Opgaver – Lille Dag

Opgaver – Lille Dag#

Opgave 1: I billerrummet eller ej?#

Om en linear afbildning $L:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ vides at billedrummet $\mathrm{image}(L)$ har en ordnet basis $\beta$ givet ved

\[\begin{split}\beta=\left( \left[\begin{array}{r} 1 \\ 3\\ 2 \end{array}\right], \left[\begin{array}{r} 1 \\ -1\\ 2 \end{array}\right]\right). \end{split}\]

Spørgsmål a#

Tilhører vektorerne

\[\begin{split}{\mathbf v}=\left[\begin{array}{r} 1 \\ 2\\ 3 \end{array}\right] \quad \text{og} \quad {\mathbf w}=\left[\begin{array}{r} 2 \\ 2\\ 4 \end{array}\right]\end{split}\]

billedrummet $\mathrm{image}(L)$?

Hint

Kan ${\mathbf v}$ skrives som linearkombination af vektorerne som optræder i den givne ordnede basis? Hvad med ${\mathbf w}$?

Hint

Har ligningen

\[\begin{split}c_1\left[\begin{array}{r} 1 \\ 3\\ 2 \end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{r} 1 \\ -1\\ 2 \end{array}\right]={\mathbf v}\end{split}\]

en løsning? Hvad med ligningen

\[\begin{split}c_1\left[\begin{array}{r} 1 \\ 3\\ 2 \end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{r} 1 \\ -1\\ 2 \end{array}\right]={\mathbf w}? \end{split}\]

Svar

Vektoren $\mathbf v$ er ikke element i $\mathrm{image}(L)$.

Vektoren $\mathbf w$ er element i $\mathrm{image}(L)$.

Opgave 2: Dimensionssætningen i et eksempel#

En lineær afbildning $L:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3$ har med hensyn til den ordnede standardbasis $\epsilon$ for $\mathbb R^3$ afbildningsmatricen

\[\begin{split}{}_\epsilon[L]_\epsilon =\left[\begin{array}{rrr}1&2&1\\ 2&4&0\\ 3&6&0\end{array}\right]\,.\end{split}\]

Det oplyses at $\dim (\mathrm{ker}(L))=1$, med andre ord: kernen for $L$ har dimensionen $1$. Find, alene ved hovedregning, en ordnet basis for $\mathrm{image}(L)\,.$

Svar

Fordi den anden søjle i afbildningsmatricen er to gange den første, udspænder de resterende to søjler matricens søjlerummet. Fordi det oplyses at $L$’s kerne har dimension $1$, medfører dimensionssætningen at $L$’s billedrum har dimension $2$. En mulig ordnet basis for billedrummet er derfor

\[\begin{split}\left(\left[\begin{array}{r}1\\2\\3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right]\right).\end{split}\]

Opgave 3: Vektorligninger og billedrum#

Der defineres følgende funktion:

\[\begin{split}M: \mathbb{R}^{2 \times 3} \to \mathbb{R}^{2 \times 2}\, , \quad {\mathbf A} \mapsto {\mathbf A} \cdot \left[\begin{array}{rr}1 & 2\\ 0 & 0\\ 2 & 1\end{array}\right].\end{split}\]

Spørgsmål a#

Vis at $M$ er en lineær afbildning mellem reelle vektorrum og angiv en ordnet basis for $\mathrm{ker}(M).$

Hint

Angående lineæritet: brug Definition 11.0.1 og læs eventuelt først Sætning 7.2.1, især del (v).

Angående at angive en ordnet basis for $\mathrm{ker}(M)$: hvad skal en matrix ${\mathbf A} \in \mathbb{R}^{2 \times 3}$ opfylde for at være i $\mathrm{ker}(M)\,$?

Hint

\[\begin{split}\left[\begin{array}{rr}a & b & c\\ d & e & f\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{rr}1 & 2\\ 0 & 0\\ 2 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}a+2c & 2a+c\\ d+2f & 2d+f\end{array}\right].\end{split}\]

Svar

En mulig ordnet basis for $\mathrm{ker}(M)$ er

\[\begin{split}\left( \left[\begin{array}{rr}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]\, , \left[\begin{array}{rr}0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] \right).\end{split}\]

Spørgsmål b#

Brug dimensionssætningen for lineære afbildninger (Korollar 11.4.3 fra lærebogen) til at vise at $\dim(\mathrm{image}(M))=4$. Konkluder at $\mathrm{image}(M)=\mathbb{R}^{2 \times 2}$.

Svar

Hvis $V$ er et vektorrum med en endelig dimension $n$ og $W$ er et underrum af $V$ af samme dimension $n$, så gælder $W=V$. Derfor gælder $\mathrm{image}(M)=\mathbb{R}^{2 \times 2}$.

Spørgsmål c#

Gør rede for at ligningen $M({\mathbf A})=\left[\begin{array}{rr}3 & 3\\ 3 & 3\end{array}\right]$ har en løsning udfra resultatet fra spørgsmål b.

Find nu løsningsmængden.

Hint

Sætning 11.4.1 forklarer hvornår en ligning af den givne type har en løsning. Strukturen af løsningsmængden er også beskrevet i Sætning 11.4.1.

Svar

Løsningsmængden er

\[\begin{split}\left\{ \left[\begin{array}{rr}1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]+t_1 \cdot \left[\begin{array}{rr}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]+t_2 \cdot \left[\begin{array}{rr}0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] \, \mid \, t_1,t_2 \in \mathbb{R}\right\}.\end{split}\]

Bemærkning: Udtrykket

\[\begin{split}\left[\begin{array}{rr}1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]+t_1 \cdot \left[\begin{array}{rr}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]+t_2 \cdot \left[\begin{array}{rr}0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right], \quad t_1,t_2 \in \mathbb{R}\end{split}\]

kaldes for ligningens fuldstændige løsning.

Opgave 4: Undersøgelse af en lineær afbildning#

Definer $V_1$ (hhv. $V_2$) til at være mængden af polynomier i $\mathbb{R}[Z]$ af grad højst tre (hhv. to). Bemærk at både $V_1$ og $V_2$ er reelle vektorrum. Lad afbildningen $M:V_1 \to V_2$ være givet ved forskriften

\[ M(a+bZ+cZ^2+dZ^3)=(a+b+3c+d)+(3a-b+2c+4d)Z+(2a+2b+6c+2d)Z^2\, , \text{hvor $a,b,c,d \in \mathbb{R}$}. \]

Spørgsmål a#

Der vælges den ordnede basis $\beta=(1,Z,Z^2,Z^3)$ til $V_1$ og den ordnede basis $\gamma=(1,Z,Z^2)$ til $V_2$. Bestem afbildningsmatricen ${}_\gamma[M]_\beta$.

Hint

Lemma 11.3.3 forklarer hvordan man beregner afbildningsmatricen ${}_\gamma[M]_\beta$.

Svar

\[\begin{split} {}_\gamma[M]_\beta = \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 3 & 1\\ 3 & -1 & 2 & 4\\ 2 & 2 & 6 & 2 \end{array}\right]. \end{split}\]

Spørgsmål b#

Bestem en ordnet basis for $M$’s kerne.

Hint

Bestem først en ordnet basis for kerne af afbildningsmatricen ${}_\gamma[M]_\beta$. Bagefter kan den sidste del af Sætning 11.4.2 bruges.

Svar

Polynomierne $-5/4-(7/4)Z+Z^2$ og $-5/4+(1/4)Z+Z^3$ danner en ordnet basis for $\mathrm{ker}(M)$.

Spørgsmål c#

Bestem en ordnet basis for $M$’s billedrum.

Hint

Bestem først en ordnet basis for søjlerummet af afbildningsmatricen ${}_\gamma[M]_\beta$. Overvej hvordan denne ordnede basis kan bruges til at finde en ordnet basis for $\mathrm{image}(M).$

Svar

Listen $(1+3Z+2Z^2, 1-Z+2Z^2)$ er en ordnet basis for $\mathrm{image}(M).$

Spørgsmål d#

Afgør om polynomierne

\[p_1(Z)=1+2Z+3Z^2 \quad \text{og} \quad p_2(Z)=2+2Z+4Z^2\]

tilhører billedrummet $\mathrm{image}(M)$.

Hint

Brug den ordnede basis for $M$’s billedrum fundet i spørgsmål c.

Hint

Har ligningen $c_1\cdot(1+3Z+2Z^2)+c_2\cdot(1-Z+2Z^2) =p_1(Z)$ en løsning $c_1,c_2 \in \mathbb{R}$? Hvad med ligningen $c_1\cdot(1+3Z+2Z^2)+c_2\cdot(1-Z+2Z^2) =p_1(Z)$?

Svar

Polynomiet $p_1(Z)$ er ikke element i $\mathrm{image}(M)$. Polynomiet $p_2(Z)$ er element i $\mathrm{image}(M)$.

Opgave 5: Lineære afbildninger og differentiation#

Ligesom i Eksempel 10.4.5 fra lærebogen angives med $C_\infty (\mathbb{R})$ det reelle vektorrum bestående af alle funktioner fra $\mathbb{R}$ til $\mathbb{R}$ som kan differentieres vilkårligt mange gange. I denne opgave betragtes den lineære afbildning $M: C_\infty (\mathbb{R}) \to C_\infty (\mathbb{R})$ ved forskriften $M(f)=f'+f$, hvor $f \in C_\infty (\mathbb{R})$ og hvor $f'$ angiver den afledte til funktionen $f$.

Spørgsmål a#

Det oplyses at $\dim \mathrm{ker}(M)=1$. Find en basis for $\mathrm{ker}(M)$.

Hint

Fordi det er givet at kernen til $M$ er et $1$-dimensionalt underrum af $C_\infty$, udspænder ethvert element i $\mathrm{ker}(M)$ forskelligt fra nul hele kernen.

Hint

Prøv at finde et element $f(t)$ i $\mathrm{ker}(M)$ forskelligt fra nul på formen $f(t)=e^{at}$ for et vist $a \in \mathbb{R}$.

Svar

Fordi $(e^{at})'=ae^{at}$, gælder at $M(e^{-t})=0$. Fra den første hint fås at $\{e^{-t}\}$ er en basis for $\mathrm{ker}(M)$.

Spørgsmål b#

Find løsningsmængden til følgende ligninger

$M(f)=e^{t}$,
$M(f)=t$,
$M(f)=e^{-t}$.

Hint

Sætning 11.4.1 forklarer løsningsmængdens struktur: hver løsning er på formen ${\mathbf v}_p+{\mathbf v}$, hvor ${\mathbf v}_p$ er en partikulær løsning og hvor ${\mathbf v} \in \mathrm{ker}(M)$.

Hint

For at finde en partikulær løsning til den første ligning, find $a \in \mathbb{R}$ således at $f(t)=ae^{t}$ opfylder ligningen.

For at finde en partikulær løsning til den anden ligning, prøv en funktion på formen $f(t)=t+a$, hvor $a \in \mathbb{R}$.

For at finde en partikulær løsning til den tredje ligning, prøv en funktion på formen $f(t)=ate^{-t}$, hvor $a \in \mathbb{R}$.

Svar

Løsningsmængden er $\{(1/2)e^{t}+c_1\cdot e^{-t} \, \mid \, c_1 \in \mathbb{R}\}.$ Man siger også at $(1/2)e^{t}+c_1\cdot e^{-t}, \ c_1 \in \mathbb{R}$ er den fuldstændige løsning til ligningen $f'+f=e^t$.
Løsningsmængden er $\{t-1+c_1\cdot e^{-t} \, \mid \, c_1 \in \mathbb{R}\}.$ Man siger også at $t-1+c_1\cdot e^{-t}, \ c_1 \in \mathbb{R}$ er den fuldstændige løsning til ligningen $f'+f=t$.
Løsningsmængden er $\{te^{-t}+c_1\cdot e^{-t} \, \mid \, c_1 \in \mathbb{R}\}.$ Man siger også at $te^{-t}+c_1\cdot e^{-t}, \ c_1 \in \mathbb{R}$ er den fuldstændige løsning til ligningen $f'+f=e^{-t}$.

Opgave 6: Eksempler på lineære afbildninger#

Lad $n$ være et naturligt tal og $d$ et helt tal som opfylder $0 \le d \le n$. Find et eksempel på en lineær afbildning $L: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ mellem komplekse vektorrum, således at $\dim(\mathrm{ker}(L))=d$ og $\dim(\mathrm{image}(L))=n-d$.

Opgaver – Lille Dag

Contents

Opgaver – Lille Dag#

Opgave 1: I billerrummet eller ej?#

Spørgsmål a#

Opgave 2: Dimensionssætningen i et eksempel#

Opgave 3: Vektorligninger og billedrum#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Opgave 4: Undersøgelse af en lineær afbildning#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Spørgsmål d#

Opgave 5: Lineære afbildninger og differentiation#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Opgave 6: Eksempler på lineære afbildninger#