Opgaver – Lille Dag

Opgaver – Lille Dag#

Opgave 1: SymPy opgaven#

I denne opgave bruges SymPy til at analysere en lineær afbildning. Der defineres de komplekse vektorrum \(V_1 = \{ p(Z) \in \mathbb{C}[Z] \, \mid \, \deg p(Z) \le 6\}\) og \(V_2=\mathbb{C}^5\). Ydermere defineres den lineære afbildning \(L: V_1 \to V_2\) ved \(p(Z) \mapsto (p(0),p(2i),p(1),p(-3),p(1+2i)).\)

Spørgsmål a#

Der vælges den ordnede basis \(\beta=(1,Z,Z^2,Z^3,Z^4,Z^5,Z^6)\) i \(V_1\) og den standard ordnede basis \(\gamma\) i \(V_2\). Bestem afbildningsmatricen \({}_\gamma[L]_\beta\) og indfør matricen i SymPy. Alle beregninger med komplekse tal kan også udføres ved hjælp af SymPy.

Hint

Et komplekst tal som \((1+2i)^6\) kan hurtigt beregnes i SymPy ved at indtaste (1+2*I)**6. Hvis potensen ønskes at beregnes eksplicit, indtast eventuelt expand((1+2*I)**6).

Svar

\[\begin{split} {}_\gamma[L]_\beta= \left[ \begin{array}{ccccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2i & -4 & -8i & 16 & 32i & -64 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 9 & -27 & 81 & -243 & 729 \\ 1 & 1+2i & −3+4i & −11−2i & −7−24i & 41−38i & 117+44i \end{array} \right]. \end{split}\]

Spørgsmål b#

Find en basis af \(\mathrm{ker}(L)\).

Hint

Brug gerne SymPy til at finde kernen af matricen \({}_\gamma[L]_\beta\). Dette kan gøres ved at løse det lineære ligningssystem \({}_\gamma[L]_\beta \cdot {\mathbf x}={\mathbf 0}\). Alternativt giver kommandoen A.nullspace() en ordnet basis til kernen af en matrix A.

Hint

Ved hjælp af SymPy fås at de to vektorer

\[\begin{split}{\mathbf v}_1= \left[ \begin{array}{c} 0\\ 12 - 6i\\ -5 + 16i\\ -9 - 6i\\ 1 - 4i\\ 1\\ 0 \end{array} \right] \quad \text{og} \quad {\mathbf v}_2= \left[ \begin{array}{c} 0\\ 12 + 54 i\\ -47 - 42 i\\ 28 - 14 i\\ 6 + 2 i\\ 0\\ 1 \end{array} \right] \end{split}\]

danner en mulig basis til kernen af afbildningsmatricen \({}_\gamma[L]_\beta\). Brug nu Theorem 10.4.2 fra lærebogen til at finde en basis til \(\mathrm{ker}(L).\)

Svar

En mulig basis til \(\mathrm{ker}(L)\) er

\[\{ (12 - 6i)Z+(-5 + 16i)Z^2+(-9 - 6i)Z^3+(1 - 4i)Z^4+Z^5, (12 + 54 i)Z+(-47 - 42 i)Z^2+(28 - 14 i)Z^3+(6 + 2 i)Z^4+Z^6 \}.\]

Spørgsmål c#

Find et polynomium \(p(Z) \in V_1\) af lavest mulig grad således at \(L(p(Z))=(1,3,1,3,1)\).

Hint

Find først ved hjælp af SymPy den fuldstændige løsning på formen \({}_\gamma[L]_\beta \cdot {\mathbf x}={\mathbf b}\) for et passend valg af \(\mathbf b\). Se eventuelt Theorem 10.4.2 for flere detaljer.

Hint

Den fuldstændige løsning omtalt i det forrige hint er

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{c} 1\\ 5/6\\ -7/10+7i/20\\ -1/5-7i/30\\ 1/15-7i/60\\ 0\\ 0 \end{array} \right] + \tau_0 \cdot \left[ \begin{array}{c} 0\\ 12 - 6i\\ -5 + 16i\\ -9 - 6i\\ 1 - 4i\\ 1\\ 0 \end{array} \right] + \tau_1\cdot \left[ \begin{array}{c} 0\\ 12 + 54 i\\ -47 - 42 i\\ 28 - 14 i\\ 6 + 2 i\\ 0\\ 1 \end{array} \right]\, , \quad \tau_0,\tau_1 \in \mathbb{C}. \end{split}\]

Svar

Det ønskede polynomium er

\[ 1+(5/6)Z+(-7/10+7i/20)Z^2+(-1/5-7i/30)Z^3+(1/15-7i/60)Z^4. \]

Opgave 2: Vektorligninger og billedrum#

Der defineres følgende funktion:

\[\begin{split}M: \mathbb{R}^{2 \times 3} \to \mathbb{R}^{2 \times 2}\, , \quad {\mathbf A} \mapsto {\mathbf A} \cdot \left[\begin{array}{rr}1 & 2\\ 0 & 0\\ 2 & 1\end{array}\right].\end{split}\]

Spørgsmål a#

Vis at \(M\) er en lineær afbildning mellem reelle vektorrum og angiv en basis for \(\mathrm{ker}(M).\)

Hint

Angående lineæritet: brug Definition 10.0.1 og læs eventuelt først Theorem 7.2.1 (især del 5).

Angående at angive en basis for \(\mathrm{ker}(M)\): hvad skal en matrix \({\mathbf A} \in \mathbb{R}^{2 \times 3}\) opfylde for at være i \(\mathrm{ker}(M)\,\)?

Hint

\[\begin{split}\left[\begin{array}{rr}a & b & c\\ d & e & f\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{rr}1 & 2\\ 0 & 0\\ 2 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}a+2c & 2a+c\\ d+2f & 2d+f\end{array}\right].\end{split}\]

Svar

En mulig basis for \(\mathrm{ker}(M)\) er

\[\begin{split}\left\{ \left[\begin{array}{rr}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]\, , \left[\begin{array}{rr}0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] \right\}.\end{split}\]

Spørgsmål b#

Brug dimensionssætningen (Corollary 10.4.3 fra lærebogen) til at vise at \(\dim(\mathrm{image}(M))=4\). Konkluder at \(\mathrm{image}(M)=\mathbb{R}^{2 \times 2}\).

Svar

Hvis \(V\) er et vektorrum med en endelig dimension \(n\) og \(W\) er et underrum af \(V\) af samme dimension \(n\), så gælder \(W=V\). Derfor gælder \(\mathrm{image}(M)=\mathbb{R}^{2 \times 2}\).

Spørgsmål c#

Gør rede for at ligningen \(M({\mathbf A})=\left[\begin{array}{rr}3 & 3\\ 3 & 3\end{array}\right]\) har en løsning udfra resultatet fra spørgsmål b.

Find nu løsningsmængden.

Hint

Theorem 10.4.1 forklarer hvornår en ligning af den givne type har en løsning. Strukturen af løsningsmængden er også beskrevet i Theorem 10.4.1.

Svar

Løsningsmængden er

\[\begin{split}\left\{ \left[\begin{array}{rr}1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]+t_1 \cdot \left[\begin{array}{rr}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]+t_2 \cdot \left[\begin{array}{rr}0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] \, \mid \, t_1,t_2 \in \mathbb{R}\right\}.\end{split}\]

Udtrykket

\[\begin{split}\left[\begin{array}{rr}1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]+t_1 \cdot \left[\begin{array}{rr}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]+t_2 \cdot \left[\begin{array}{rr}0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right], \quad t_1,t_2 \in \mathbb{R}\end{split}\]

kaldes for ligningens fuldstændige løsning.

Opgave 3: Lineære afbildninger og differentiation#

Ligesom i Eksempel 9.3.4 fra lærebogen angives med \(C_\infty (\mathbb{R})\) det reelle vektorrum bestående af alle funktioner fra \(\mathbb{R}\) til \(\mathbb{R}\) som kan differentieres vilkårligt meange gange. I denne opgave betragtes den lineære afbildning \(M: C_\infty (\mathbb{R}) \to C_\infty (\mathbb{R})\) ved forskriften \(M(f)=f'+f\), hvor \(f \in C_\infty (\mathbb{R})\) og hvor \(f'\) angiver den afledte til funktionen \(f\).

Spørgsmål a#

Det oplyses at \(\dim \mathrm{ker}(M)=1\). Find en basis for \(\mathrm{ker}(M)\).

Hint

Fordi det er givet at kernen til \(M\) er et \(1\)-dimensionalt underrum af \(C_\infty\), udspænder ethvert element i \(\mathrm{ker}(M)\) forskelligt fra nul hele kernen.

Hint

Prøv at finde et element \(f(t)\) i \(\mathrm{ker}(M)\) forskelligt fra nul på formen \(f(t)=e^{at}\) for et vist \(a \in \mathbb{R}\).

Svar

Fordi \((e^{at})'=ae^{at}\), gælder at \(M(e^{-t})=0\). Fra den første hint fås at \(\{e^{-t}\}\) er en basis for \(\mathrm{ker}(M)\).

Spørgsmål b#

Find løsningsmængden til følgende ligninger

  1. \(M(f)=e^{t}\).

  2. \(M(f)=t\).

  3. \(M(f)=e^{-t}\).

Hint

Theorem 10.4.1 forklarer løsningsmængdens struktur: hver løsning er på formen \({\mathbf v}_p+{\mathbf v}\), hvor \({\mathbf v}_p\) er en partikulær løsning og hvor \({\mathbf v} \in \mathrm{ker}(M)\).

Hint

For at finde en partikulær løsning til den første ligning, find \(a \in \mathbb{R}\) således at \(f(t)=ae^{t}\) opfylder ligningen.

For at finde en partikulær løsning til den anden ligning, prøv en funktion på formen \(f(t)=t+a\), hvor \(a \in \mathbb{R}\).

For at finde en partikulær løsning til den tredje ligning, prøv en funktion på formen \(f(t)=ate^{-t}\), hvor \(a \in \mathbb{R}\).

Svar

  1. Løsningsmængden er \(\{(1/2)e^{t}+c_1\cdot e^{-t} \, \mid \, c_1 \in \mathbb{R}\}.\) Man siger også at \((1/2)e^{t}+c_1\cdot e^{-t}, \ c_1 \in \mathbb{R}\) er den fuldstændige løsning til ligningen \(f'+f=e^t\).

  2. Løsningsmængden er \(\{t-1+c_1\cdot e^{-t} \, \mid \, c_1 \in \mathbb{R}\}.\) Man siger også at \(t-1+c_1\cdot e^{-t}, \ c_1 \in \mathbb{R}\) er den fuldstændige løsning til ligningen \(f'+f=t\).

  3. Løsningsmængden er \(\{te^{-t}+c_1\cdot e^{-t} \, \mid \, c_1 \in \mathbb{R}\}.\) Man siger også at \(te^{-t}+c_1\cdot e^{-t}, \ c_1 \in \mathbb{R}\) er den fuldstændige løsning til ligningen \(f'+f=e^{-t}\).

Opgave 4: Lineær afbildning fra et polynomiumsrum#

Lad \(V_1=\{a+bZ+cZ^2 \, \mid \, a,b,c \in \mathbb{R}\}\) være underrummet af det reelle vektorrum \(\mathbb{R}[Z]\) bestående af alle polynomier af grad højst to. Der defineres en funktion \(L: V_1 \to \mathbb{R}\) ved forskriften \(p(Z) \mapsto p'(1)\). Her betegnes med \(p'(Z)\) den afledte til \(p(Z)\).

Spørgsmål a#

Beregn \(L(Z^2+Z)\) og \(L(5Z^2-10Z+4)\).

Svar

Fordi \((Z^2+Z)'=2Z+1\), gælder at \(L(Z^2+Z)=2\cdot 1 +1=3\). På lignende måde gælder at \((5Z^2-10Z+4)'=10Z-10\) og derfor at \(L(5Z^2-10Z+4)=10\cdot 1-10=0.\)

Spørgsmål b#

Vis at \(L\) er en lineær afbildning mellem reelle vektorrum.

Hint

Betingelserne for at være en lineær afbildning kan man læse i Definition 10.0.1 fra lærebogen.

Spørgsmål c#

Bestem en basis for \(\mathrm{ker}(L)\).

Hint

Hvis \(L(aZ^2+bZ+c)=0\), hvilken betingelse skal koefficienterne \(a,b\) og \(c\) opfylde?

Svar

En mulig basis er \(\{1,Z^2-2Z\}\)

Spørgsmål d#

Brug dimensionssætningen (Corollary 10.4.3 fra lærebogen) til at konkludere at den givne lineære afbildning \(L\) er surjektiv.

Hint

At sige at en lineær afbildning \(M:V_1 \to V_2\) er surjektiv er præcist det samme som at sige at afbildningens billedrum er lige med hele \(V_2\).

Svar

Dimensionssætningen (Corollary 10.4.3 fra lærebogen) medfører at \(\dim(\mathrm{image}(L))=\dim V_1 -\dim(\mathrm{ker}(L))=3-2=1\). Siden \(\dim \mathbb{R}=1\), kan vi konkludere at \(\mathrm{image}(L)=\mathbb{R}\) og derfor at \(L\) er surjektiv.

Opgave 5: Injektive lineære afbildninger#

En funktion \(f: A \to B\) kaldes injektiv hvis og kun hvis for alle \(a_1,a_2 \in A\) det gælder at \(f(a_1)=f(a_2)\) medfører \(a_1=a_2\). Se eventuelt teksten lig før Example 2.2.4 i lærebogen. I denne opgave undersøges hvad det betyder at være injektiv for en lineær afbildning \(L: V_1 \to V_2\) mellem to vektorrum \(V_1\) og \(V_2\) over \(\mathbb{F}\).

Spørgsmål a#

Antag at en lineær afbildning \(L: V_1 \to V_2\) er injektiv. Vis at i så fald \(\mathrm{ker}(L)=\{{\mathbf 0}\}.\)

Hint

Det ønskede udsagn er logisk ækvivalent med udsagnet: hvis \(\mathrm{ker}(L) \neq \{{\mathbf 0}\}\), så er \(L\) ikke injektiv.

Hint

Det vides at \(L({\mathbf 0})={\mathbf 0}\) for alle lineære afbildninger \(L\) (se for eksempel ligning (10-1) fra lærebogen). Hvis \(\mathrm{ker}(L) \neq \{{\mathbf 0}\}\), så findes \({\mathbf v} \in V_1\) forskellig fra \(\mathbf 0\) således at \(L({\mathbf v})={\mathbf 0}\).

Skitse af svar

Hvis \(\mathrm{ker}(L) \neq \{{\mathbf 0}\}\), så findes \({\mathbf v} \in V_1\) forskellig fra \(\mathbf 0\) således at \(L({\mathbf v})={\mathbf 0}\). Derfor afbilder \(L\) både \({\mathbf v}\) og \({\mathbf 0}\) på nulvektoren i \(V_2\). Dette betyder at \(L\) ikke er injektiv.

Spørgsmål b#

Antag at en lineær afbildning \(L: V_1 \to V_2\) er givet og at \(\mathrm{ker}(L)=\{{\mathbf 0}\}.\) Vis at \(L\) i så fald \(L\) er injektiv.

Hint

Det ønskede udsagn er logisk ækvivalent med udsagnet: hvis \(L\) ikke er injektiv, så gælder \(\mathrm{ker}(L) \neq \{{\mathbf 0}\}\).

Hint

Antag at der findes to forskellig vektorer \({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2 \in V_1\) således at \(L({\mathbf v}_1)=L({\mathbf v}_2)\). Brug lineariteten af \(L\) til at indse at i så fald \(L({\mathbf v}_2-{\mathbf v}_1)={\mathbf 0}\).

Skitse af svar

Hvis \(L\) ikke er injektiv, så findes to forskellig vektorer \({\mathbf v}_1,{\mathbf v}_2 \in V_1\) således at \(L({\mathbf v}_1)=L({\mathbf v}_2)\). Dette medfører at \(L({\mathbf v}_2-{\mathbf v}_1)={\mathbf 0}\) og derfor at \({\mathbf v}_2-{\mathbf v}_1 \in \ker(L)\). Derfor indeholder kernen en vektor forskellig fra nulvektoren, som medfører at \(\mathrm{ker}(L) \neq \{{\mathbf 0}\}.\)

Spørgsmål c#

Konkluder fra de forrige to spørgsmål at en lineær afbildning \(L: V_1 \to V_2\) er injektiv hvis og kun hvis \(\mathrm{ker}(L) = \{{\mathbf 0}\}.\)