsmål d#

Spørgsmål e#

Opgave 5: Lineære afbildninger defineret ved diagonalmatricer#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Spørgsmål d#

Opgave 6: Basisskifte og afbildningsmatricer#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Spørgsmål d#

Spørgsmål e#

Opgave 7: Kerne af en lineær afbildning#

Opgave 8: Dimensionssætningen i et eksempel#

Opgave 9: Potenser af matricer#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#