Opgaver – Store Dag

Opgaver – Store Dag#

Opgave 1: Linearitet og dimensionssætning#

To afbildninger $f : R^{2} \to R^{2}$ og $g : R^{2} \to R^{2}$ , er givet ved:

f ((x_{1}, x_{2})) = (x_{1} - x_{2}, - x_{1} + x_{2}) og g ((x_{1}, x_{2})) = (- x_{2}, x_{1}^{2}) .

Spørgsmål a#

Vis at netop én af de to afbildninger er en lineær afbildning mellem de reelle vektorrum $R^{2}$ og $R^{2}$ . Find hvilken ved at undersøge om de opfylder de to linearitetskrav i Definition 10.0.1 fra lærebogen.

Svar

Det er afbildningen $f$ som er lineær. At $g$ ikke er lineær, vises nemmest ved et modeksempel.

Spørgsmål b#

Angiv en basis for $f$ ’s kerne samt kernens dimension.

Hint

Definition 10.2.1 forklarer hvad kernen af en lineær afbildning er.

Svar

Man har $\ker (f) = {t \cdot (1, 1) ∣ t \in R}$ . En basis for kernen er givet ved ${(1, 1)} .$ Fordi basen kun indeholder en vektor, gælder at $\dim (\ker (f)) = 1.$

Spørgsmål c#

Angiv billedrummet for den fundne lineære afbildning. Angiv også en basis for billedrummet samt billedrummets dimension.

Hint

Billedrummet er afbildningens værdimængden. Man skal derfor finde ud af hvilke vektorer $(b_{1}, b_{2}) \in R^{2}$ der har mulighed for at optræde som højreside i ligningen $(x_{1} - x_{2}, - x_{1} + x_{2}) = (b_{1}, b_{2})$ når $x_{1}$ og $x_{2}$ kan vælges frit i $R$ .

Svar

$image (f) = {t \cdot (- 1, 1) ∣ t \in R}$ En basis for $image (f)$ er givet ved ${(- 1, 1)} .$ Billedrummet har derfor dimension $1$ i dette tilfælde.

Spørgsmål d#

Check at dimensionssætningen (se Corollary 10.4.3 fra lærebogen) er opfyldt for den fundne lineære afbildning.

Svar

Dimensionssætningen er opfyldt, fordi $\dim (R^{2}) = 2$ og $\dim (\ker (f)) = \dim (image (f)) = 1$ .

Opgave 2: Undersøgelse af en lineær afbildning#

Lad $L : R^{4} \to R^{3}$ være givet ved forskriften

\begin{array}{r} L ([\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ v_{4} \end{matrix}]) = [\begin{matrix} v_{1} + v_{2} + 3 v_{3} + v_{4} \\ 3 v_{1} - v_{2} + 2 v_{3} + 4 v_{4} \\ 2 v_{1} + 2 v_{2} + 6 v_{3} + 2 v_{4} \end{matrix}] . \end{array}

Spørgsmål a#

Find en matrix $A \in R^{3 \times 4}$ hvorom det gælder at

\begin{array}{r} L ([\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ v_{4} \end{matrix}]) = A \cdot [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ v_{4} \end{matrix}] . \end{array}

Brug Definition 10.1.1 og Lemma 10.1.1 fra lærebogen til at konkludere at $L$ er en lineær afbildning.

Svar

\begin{array}{r} A = [\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & - 1 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 6 & 2 \end{array}] . \end{array}

Fordi $L = L_{A}$ hvor $A$ er ovenstående matrix, medfører Lemma 10.1.1 fra lærebogen at $L$ er en lineær afbildning.

Spørgsmål b#

Lad $β$ være den standard ordnede basis for $R^{4}$ og $γ$ den for $R^{3}$ . Tjek at $A =_{γ} [L]_{β}$ .

Hint

Lemma 10.3.2 forklarer hvordan man beregner afbildningsmatricen $_{γ} [L]_{β}$ .

Spørgsmål c#

Angiv en basis for $L$ ’s kerne samt kernens dimension.

Hint

Fordi $L = L_{A}$ , gælder det, at $L$ ’s kerne er det samme som $A$ ’s kerne. En basis for $A$ ’s kerne kan fås ved at følge den samme procedure som i Example 10.1.4 fra lærebogen.

Hint

Tjek først at matricen

\begin{array}{r} A = [\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & - 1 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 6 & 2 \end{array}] \end{array}

har reduceret trappeform

\begin{array}{r} A = [\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 5 / 4 & 5 / 4 \\ 0 & 1 & 7 / 4 & - 1 / 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] . \end{array}

Svar

Vektorerne

\begin{array}{r} [\begin{matrix} - 5 / 4 \\ - 7 / 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} - 5 / 4 \\ 1 / 4 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] \end{array}

danner en basis for $\ker A$ og derfor også til $\ker L$ . Antallet af elementer i den funde basis er $2$ og derfor gælder $\dim (\ker (L)) = 2.$

Spørgsmål d#

Angiv en basis for $L$ ’s billedrum samt billedrummets dimension.

Hint

Brug at $L = L_{A}$ , for at indse at $L$ ’s billedrum er det samme som $A$ ’s søjlerum.

Svar

Da kun de første to søjler af $A$ ’s reducerede trappeform indeholder pivot-elementer, medfører Theorem 9.3.3 fra lærebogen at

\begin{array}{r} {[\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}]} \end{array}

er en basis for $A$ ’s søjlerum. Fordi $A$ ’s søjlerum er det samme som $L$ ’s billedrum har man nu fundet den ønskede basis. Antallet af elementer i den funde basis er $2$ og derfor gælder $\dim (image (L)) = 2.$

Spørgsmål e#

Tjek at dimensionssætningen (se Corollary 10.4.3 fra lærebogen) er opfyldt for den givne lineære afbildning $L$ .

Svar

Dimensionssætningen er opfyldt, fordi $\dim (R^{4}) = 4$ og $\dim (\ker (L)) = \dim (image (L)) = 2$ .

Spørgsmål f#

Tilhører vektorerne

\begin{array}{r} v = [\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}] og w = [\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}] \end{array}

billedrummet $image (L)$ ?

Hint

En basis for $image (L)$ er allerede fundet i spørgsmål d. Kan de givne vektorer skrives som linearkombination af disse basisvektorer?

Svar

Vektoren $v$ er ikke element i $image (L)$ . Vektoren $w$ er element i $image (L)$ .

Opgave 3: Undersøgelse af en anden lineær afbildning#

Definer $V_{1}$ (hhv. $V_{2}$ ) til at være mængden af polynomier i $R [Z]$ af grad højst tre (hhv. to). Bemærk at både $V_{1}$ og $V_{2}$ er reelle vektorrum. Lad $M : V_{1} \to V_{2}$ være givet ved forskriften

M (a + b Z + c Z^{2} + d Z^{3}) = (a + b + 3 c + d) + (3 a - b + 2 c + 4 d) Z + (2 a + 2 b + 6 c + 2 d) Z^{2}, hvor a, b, c, d \in R .

Spørgsmål a#

Der vælges den ordnede basis $β = (1, Z, Z^{2}, Z^{3})$ til $V_{1}$ og den ordnede basis $γ = (1, Z, Z^{2})$ til $V_{2}$ . Bestem afbildningsmatricen $_{γ} [M]_{β}$ .

Hint

Lemma 10.3.3 forklarer hvordan man beregner afbildningsmatricen $_{γ} [M]_{β}$ .

Svar

\begin{array}{r} _{γ} [M]_{β} = [\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & - 1 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 6 & 2 \end{array}] . \end{array}

Spørgsmål b#

Bemærk at den fundne afbildningsmatrix er nøjagtigt den samme matrix som matricen $A$ fundet i Opgave 2b. Benyt resultaterne fra Opgave 2 til at angive en basis for $M$ ’s kerne og billedrum.

Hint

Ingen beregninger er nødvendige hvis man benytter resultaterne fra den forrige opgave.

Svar

Polynomierne $- 5 / 4 - (7 / 4) Z + Z^{2}$ og $- 5 / 4 + (1 / 4) Z + Z^{3}$ danner en basis for $\ker (M)$ . Polynomierne $1 + 3 Z + 2 Z^{2}$ og $1 - Z + 2 Z^{2}$ danner en basis for $image (M) .$

Spørgsmål c#

Udnyt resultaterne fra Opgave 2 til at afgøre om polynomierne

p_{1} (Z) = 1 + 2 Z + 3 Z^{2} og p_{2} (Z) = 2 + 2 Z + 4 Z^{2}

tilhører billedrummet $image (M)$ .

Svar

Polynomiet $p_{1} (Z)$ er ikke element i $image (M)$ . Polynomiet $p_{2} (Z)$ er element i $image (M)$ .

Opgave 4: Lineære afbildninger og differentiation#

Ligesom i Eksempel 9.3.4 fra lærebogen angives med $C_{\infty} (R)$ det reelle vektorrum bestående af alle funktioner fra $R$ til $R$ som kan differentieres vilkårligt mange gange. I denne opgave betragtes underrummet $V_{1}$ af $C_{\infty}$ som er frembragt af funktionerne $e^{t}, e^{- t}, \cos (t)$ og $\sin (t)$ . Det må bruges at disse fire funktioner er lineært uafhængige over $R$ og derfor danner en ordnet basis for $V_{1}$ .

Der defineres nu følgende funktion $L : V_{1} \to V_{1}$ ved forskriften $L (f) = f^{'} + f$ , hvor $f \in V_{1}$ og hvor $f^{'}$ angiver den afledte til funktionen $f$ .

Spørgsmål a#

Vis at funktionen $L$ er en lineær afbilding mellem reelle vektorrum.

Spørgsmål b#

Beregn afbildningsmatricen $_{β} [L]_{β}$ når $β = (e^{t}, e^{- t}, \cos (t), \sin (t)) .$

Hint

Man kan bruge formlen som givet i Lemma 10.3.3.

Hint

I Lemma 10.3.3 er det tale om to vektorrum $V_{1}$ og $V_{2}$ og to ordnede baser: én til hvert vektorrum. Læg mærke til at her $V_{1} = V_{2}$ og at den ordnede basis $β$ bruges for både $V_{1}$ og $V_{2}$ .

Svar

\begin{array}{r} _{β} [L]_{β} = [\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \end{array}] . \end{array}

Spørgsmål c#

Der vælges nu en anden ordnet basis for $V_{1}$ : $γ = (\sinh (t), \cosh (t), \sin (t), \cos (t))$ . Funktionerne $\sinh (t)$ og $\cosh (t)$ blev defineret i Opgave 10 fra Uge 2, Store Dag. Beregn basisskiftmatricerne $_{γ} [{id}_{V_{1}}]_{β}$ og $_{β} [{id}_{V_{1}}]_{γ}$ .

Delvist svar

\begin{array}{r} _{γ} [{id}_{V_{1}}]_{β} = [\begin{array}{rrrr} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}] . \end{array}

Spørgsmål d#

Beregn afbildningsmatricen $_{γ} [L]_{γ}$ direkte fra formlen i Lemma 10.3.3 i lærebogen. Som før er $γ = (\sinh (t), \cosh (t), \sin (t), \cos (t))$ .

Svar

\begin{array}{r} _{γ} [L]_{γ} = [\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}] . \end{array}

Spørgsmål e#

Brug anden del af Theorem 10.3.4 fra lærebogen til at indse at $_{γ} [{id}_{V_{1}}]_{β} \cdot_{β} [L]_{β} =_{γ} [L]_{γ} \cdot_{γ} [{id}_{V_{1}}]_{β} .$ Tjek også at ligningen holder vha. SymPy og resultaterne fra de forrige spørgsmål.

Svar

Ligningen holder, fordi ifølge Theorem 10.3.4 det gælder at $_{γ} [{id}_{V_{1}}]_{β} \cdot_{β} [L]_{β} =_{γ} [{id}_{V_{1}} \circ L]_{β} =_{γ} [L]_{β}$ og $_{γ} [L]_{γ} \cdot_{γ} [{id}_{V_{1}}]_{β} =_{γ} [L \circ {id}_{V_{1}}]_{β} =_{γ} [L]_{β}$ . Her blev det brugt at ${id}_{V_{1}} \circ L = L \circ {id}_{V_{1}} = L$ , som gælder fordi ${id}_{V_{1}}$ er identitetsfunktionen.

Opgave 5: Lineære afbildninger defineret ved diagonalmatricer#

Lad $λ_{1}, λ_{2} \in R$ og definer

\begin{array}{r} A = [\begin{array}{rr} λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{array}] . \end{array}

I denne opgave undersøges den lineære afbildning $L_{A} : R^{2} \to R^{2}$ defineret ved $L_{A} (v) = A \cdot v .$

Spørgsmål a#

Indtegn mængden $M = {(v_{1}, v_{2}) ∣ 0 \leq v_{1} \leq 1, 0 \leq v_{2} \leq 1}$ ind i $R^{2}$ .

Svar

Tegningen gives ikke her, men mængden $M$ kan beskrives som et kvadrat i $R^{2}$ med hjørnepunkter $(0, 0)$ , $(0, 1)$ , $(1, 0)$ og $(1, 1)$ .

Spørgsmål b#

Indtegn mængden $L_{A} (M)$ , dvs. mængden ${L_{A} (v) ∣ v \in M}$ i følgende tilfælde:

$λ_{1} = 1$ og $λ_{2} = 1$
$λ_{1} = 2$ og $λ_{2} = 3$
$λ_{1} = - 1$ og $λ_{2} = 2$
$λ_{1} = - 4$ og $λ_{2} = - 3$

Hint

Hvert par $v = (v_{1}, v_{2}) \in M$ opfylder at

\begin{array}{r} [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}] = v_{1} \cdot [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] + v_{2} \cdot [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}], 0 \leq v_{1} \leq 1 og 0 \leq v_{2} \leq 1. \end{array}

Brug nu at $L_{A}$ er en lineær afbildning.

Svar

Det gælder at

\begin{array}{r} L_{A} ([\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}]) = v_{1} \cdot [\begin{matrix} λ_{1} \\ 0 \end{matrix}] + v_{2} \cdot [\begin{matrix} 0 \\ λ_{2} \end{matrix}], 0 \leq v_{1} \leq 1 og 0 \leq v_{2} \leq 1. \end{array}

I samtlige tilfælde er $L_{A} (M)$ derfor en rektangel med hjørnepunkter $(0, 0), (λ_{1}, 0), (0, λ_{2}), (λ_{1}, λ_{2})$ .

Spørgsmål c#

Med $M$ og $A \in R^{2 \times 2}$ som før, tjek at arealet af $L_{A} (M)$ er lig med $| det (A) | .$

Spørgsmål d#

Lad nu

\begin{array}{r} A = [\begin{array}{rr} 1 & λ \\ 0 & 1 \end{array}] λ \in R . \end{array}

Tjek at $L_{A} (M)$ har areal $1$ og at $det (A) = 1$ . Mere generelt kan det faktisk vises at det for en vilkårlig matrix $A \in R^{2 \times 2}$ holder at arealet af $L_{A} (M)$ er lig med $| det (A) | .$

Opgave 6: Basisskifte og afbildningsmatricer#

Givet vektorerne $v_{1} = (1, 2)$ og $v_{2} = (3, 7)$ i $R^{2}$ og $w_{1} = (1, 2, 2),$ $w_{2} = (2, 3, 1)$ og $w_{3} = (1, 2, 1)$ i $R^{3}$ . En lineær afbildning $L : R^{2} \to R^{3}$ opfylder at

L (v_{1}) = w_{1} + w_{2} - 3 w_{3} og L (v_{2}) = w_{1} - w_{2} - 2 w_{3} .

I denne opgave må man gerne udføre matrixprodukter og beregning af inverse matricer med SymPy.

Spørgsmål a#

Vis, at $v_{1}$ og $v_{2}$ udgør en basis for $R^{2}$ og at $w_{1}$ , $w_{2}$ og $w_{3}$ udgør en basis for $R^{3} .$

Hint

Vis først at vektorerne $v_{1}$ og $v_{2}$ er linært uafhængige og at vektorerne $w_{1}$ , $w_{2}$ og $w_{3}$ er lineært uafhængige. Dette kan gøres på forskellige måder, som du kan læse mere om i Kap 7 og Kap 8. En måde er at følge den samme strategi som i Example 7.1.4 fra lærebogen. Alternativt kan man bruge Korollar 8.3.5.

Hint

Hvis $n$ vektorer i $F^{n}$ er lineært uafhængige, danner de så en basis for $F^{n}$ ? Svaret kan udledes fra Theorem 9.2.7 i lærebogen.

Spørgsmål b#

Angiv afbildningsmatricen $_{ϵ} [L]_{δ}$ for $L$ med hensyn til de ordnede baser $δ = (v_{1}, v_{2})$ i $R^{2}$ og $ϵ = (w_{1}, w_{2}, w_{3})$ i $R^{3}$ .

Hint

Formlen i Lemma 10.3.3 kan bruges her.

Svar

\begin{array}{r} _{ϵ} [L]_{δ} = [\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \\ - 3 & - 2 \end{array}] . \end{array}

Spørgsmål c#

Angiv afbildningsmatricen $_{γ} [L]_{δ}$ for $L$ , hvor $δ$ er som før og $γ$ er den standard ordnede basis for $R^{3} .$

Hint

I stedet for at starte forfra kan man også bruge anden del af Theorem 10.3.4 fra lærebogen til at indse at $_{γ} [{id}_{R^{3}}]_{ϵ} \cdot_{ϵ} [L]_{δ} =_{γ} [L]_{δ} .$

Hint

Beregn først basisskiftmatricen $_{γ} [{id}_{R^{3}}]_{ϵ}$ . Beregningen er ikke kompliceret, fordi $γ$ er den standard ordnede basis for $R^{3}$ .

Svar

\begin{array}{r} _{γ} [L]_{δ} = [\begin{array}{rr} 0 & - 3 \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 1 \end{array}] . \end{array}

Spørgsmål d#

Angiv afbildningsmatricen $_{ϵ} [L]_{β}$ for $L$ , hvor $ϵ$ er som før og $β$ er den standard ordnede basis for $R^{2} .$

Hint

Man kan bruge anden del af Theorem 10.3.4 fra lærebogen til at indse at $_{ϵ} [L]_{δ} \cdot_{δ} [{id}_{R^{2}}]_{β} =_{ϵ} [L]_{β} .$ Beregn derfor først basisskiftmatricen $_{δ} [{id}_{R^{2}}]_{β} .$

Hint

Matricen $_{δ} [{id}_{R^{2}}]_{β}$ kan være lidt besværligt at beregne, men $(_{δ} [{id}_{R^{2}}]_{β})^{- 1} =_{β} [{id}_{R^{2}}]_{δ}$ ifølge Lemma 10.3.5 fra lærebogen. Matricen $_{β} [{id}_{R^{2}}]_{δ}$ kan umiddelbart opskrives.

Svar

\begin{array}{r} _{ϵ} [L]_{β} = [\begin{array}{rr} 5 & - 2 \\ 9 & - 4 \\ - 17 & 7 \end{array}] . \end{array}

Spørgsmål e#

Angiv nu afbildningsmatricen $_{γ} [L]_{β}$ for $L$ , hvor $β$ og $γ$ er de standard ordnede baser i $R^{2}$ og $R^{3}$ .

Hint

Det gælder at $_{γ} [L]_{β} =_{γ} [{id}_{R^{3}}]_{ϵ} \cdot_{ϵ} [L]_{δ} \cdot_{δ} [{id}_{R^{2}}]_{β}$ . Alle matricer, der er nødvendige for at finde frem til svaret, blev derfor allerede beregnet i de tidligere spørgsmål.

Svar

\begin{array}{r} _{γ} [L]_{β} = [\begin{array}{rr} 6 & - 3 \\ 3 & - 2 \\ 2 & - 1 \end{array}] . \end{array}

Opgave 7: Kerne af en lineær afbildning#

Lad $V_{1}$ og $V_{2}$ være to vektorrum over et legeme $F$ . Vis at kernen af en linær afbildning $L : V_{1} \to V_{2}$ er et underrum af $V_{1} .$

Hint

Kernen af en lineær afbildning er defineret i Definition 10.2.1 i lærebogen. Lemma 9.3.2 i lærebogen kan med fordel bruges til at afgøre om den er et underrum af $V_{1}$ .

Opgave 8: Dimensionssætningen i et eksempel#

En lineær afbildning $L : R^{3} \to R^{3}$ har med hensyn til den standard ordnede basis $β$ for $R^{3}$ afbildningsmatricen

\begin{array}{r} _{β} [L]_{β} = [\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \end{array}] . \end{array}

Det oplyses at $\dim (\ker (L)) = 1$ , med andre ord: kernen for $L$ har dimensionen $1$ . Find, alene ved hovedregning, en basis for $image (L) .$

Svar

En mulig basis er

\begin{array}{r} {[\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]} . \end{array}

Opgave 9: Potenser af matricer#

Lad $A \in F^{n \times n}$ være en matrix og $Q \in F^{n \times n}$ en invertibel matrix. Lad $k$ være et naturlig tal. Den $k$ te potens af $A$ , notation $A^{k}$ , er defineret som matricen man får ved at gange $A$ $k$ gange med sig selv. Mere formelt defineres $A^{k}$ rekursivt som følger:

\begin{array}{r} A^{k} = {\begin{aligned} A & hvis k = 1 \\ A^{k - 1} \cdot A & hvis k \geq 2 . \end{aligned} \end{array}

Spørgsmål a#

Antag at $A$ er en diagonalmatrix. Vis at for alle naturlige tal $k$ , er matricen $A^{k}$ også en diagonalmatrix.

Spørgsmål b#

Vis ved hjælp af induktion efter $k$ at $(Q^{- 1} \cdot A \cdot Q)^{k} = Q^{- 1} \cdot A^{k} \cdot Q .$

Spørgsmål c#

Lad

\begin{array}{r} A = [\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ - 6 & 5 \end{array}] og Q = [\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}] . \end{array}

Tjek at $Q^{- 1} \cdot A \cdot Q$ er en diagonalmatrix og brug dette til at finde et lukket udtryk for $A^{k}$ .

Svar

\begin{array}{r} A^{k} = [\begin{array}{rr} 3 \cdot 2^{k} - 2 \cdot 3^{k} & - 2^{k} + 3^{k} \\ 3 \cdot 2^{k + 1} - 2 \cdot 3^{k + 1} & - 2^{k + 1} + 3^{k + 1} \end{array}] . \end{array}

Opgaver – Store Dag

Contents

Opgaver – Store Dag#

Opgave 1: Linearitet og dimensionssætning#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Spørgsmål d#

Opgave 2: Undersøgelse af en lineær afbildning#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Spørgsmål d#

Spørgsmål e#

Spørgsmål f#

Opgave 3: Undersøgelse af en anden lineær afbildning#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Opgave 4: Lineære afbildninger og differentiation#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Spørgsmål d#

Spørgsmål e#

Opgave 5: Lineære afbildninger defineret ved diagonalmatricer#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Spørgsmål d#

Opgave 6: Basisskifte og afbildningsmatricer#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Spørgsmål d#

Spørgsmål e#

Opgave 7: Kerne af en lineær afbildning#

Opgave 8: Dimensionssætningen i et eksempel#

Opgave 9: Potenser af matricer#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#