Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem som er færdig med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.
Ekstra Opgaver – Store Dag#
Ekstra Opgave 1: En bijektion#
Givet er funktionen \(f :\Bbb N\rightarrow \Bbb Z\) defineret ved
\( x \mapsto \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x}{2} & x\ \mathrm{lige,} \\ -\frac{x-1}{2} & x\ \mathrm{ulige.} \\ \end{array} \right. \)
Spørgsmål a#
Er \(f\) en bijektion?
Hint
For at få en ide om funktionens opførsel, beregn først \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\), \(f(4)\) og \(f(5)\).
Svar
Ja.
Ekstra Opgave 2: Hyperbolske funktioner#
I denne opgave indføres to nye funktioner, men som er dannet af allerede kendte funktioner. De to funktioner kaldes sinus og cosinus hyperbolsk, og er defineret ved:
\(\mathrm{sinh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\) og \(\mathrm{cosh}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.\)
Det antages for begge funktioner at både deres definitionsmængder og dispositionsmængder er lige med \(\mathbb R\).
Spørgsmål a#
Redegør for at \(\mathrm{sinh}(x)\) er injektiv og at \(\mathrm{cosh}(x)\) ikke er injektiv.
Hint
Er funktionerne monotone?
Spørgsmål b#
Find en forskrift for \(\mathrm{sinh}^{-1}\) ved at isolere \(x\) i ligningen \(y=\mathrm{sinh}(x)\).
Hint
Gang din ligning igennem med \(e^x\) og løs den fremkommende andengradsligning.
Hint
Hvorfor kan vi smide den ene løsning væk?